贵州贵阳市南明区2026年初中学业水平（升学）模拟考试数学试卷（含解析）（中考模拟）

这是一份贵州贵阳市南明区2026年初中学业水平（升学）模拟考试数学试卷（含解析）（中考模拟），共12页。试卷主要包含了不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分，考试时间120分钟，考试形式闭卷．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3．不能使用计算器．
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. 2C. D. 3.14
【答案】C
【解析】
【分析】有理数包括整数、分数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数．
【详解】解：是分数，是整数，是有限小数，都属于有理数，
开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数．
2. 如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（ ）
A. 圆B. 矩形C. 球D. 三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据球体的几何特征及光线照射方向判断影子的形状．
【详解】解：∵小球是球体，手电筒垂直照射，
∴光线方向与竖直墙面垂直，
∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影，
∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆，
∴影子的形状是圆．
3. 某校开展知识竞赛活动．答对1题加分，答错1题扣1分．小明答对3道题，答错2道题，则小明的得分可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目给出的计分规则，分别计算答对题的总得分和答错题扣除的分数，再作差即可得到小明的总得分．
【详解】解：∵答对1题加分，小明答对3道题，
∴答对题的总得分是分，
又∵答错1题扣1分，小明答错2道题，
∴答错题一共扣除分，
∴小明的总得分为3a−2分．
4. 如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（ ）
A. 物理实验室B. 化学实验室C. 生物实验室D. 图书馆
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的坐标符号判断该点所在的象限，再结合图形中各功能室的位置即可得出答案；
【详解】解：该功能室的坐标为，横坐标，纵坐标，
该功能室位于第四象限，
由图可知，物理实验室在第一象限，生物实验室在第二象限，图书馆在第三象限，化学实验室在第四象限，
故该功能室是化学实验室．
5. 如图，在中，，点在上，于点，则可以表示点到线段的距离的是（ ）
A. 线段的长度B. 线段的长度
C. 线段的长度D. 线段的长度
【答案】B
【解析】
【分析】点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴点到线段的距离是线段的长度．
6. 某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（ ）
A. 24元B. 22元C. 14元D. 12元
【答案】D
【解析】
【分析】先分别计算单个虾仁馄饨和单个鲜肉馄饨的单价，再计算5个两种馄饨的总价，即可得到双拼馄饨的合理定价．
【详解】解：∵每碗馄饨共10个，虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗，
∴单个虾仁馄饨价格为14÷10=1.4 元，单个鲜肉馄饨价格为元，
∵双拼馄饨含两种馄饨各5个，
∴总定价为1.4×5+1×5=7+5=12 元．
7. 若实数，则的值所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用算术平方根的性质，通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，即可确定的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
即，
又∵，
∴．
8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解集在数轴上表示的方法是解题的关键．根据题意不等式组的解集为，然后直接在数轴上表示即可．
【详解】解：不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
故选：A．
9. 如图，在中，，，是线段的垂直平分线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可得，再由线段垂直平分线可得，从而得到，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
10. 已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据一次函数过点得到与的关系式，再由随增大而增大得，将各选项点坐标代入解析式，判断是否满足条件即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴将代入得，
即．
又∵随的增大而增大，
∴．
选项A：将代入解析式，得，把代入得，解得，不满足，舍去．
选项B：将代入解析式，得，把代入得，解得，不满足，舍去．
选项C：将代入解析式，得，把代入得，解得，满足，符合条件．
选项D：将代入解析式，得，把代入得，解得，不满足，舍去．
11. 在一节数学课上，小星同学将四个全等的直角三角形拼成了如图所示的图形．已知大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则原直角三角形较短边的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设直角三角形较短直角边为，较长直角边为，根据大正方形面积得出斜边平方，根据小正方形面积得出两直角边之差，联立勾股定理求解即可．
【详解】解：设原直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，斜边长为，
大正方形的面积为13 ，
∴c2=a2+b2=13 ，
小正方形的面积为1，
∴(b−a)2=1 ，
，
∴b−a=1 ，即，
将代入得：a2+(a+1)2=13 ，整理得：2a2+2a−12=0 ，即a2+a−6=0 ，
解得：，（舍去），
原直角三角形较短边的长为2．
12. 二次函数（）的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，有下列结论：
①；
②方程的一个解为；
③若，两点都在（）的图象上，则；
其中结论正确的个数是（ ）
A. 0个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置及与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而判断①；利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，从而判断②；根据点离对称轴的距离及开口方向比较函数值大小，从而判断③．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴；
∵对称轴为直线，
∴，即；
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴；
∴，故①错误；
∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为2−(7−2)=−3 ，即；
∴方程的一个解为，故②正确；
∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
又∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远的点函数值越大，
∴，故③错误；
综上，正确的结论只有②，共1个．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【详解】解：（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14. 如图，是某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的试验中，根据试验数据绘制的折线统计图，下面有2个随机事件：①一个单项选择题有A，B，C，D四个备选答案，从中任意选择一个答案，答案恰好错误；②掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上．符合该折线统计图的事件可能是______．（填序号）
【答案】②
【解析】
【分析】在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验．
【详解】解：由折线统计图可知，试验频率的稳定值约为，
①对于单项选择题，共有4个等可能选项，其中1个为正确答案，3个为错误答案，因此，选到错误答案的概率为，与频率稳定值0.5不符
②掷一枚质地均匀的硬币，共有2个等可能结果，其中正面朝上的结果有1种，因此概率为，与统计图中频率的稳定值一致；
∴符合该折线统计图的事件可能是②．
15. 在平面直角坐标系中，将一个正六边形向右平移5个单位，再向上平移3个单位后，得到如图所示的正六边形，此时点的坐标为，那么平移前点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质，已知平移后的坐标求平移前的坐标，可采用逆向平移的方法，即将平移后的点向左平移5个单位，再向下平移3个单位即可得到原坐标；
【详解】解：根据题意，正六边形向右平移5个单位，再向上平移3个单位，
根据平面直角坐标系中点的平移规律，平移前的点可以通过将平移后的点向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到，平移前点的横坐标为4−5=−1 ，平移前点的纵坐标为，
所以平移前点的坐标为．
16. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使得点落在点F处，连接，当线段取最小值时，线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据题意可得当点A，F，C三点共线时，取得最小值，此时，过点E作于点G，过点C作交的延长线于点H，则，，结合直角三角形的性质可得，设，则，，，， 在中，利用勾股定理可得x的值，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴当点A，F，C三点共线时，取得最小值，此时，
如图，过点E作于点G，过点C作交的延长线于点H，则，，
∴，
∴，，
∴，，
∴AC=AH2+CH2=7 ，
∴，
设，则，，，
∴，
在中，，
∴2−x2+3x2=3−2x2，
解得：，
∴BE=2x=54．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解答以下问题：
（1）计算：；
（2）杨老师给出了一道“挑战题”：，小明和南南围绕这道题展开了讨论：
请你观察方程的特点，选择喜欢的方式解这个方程．
【答案】（1）0 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据绝对值、乘方、零指数幂分别计算即可；
（2）按照解一元一次方程的步骤求解即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：小明：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
南南：，
方程两边同乘去分母，得： ，
去括号得： ，
合并同类项、移项得： ．
18. 某连锁书店规定图书售罄后需在若干小时内完成补货，完成补货的时间称为补货时效．这家连锁书店2家门店1月至6月的每月平均补货时效（单位：小时）如表：
（1）“学校周边店”1月至6月平均补货时效的平均数为 小时；
（2）若“学校周边店”7月的平均补货时效为12小时，那么1月至7月“学校周边店”补货时效的统计数据中会变大的是 （填“平均数”，“中位数”或“众数”）；
（3）为了优化社区便民店的管理，工作人员从1月至4月中随机抽取两个月份的数据进行分析，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两个月份，其各自的平均补货时效都大于17小时的概率．
【答案】（1）
12 （2）
中位数 （3）
【解析】
【分析】（1）平均数定义为所有数据之和除以数据个数；先计算“学校周边店”1－6月时效总和，再除以6得平均数．
（2）先分别计算原1－6月和新1－7月平均数，中位数，众数，通过比较数值变化确定变大的统计量．
（3）用列表法列举从4个月份中抽取2个月份的所有可能组合，筛选出两个月份时效均大于17小时的组合，用符合条件的组合数除以总组合数得概率．
【小问1详解】
“学校周边店”1－6月补货时效总和：
（小时），
“学校周边店”1月至6月平均补货时效的平均数为（小时）．
【小问2详解】
原1－6月数据排序：9，10，11，12，12，18，
原平均数12＋11＋18＋9＋12＋10÷6＝72÷6＝12 （小时），
原中位数11＋12÷2＝11.5 （小时），
原众数：12（出现2次），
加入7月12小时后新数据排序：
，
新平均数72＋12÷7＝84÷7＝12 （小时），
新中位数：12（第4个数），
新众数：12（出现3次），
比较可知中位数从11.5变为12，数值变大．
所以，数据中会变大的是中位数．
【小问3详解】
1－4月中社区便民店大于17小时的月份（1月份18，2月份19），
列表列举所有无序组合：共6种，如下表所示，
符合条件的组合数仅1种（1月，2月），
抽到的两个月份，其各自的平均补货时效都大于17小时的概率．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求n的值及反比例函数的表达式；
（2）观察图象，当时，直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
【答案】（1）；反比例函数的表达式为
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入一次函数求出点坐标，再将点代入反比例函数求解即可；
（2）根据图象求解即可；
【小问1详解】
解：∵点在一次函数的图象上，
将代入一次函数得：n=−−1+1=2 ，
∴点坐标为．
又∵在反比例函数​上，
将代入得：k=−1×2=−2 ，
∴反比例函数的表达式为​．
【小问2详解】
解：观察图象，当时，两个函数交点是，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，一次函数值大于反比例函数值，此时x的范围是．
20. 甲秀楼是贵阳市的著名景点之一，每年吸引着络绎不绝的游客前来观光打卡．南明区某校数学兴趣小组为了测量甲秀楼的高度，开展了一个项目式探究活动，测量方案与数据如下表：
请根据以上信息，完成下面的任务：
（1）任务一：用含x的代数式表示线段的长为 m；
（2）任务二：求甲秀楼的高度的长．（参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）中，得到；
（2）由题意可得，在中，根据，得到，再根据列方程计算即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，，，
中，，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可得，
中，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴甲秀楼的高度．
21. 如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据是边上的高，得出，则．结合，得出．即可得，即．结合四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形．
（2）根据四边形是菱形，得出，结合，得出是等边三角形，则AD=AB=4,AE=BE=12AB=2 ，由勾股定理得​，再根据四边形的面积求解即可​．
【小问1详解】
证明：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，∠AOB=180°−∠OAB+∠DBE=90° ，即．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴AD=AB=4,AE=BE=12AB=2 ，
在中，由勾股定理得：DE=AD2−AE2=42−22=23​，
∴四边形的面积=23×4=83​．
22. 如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航．
（1）为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？
（2）在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？
【答案】（1）军舰原来的速度是海里；
（2）补给船航行了海里．
【解析】
【分析】（1）设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里，先求出总路程，再根据题意列分式方程求解即可；
（2）连接交中点于F，则是的中位线，可知海里，海里，，设相遇时补给船航行了海里，则EF=30−3x海里，根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里，
由题意可知海里，海里，
则总路程为（海里），
∵军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴军舰原来的速度是海里；
【小问2详解】
解：取的中点，连接，
则是的中位线，
∴海里，海里，，
设相遇时补给船航行了海里，即海里，
∵军舰航行的总路程是补给船的3倍，
∴军舰路程为海里，
则BE=3x−20海里，
∴EF=BF−BE=10−3x−20=30−3x海里，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，，
当时，与重合，为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去，
∴补给船航行了海里．
23. 如图，在中，，是的外接圆，点是上的一点，且，连接与交于点，是的一条切线，与的延长线交于点．
（1）请用尺规作图找到圆心点的位置（保留作图痕迹），点 线段上；（填“在”或“不在”）
（2）猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析，在
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线，与的交点即为圆心O；
（2）根据三角形外角的性质得到，根据等弧所对圆周角相等可知，进而可知，根据三角形外角的性质得到，则；
（3）连接，证明，得到，进而得到，由勾股定理求出，证明，可证，则，即，，根据即可求出的长．
【小问1详解】
解：如图，可知点在线段上；
∵，
∴为直径，
∴为中点；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵是的外角，，
∴，
∵，
∴，
因此．
又∵是的外角，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：在和中：，，
∴，
得．
∵，，
∴，
∴，
即（负值舍去）．
在中，由勾股定理：，
如图，连接，
∵是的切线，
∴．
∵∠BAO+∠CAO=90° ，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，．
又，代入得：，
解得．
24. 雨季将要来临，某农户计划给蔬菜大棚进行加固．如图，该蔬菜大棚截面形状可近似看作抛物线的一部分，为垂直于地面的保温墙，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．现要在大棚内部的点E，F处（点E在点F的右侧）焊接两根加固钢材和，且．已知大棚的跨径，顶端C点到保温墙所在直线的距离为，到地面所在直线的距离为．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若总共使用长的钢材加固大棚，求点F的坐标；
（3）若钢材总长度越长，加固效果越好．加固效果最好时，点F的位置在哪里？此时加固大棚所需钢材长度是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）加固效果最好时，F与保温墙顶端D重合，坐标为，此时所需钢材长度为
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据（1）可知抛物线的对称轴为直线，根据，，得出点E和点F关于对称轴对称，设，则点的横坐标为，根据，得出，则点的坐标为，将点代入抛物线表达式： ，求出，根据自变量取值范围得出 ，即，故舍去．则，据此求出点的坐标即可解答．
（3）先求出，则点D关于抛物线对称轴的对称点为，设点的坐标为，钢材总长度为，则，根据，点在点右侧，得出，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，坐标系原点，顶点 ， ，
设抛物线顶点式为： ，
将 代入得：，解得​，
则抛物线对应的函数表达式为： ．
【小问2详解】
解：∵抛物线对应的函数表达式为： ，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴点E和点F关于对称轴对称，
设，则点的横坐标为，
∵，
∴，即点的纵坐标为．
∴点的坐标为，
将点代入抛物线表达式得： ，
解得：，
∵ ，即，故舍去．
当时，点的横坐标为，纵坐标为，
所以，点的坐标为，
故点的坐标为．
【小问3详解】
解：在中，令，则，
，点D关于抛物线对称轴的对称点为，
设点的坐标为，
∵，抛物线对称轴为直线，
∴，
设钢材总长度为，则，
即，
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，
又 ∵，点在点右侧，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
此时点的坐标为，
∴点的坐标为，
所以，点的坐标为时加固效果最好，此时钢材总长度为．
25. 如图，在矩形中，，点E在矩形内部，，，与的延长线相交于点F，连接．
（1）【新知初探】如图①，当点F与点C重合时，写出一个30度的角 ； ；
（2）【问题延伸】如图②，当点F与点C不重合时，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）【拓展应用】连接，当时，求的值．
【答案】（1），，，（写出一个即可）；
（2），证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得到，，，然后得到，求出，然后利用正切的定义得到，然后利用同角的余角相等和平行线的性质求解即可；
（2）首先证明四边形是矩形，得到，然后证明，即可得到；
（3）设，则，表示出，然后分两种情况讨论，证明出点A，D，F，B四点共圆，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形
∴，，
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
∵
∴，；
∴
∵
∴
∴30度的角有，，，（写出一个即可）；
【小问2详解】
解：，证明如下：
由（1）得，
∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形
∴
∵
∴，即
又∵
∴
∴；
【小问3详解】
解：∵
∴设，则，
由（2）得，
∴
∵四边形是矩形
∴
如图，当点F在线段上时，
∴
∴
∵
∴，，
∴
∵
∴，
∴
∴点A，D，F，B四点共圆
∴
∵，
∴
∴；
如图，当点F在射线上时，
同理可得，
∴
∴AE=3CG=23x
∵
∴DC=AB=AE2+BE2=21x ，
∵
∴，
同理可得，
∵BD=AD2+AB2=27x ，
∴DF=BD2−BF2=4x
∴DCDF=21x4x=214；
综上所述，的值为或．门店名称
1月
2月
3月
4月
5月
6月
学校周边店
12
11
18
9
12
10
社区便民店
18
19
16
17
20
17
月份A
月份B
组合
两时效是否都大于17小时
1
2
（1，2）
是
1
3
（1，3）
否
1
4
（1，4）
否
2
3
（2，3）
否
2
4
（2，4）
否
3
4
（3，4）
否
探究项目
测量甲秀楼的高度
测量工具
测角仪，皮尺，标杆（长度为）
采集照片绘制图形拟定计划


说明：线段的长表示甲秀楼的高度，线段，表示标杆，标杆与地面垂直，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内．
实施计划数据采集回顾反思
小组成员甲在点D处竖立标杆，在点C处测得甲秀楼最高点A的仰角为，再把标杆沿正对甲秀楼方向平移至处，在点E处测得最高点A的仰角，设为．