2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点04利用导数研究不等式恒(能)成立问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点04利用导数研究不等式恒(能)成立问题(学生版+解析)，共40页。

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\l "_Tc26959" 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc26959 \h 3
\l "_Tc6836" 【题型2 利用导数研究能成立问题】 PAGEREF _Tc6836 \h 3
\l "_Tc14429" 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 PAGEREF _Tc14429 \h 4
\l "_Tc16073" 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 PAGEREF _Tc16073 \h 5
\l "_Tc28288" 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 PAGEREF _Tc28288 \h 6
\l "_Tc13014" 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 PAGEREF _Tc13014 \h 6
\l "_Tc22035" 【题型7 洛必达法则】 PAGEREF _Tc22035 \h 7
\l "_Tc7055" 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 PAGEREF _Tc7055 \h 7
\l "_Tc32179" 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 PAGEREF _Tc32179 \h 10
1、利用导数研究不等式恒（能）成立问题
导数中的不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.
知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略
1．不等式恒（能）成立问题的求解方法
解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题
①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．
②恒成立；
恒成立；
能成立；
能成立.
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题
分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
知识点2 双变量的恒（能）成立问题的解题策略
1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有：
对于某一区间I，
(1).
(2).
(3).
知识点3 洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则.
1．洛必达法则
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)及；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)，那么.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)及；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)，那么.
2．用洛必达法则处理型函数的步骤：
(1)分离变量；
(2)出现型式子；
(3)运用洛必达法则求值.
3．用洛必达法则处理型函数的步骤：
(1)分离变量；
(2)出现型式子；
(3)运用洛必达法则求值.
【注意】：
1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立.
2．洛必达法则可处理型求极限问题.
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
，如满足条件，可继续使用洛必达法则.
【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】
【例1】（2025·海南·模拟预测）已知当x>0时，exlnx−2xlnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,1B．−∞,2−2ln2
C．−∞,2ln2D．−∞,2+2ln2
【变式1-1】（2025·甘肃金昌·三模）若关于x的不等式elnaxlnax≤2xe2x在0,+∞上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,eB．0,2e C．0,eD．0,e2
【变式1-2】（2025·广东广州·三模）若不等式ex≥kx（e=为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．0B．1C．eD．e2
【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）若关于x的不等式aex+lnx2≥x2+2lna+1x+lna2在0,+∞上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．e,+∞B．0,eC．1e,+∞D．0,1e
【题型2 利用导数研究能成立问题】
【例2】（2025高三·全国·专题练习）函数fx=lnx−mx+1，若存在x∈0,+∞，使fx≥0有解，则m的取值范围为（ ）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
【变式2-1】（2025·辽宁大连·三模）已知fx=xeax−lnx−ax，若存在x0∈R，使得fx0=1，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,1eB．−1e,+∞C．−1e,0D．0,1e
【变式2-2】（2025·河北张家口·一模）已知f(x)=lnx−a(x+1)，a∈R.
(1)若a=2，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；
(2)若∃x0∈(0,2]，使fx0>0，求a的取值范围.
【变式2-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数fx=mx−2ex−1，且fx在x=0处取得极值．
(1)求m的值及fx的单调区间；
(2)若存在x∈R，使得fx≤2ex−a−1，求实数a的取值范围．
【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】
【例3】（2025·陕西·二模）∀x∈1,2，有lnx+ax2−1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．e,+∞B．1,+∞C．e2,+∞D．2e,+∞
【变式3-1】（2025·四川成都·三模）若x∈0,+∞，x2+ax+1≤ex恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．eB．2C．e−1D．e−2
【变式3-2】（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数f(x)=x2−3x+λlnx．
(1)当0x2时，都有2x1+fx2>2x2+fx1，则实数a的取值范围为（ ）
A．12e,+∞B．1,+∞C．1e,+∞D．2,+∞
【变式5-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数fx=ex−ax−1.
(1)当a=1时，求fx的单调区间与极值；
(2)若fx≤x2在x∈0,+∞上有解，求实数a的取值范围.
【变式5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx=12x2+ax+lnxa∈R
(1)讨论fx的单调性；
(2)若对于∀x>0，不等式fx≤ex+32x2恒成立，求实数a的取值范围.
【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】
【例6】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数fx=ex−mx3−32x．
(1)若函数fx在区间1,+∞上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)当m=13时，求证：对∀x∈0,+∞,fx>lnx+1−52x恒成立．
【变式6-1】（2025·安徽·三模）已知函数fx=m+1lnx+1x.
(1)若m=2，求曲线y=fx在x=1处的切线方程；
(2)当m∈0,1时，求证：关于x的不等式mx−fx2x2+52恒成立；
【变式6-3】（2025·河北·模拟预测）已知fx=ex−asinx，且在x=0处取得极小值．
(1)求a的值；
(2)若gx=fx+bx2，且gx在x=0处取得极大值，求b的取值范围；
(3)证明：对于任意的x1>0,x2>0,λ>0，有fx1+λfx2≥1+λfx1+λx21+λ恒成立．
【题型7 洛必达法则】
【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−y+1=0垂直.
(1)求实数a,b的值；
(2)若∀x∈[1 , +∞)，不等式f(x)≤(m−2)x−mx恒成立，求实数m的取值范围.
【变式7-1】（24-25高二下·全国·期末）若不等式sinx>x−ax3对于x∈(0,π2)恒成立，求a的取值范围.
【变式7-2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数fx，gx的导函数分别为f′x，g′x，且limx→af(x)=limx→ag(x)=0，则
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x).
②设a>0，k是大于1的正整数，若函数fx满足：对任意x∈0,a，均有fx≥fxk成立，且limx→0fx=0，则称函数fx为区间0,a上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断fx=x3−3x是否为区间0,3上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：limx→0(1+x)1x；
(3)证明：sinxx−π30时，求函数fx的单调区间；
(2)对任意的x1,x2∈0,1，当x10，总存在x2∈[−2,−1]，使得fx1≥gx2，求m的取值范围．
【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】
【例9】（2025·山东泰安·二模）已知函数fx=xe−x，gx=lnx−x+b b∈R若fx≥gx在x>0时恒成立，则b的取值范围为（ ）
A．−∞,e−1+1B．−∞,e−1+1C．−∞,e−1D．−∞,e−1
【变式9-1】（2025·重庆·模拟预测）已知函数fx=lnxx,gx=axe−ax，若存在x1∈0,1,x2∈−∞,0使得fx1=gx2，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,−2B．−2,−1C．−1,+∞D．0,+∞
【变式9-2】（2025·广东汕头·三模）已知函数fx=lnx−ax,gx=2ax,a≠0．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若fx≤gx恒成立，求a的最小值．
【变式9-3】（2025·青海海东·三模）已知函数f(x)=x2lnx，g(x)=a⋅eax．
(1)求f(x)的极值；
(2)当a≠0时，讨论g(x)的单调区间；
(3)若∀x∈(1,+∞)，f(x)>g(x)，求a的取值范围．
一、单选题
1．（2025·山东烟台·三模）若不等式xex−x−lnx−a≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,1B．0,e−1C．−∞,1D．−∞,e−1
2．（2025·河南·二模）已知函数fx=x+e−x，若存在实数x，使得fx=ax成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,1−eB．1,+∞
C．1−e,1D．−∞,1−e∪1,+∞
3．（2025·海南·模拟预测）已知当x∈(0,+∞)时，函数f(x)=axeax−(x+1)lnx+ax≥0恒成立，求实数a的取值范围是（ ）
A．−1e,+∞B．1e,+∞
C．2e,+∞D．[e,+∞)
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数fx=axex+lnax,gx=x2−x，若存在实数x0，使得fx0≤gx0，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,1B．−∞,0∪0,1C．0,1eD．−∞,0∪0,1e
5．（2025·广西·模拟预测）若对任意的x∈(−1,+∞)，不等式ex−a[ln(x+1)−b]≥0恒成立，则a−b的最小值是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数t，使得∀x∈0,+∞，关于x的不等式t−m−1exxt−xex1e2，gx=−5+lnxa．存在x1，x2∈(0,e]，使得fx1−gx2