2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点05导数中的切线问题全归纳(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点05导数中的切线问题全归纳(学生版+解析)，共40页。

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\l "_Tc24067" 【题型1 求在曲线上一点处的切线方程】 PAGEREF _Tc24067 \h 2
\l "_Tc19332" 【题型2 求过一点的切线方程】 PAGEREF _Tc19332 \h 4
\l "_Tc17924" 【题型3 与切线有关的参数问题】 PAGEREF _Tc17924 \h 6
\l "_Tc20205" 【题型4 利用切线求距离的最值问题】 PAGEREF _Tc20205 \h 8
\l "_Tc18082" 【题型5 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc18082 \h 10
\l "_Tc29991" 【题型6 两条切线平行、垂直问题】 PAGEREF _Tc29991 \h 12
\l "_Tc474" 【题型7 公切线问题】 PAGEREF _Tc474 \h 14
\l "_Tc18282" 【题型8 与切线有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc18282 \h 17
1、导数中的切线问题
导数中的切线问题是高考的重点内容，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察求曲线的切线方程，公切线问题等，试题难度属中低档，导数的切线问题也可能会作为解答题中的条件或一小问进行考查，复习是要加强此方面的训练.
知识点1 曲线的切线方程及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
知识点2 与切线有关的参数问题
1．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线方有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
知识点3 切线的条数问题
1．切线的条数问题的解题思路
(1)已知f(x)，过点(a,b)可作曲线的切线条数问题
第一步：设切点P0(x0,y0)；
第二步：计算切线斜率k=f'(x0)；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0).
第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-y。=f'(x?)(a-x?)，整理成关于x0的方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于x0的方程就有几个实数解.
(2)“过点型”切线条数判断：
①有几个切点横坐标，就有几条切线；
②切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断.
2．切线条数的求参问题
已知切线条数求参数，其实就是转换成切线方程根的个数问题求参数.
知识点4 公切线问题及其解题策略
1．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
2．公切线问题的求解步骤：
(1)设两切点，求出两切点对应的斜率k1、k2，且k1=k2；
(2)根据两条曲线在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组；
(3)解方程组，进行求解，得出结论.
【题型1 "" \t "" \ "求在曲线上一点处的切线方程（斜率）" 求在曲线上一点处的切线方程】
【例1】（2025·福建福州·模拟预测）曲线fx=x3+3x在点−1, f−1处的切线方程为（ ）
A．y+4=0B．2x−y−2=0C．6x−y=0D．6x−y+2=0
【答案】D
【解题思路】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率与切线方程.
【解答过程】由已知fx=x3+3x，
则f′x=3x2+3，
即切线斜率k=f′−1=3×−12+3=6，
又f−1=−13+3×−1=−4，
所以切线方程为y−−4=6x−−1，
即6x−y+2=0，
故选：D.
【变式1-1】（2025·青海海东·三模）曲线x=ey在点(e,1)处的切线方程为（ ）
A．x−y=0B．x−ey=0C．x−y+1−e=0D．ex−y=0
【答案】B
【解题思路】求出函数解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【解答过程】由x=ey，得y=lnx，求导得y′=1x，则y′|x=e=1e，
所以所求切线方程为y−1=1e(x−e)，即x−ey=0.
故选：B.
【变式1-2】（2025·新疆喀什·模拟预测）曲线f(x)=sinxx在点(π,0)处的切线方程为（ ）
A．x+πy−π=0B．x−πy−π=0
C．x−πy+π=0D．πx−y−π=0
【答案】A
【解题思路】根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程.
【解答过程】由题可得f′x=xcsx−sinxx2，则f′π=−1π，
所以切线的斜率k=−1π，
所以fx在π,0处的切线方程为y=−1πx−π，即x+πy−π=0.
故选：A.
【变式1-3】（2025·广东湛江·二模）已知函数f(x)=ex+2x，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=3x+1C．y=2xD．y=3x
【答案】B
【解题思路】求导，可得f(0)=1,f′(0)=3，结合导数的几何意义求切线方程.
【解答过程】由f(x)=ex+2x，得f′(x)=ex+2，
则f(0)=1,f′(0)=3，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+1．
故选：B.
【题型2 "" \t "" \ "求过一点的切线方程" 求过一点的切线方程】
【例2】（2025·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x−1相切的直线方程是（ ）
A．y=5x+1B．y=2x+1
C．y=x+1D．y=−2x+1
【答案】A
【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.
【解答过程】f′x=3x2+2，点A不在曲线上，
设切点为(x0,x03+2x0−1)，则f′x0=3x02+2=x03+2x0−1−1x0，
解得：x0=−1，得切点−1,−4，则k=f′(−1)=5
切线方程为：y=5x+1，
故选：A．
【变式2-1】（2025·新疆·二模）过点1,4且与曲线fx=x3+x+2相切的直线方程为（ ）
A．4x−y=0B．7x−4y+9=0
C．4x−y=0或7x−4y+9=0D．4x−y=0或4x−7y+24=0
【答案】C
【解题思路】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.
【解答过程】设过点1,4的曲线y=f(x)的切线为： l:y−y0=3x02+1x−x0，
有3x02+11−x0=4−y0y0=x03+x0+2,
解得x0=1y0=4或x0=−12y0=118,
代入l可得4x−y=0或7x−4y+9=0.
故选：C.
【变式2-2】（2025·贵州·二模）已知函数f(x)=(x+a)ex的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为3e．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求曲线y=f(x)过原点的切线方程．
【答案】(1)a=1；
(2)递减区间为(−∞,−2)，递增区间为(−2,+∞)；
(3)y=3−52e−1+52x或y=3+52e−1+52x.
【解题思路】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出a的值.
（2）由（1）的信息，利用导数求出函数的单调区间.
（3）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切点，进而求出切线的斜率即可.
【解答过程】（1）函数f(x)=(x+a)ex，求导得f′(x)=(x+a+1)ex，依题意，f′(1)=(a+2)e=3e，
所以a=1.
（2）由（1）得f(x)=(x+1)ex，其定义域为R，f′(x)=(x+2)ex，
当x0，
所以f(x)的单调递减区间为(−∞,−2)，递增区间为(−2,+∞).
（3）设曲线y=f(x)过原点的切线的切点为(t,(t+1)et)，则f′(t)=(t+2)et，
原点(0,0)不在曲线y=f(x)上，于是(t+1)et−0t−0=(t+2)et，解得t=−1±52，
当t=−1−52时，f′(t)=3−52e−1+52；当t=−1+52时，f′(t)=3+52e−1+52，
所以曲线y=f(x)过原点的切线方程为y=3−52e−1+52x或y=3+52e−1+52x.
【变式2-3】（2025·湖北·模拟预测）已知函数y=f(x)=eax+1,x∈R．
(1)若a=12，求过原点且与y=f(x)相切的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)>2x+e对所有x∈(0,+∞)成立，求a的取值范围．
【答案】(1)y=e22x；
(2)[2e,+∞).
【解题思路】（1）求出函数f(x)的导数，设出切点横坐标，利用导数的几何意义列式求解即得.
（2）构造函数g(x)=eax+1−2x−e，利用导数分类探讨函数g(x)的单调性，求出当x>0时g(x)>0的a值范围.
【解答过程】（1）当a=12时，f(x)=e12x+1，求导得f′(x)=12e12x+1，设切点横坐标是t，
则切线方程是y−et2+1=12et2+1(x−t)，而切线过原点，于是−et2+1=12et2+1⋅(−t)，解得t=2，
所以切线方程是y=e22x.
（2）依题意，f(0)=e,g(x)=eax+1−2x−e,g'(x)=aeax+1−2，
①若a≤0，则g′(x)0时恒成立，函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，
则对所有x>0,g(x)0，则g′(x)=a(eax+1−2a)，由g′(x)1a(ln2a−1)，
因此函数g(x)在(−∞,1a(ln2a−1))上单调递减，在(1a(ln2a−1),+∞)上单调递增，
（ⅰ）若0g(0)=0，符合题意，
所以a的取值范围是[2e,+∞)．
【题型3 与切线有关的参数问题】
【例3】（2025·河南·模拟预测）已知曲线fx=x+klnx+k的一条切线的方程为y=x，则实数k=（ ）
A．0B．1C．-1D．e
【答案】B
【解题思路】首先对函数求导，根据切线斜率1和切点坐标即可求出k的值.
【解答过程】y=x与fx的图象相切，设切点为x0,x0，
则f′x0=1+lnx0+k=1，故x0+k=1，
由fx0=x0，即x0+klnx0+k=x0，将x0+k=1代入上式，得x0=0，故k=1.
故选：B.
【变式3-1】（2025·河南许昌·三模）若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切，则b−a的值为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【答案】A
【解题思路】设切点为x0,y0，根据导数的几何意义求得x0=1−b，再由切点在直线和曲线上有lnx0+b=x0+a，即可求.
【解答过程】设直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)的切点为x0,y0，
对y= ln(x+b)求导，得y′=1x+b，直线y=x+a的斜率为1，
导数的几何意义知，在切点处1x0+b=1，即x0=1−b．
又切点x0,y0既在直线上又在曲线上，
∴y0= x0+a且y0=lnx0+b，即lnx0+b=x0+a．
将x0=1−b代入lnx0+b=x0+a，得：ln(1−b+b)=1−b+a，即b−a=1．
故选：A.
【变式3-2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线fx=lnx+x2−axx≥45与倾斜角为45°且横截距为a的直线l相切，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解题思路】根据已知得出切线方程，再根据切线斜率列式结合点在切线上列方程组求参.
【解答过程】倾斜角为45°且横截距为a的直线l为x=y+a，即得y=x−a，
曲线fx=lnx+x2−axx≥45与直线l相切，
设切点为x0,lnx0+x02−ax0，因为f'x=1x+2x−a，
所以1x0+2x0−a=1且lnx0+x02−ax0=x0−a，
所以lnx0+x02−1x0+2x0−1x0=x0−1x0+2x0−1，
所以lnx0−x02+1x0+2x0−2=0，
设gt=lnt−t2+1t+2t−2,g't=1t−2t−1t2+2=t−1t2−2t−1=t−11−2t2t2，
因为t≥45，所以1−2t2≤1−32251时，g't0，当t∈e3,+∞时，ft0，当t∈e3,+∞时，ft0Δ=1−a2−4×12>0，解得a0，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为x1,fx1,x2,fx2，且f′x1⋅f′x2=−1
若a≥0，则f′x>0恒成立，不符合题意，可排除A项；
所以a0f'1f'2=1+a2+a20.
所以f′x=2x+2x，x>0.
由因为fx在Ax1,fx1，Bx2,fx2两个不同点处的切线相互平行，
所以f′x1=f′x2 ⇒ 2x1+2x1=2x2+2x2，又x1≠x2，所以x1x2=1，故CD错误；
因为x1>0,x2>0且x1≠x2，所以x1+x2>2x1x2=2，故A不成立；
当x1=13,x2=3时，x1+x2=103.故B成立.
故选：B.
【题型7 公切线问题】
【例7】（2025·河南南阳·三模）已知函数f(x)=2aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数a的最小值为（ ）
A．1eB．12eC．14eD．16e
【答案】B
【解题思路】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去m后构造函数ℎx，求导分析单调性可得最值.
【解答过程】设公切线与函数f(x)=2aex及函数g(x)=lnx+1的切点分别为m,2aem，(n,lnn+1)，且f′(m)=2aem，g′(n)=1n，
故两切线方程为y−2aem=2aem(x−m)，y−(lnn+1)= 1n(x−n)，
即y=2aemx+(−m+1)2aem，y=1nx+lnn，
f(x)与g(x)存在公切线，所以2aem=1n−m+12aem=lnn有解，消去m后得：ln2a=(n−1)lnn−1，
令ℎ(x)=(x−1)lnx−1，ℎ′(x)=lnx−1x+1，
易得ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，且x∈(0,1)时，ℎ′(x)0，
故ℎ(x)在区间0,1上递减，在(1,+∞)上递增．
所以ℎ(x)min=ℎ(1)=−1，∴ln2a的最小值为−1，即2a的最小值为1e，即实数a的最小值为12e．
故选：B．
【变式7-1】（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=lnx，若曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线，则a的取值范围是（ ）
A．(0,12e3)B．(12e3,12e)C．(12e3,+∞)D．(12e,+∞)
【答案】C
【解题思路】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围.
【解答过程】设公切线与曲线y=f(x)、曲线y=g(x)相切的切点分别为(t,at2+1),(x0,lnx0)，
而f′(x)=2ax,g′(x)=1x，依题意，2at=1x0=at2+1−lnx0t−x0，则x0>0，因a>0，则t>0，
消去x0得at2−ln(2at)−2=0，令函数ℎ(t)=at2−ln(2at)−2 (t>0)，
由曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线，得函数ℎ(t)有两个不同的正零点，
ℎ'(t)=2at−1t=2at2−1t，当02即fx>gx+2.
（2）设公切线与曲线fx=ex的切点坐标为Am,em，
与曲线gx=lnx的切点坐标为Bn,lnn，
则曲线fx=ex在A处的切线方程为y=emx−m+em=emx+em1−m，
同理曲线gx=lnx在B处的切线方程为y=1nx+lnn−1，
故em=1nem1−m=lnn−1，故em1−m+m+1=0①，
若m=−1，则e−11+1+0=0，但2e−1>0恒成立，矛盾，故m≠−1，
故①即为em×m−1m+1=1，设sm=em×m−1m+1−1m≠−1，
则s′m=em×m−1m+1+2m+12=em×m2+1m+12>0
故sm在−1,+∞为增函数，在−∞,−1为增函数，
s2=e23−1>0，s0=−20，
故sm有两个不同的零点即函数fx与gx的图象有两条公切线.