河北唐山市丰润区2024-2025学年第二学期期中质量检测高一数学试卷（含解析）

这是一份河北唐山市丰润区2024-2025学年第二学期期中质量检测高一数学试卷（含解析），共44页。试卷主要包含了回答选择题时，选出每小题答案后， 如图，，设，则， 若复数满足，则的虚部为， 已知向量，则“且”是“”的， 已知为虚数单位，复数，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形弧长和面积公式求解.
【详解】设该扇形半径为，圆心角为，
则，解得.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以，即，所以.
3. 已知，，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】根据向量坐标减法法则，，
则.
4. 如图，，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可知：
.
5. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ）
A. 该校所有学生B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间
C. 所调查的100名学生D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间
【答案】B
【解析】
【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确.
6. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. 1B. iC. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由，得，
则的虚部为1.
7. 已知向量，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到，
若，由相等向量的定义知且同向，即，
所以“且”是“”的必要不充分条件.
8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解．
【详解】解：根据正弦定理得，．
，，
，解得，
所以为直角三角形．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 已知为虚数单位，复数，则（ ）
A. 与互为共轭复数B.
C. 为纯虚数D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据共轭复数的定义分析判断，对于B，分别求出两复数的模进行判断，对于C，直接计算进行判断，对于D，直接计算判断.
【详解】对于A，因为的共轭复数为，所以与不互为共轭复数，所以不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，为实数，所以C不正确；
对于D，因为，所以，所以D正确.
故选：BD
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案.
【详解】对于A，在中，，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由，得，则A是锐角，显然B，C是否都是锐角无法确定，C错误；
对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先根据向量的加法及减法法则，再应用数量积运算律可逐一判断．
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则得，，
则，A选项正确；
因为，且，不相等，所以C选项错误；
又，
所以，B选项正确；
因为不一定为0，且，不一定相等，所以D选项错误；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则的周长为______.
【答案】9
【解析】
【分析】由题知，进而结合题意得，，再根据余弦定理解方程即可得答案.
【详解】解因为，所以，
又因为，
所以，又为锐角，所以，
由余弦定理得，解得或，
因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.
所以，所以的周长为.
故答案为：9
13. 若复数为虚数单位，，则 ______
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求得，得到复数对应点，设，由，得到，结合圆的性质，即可求解.
【详解】由复数，所以复数对应复平面内的点，
设，则复数对应复平面内的点，
由，可得，
在复平面内，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，如图所示，
所以．
故答案为：．

14. 化简__________．
【答案】
【解析】
【详解】.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理即求；
（2）利用正弦定理即得.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可知：
,
【小问2详解】
在中，由正弦定理可知：，
即：
.
16. （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积；
（2）已知复数， ，且，求的范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用复数的几何意义，结合圆的面积公式即可得解；
（2）利用复数相等得到关于的方程组，从而得到关于的表达式，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）由复数的几何意义知：满足条件的点的集合的图形为圆环，
其中大圆半径为，小圆半径为，
故所求面积为.
（2）因为， ，且，
所以，所以且，
故，
因为，，
所以当时，有最小值为，
所以范围为.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求边上的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值；
（2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高.
【小问1详解】
由和余弦定理，
可得：，
化简得，则得，
故；
【小问2详解】
由可得，
由（1）已得，解得，
由余弦定理，
，解得，
设边上的高边上的高为，
则由，解得，
故边上的高为.
18. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.
（1）当时，求该艺术品的体积；
（2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积.
（2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值.
【小问1详解】
当时，设圆柱的半径为，则，解得，
此时该艺术品的体积为.
【小问2详解】
设圆柱的半径为，则，解得，
要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可，
，
当时，取得最大值，
故当时，该艺术品的表面积最大.
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，点是的中点，且，求的值；
（3）已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算列方程，然后角化边，根据余弦定理求出角的大小.
(2)在三个三角形中分别用余弦定理找出，的关系式解方程即可.
(3)方法一：先确定点的位置分两种情况进行分析，根据余弦定理和面积关系找到的关系即可；方法二：由面积公式求出，再分点与点在直线的异侧与同侧两种情况讨论，设，利用正弦定理表示出线段的长度，再计算可得.
【小问1详解】
因为所以，
角化边可得：，
整理可得，
又因为，
又因为为三角形的内角，所以.
【小问2详解】
在中由余弦定理可得：，
整理得：；
在中由余弦定理可得：，
在中由余弦定理可得：，
又因为，所以，
又因为，所以，
解方程组：，解得或，
所以或.
【小问3详解】
方法一：因为点满足，所以点在的外部，
设，，，
当在直线的异侧时，
在中由余弦定理有：，
又因为的面积为，即，所以，
所以，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
所以，
整理得： ，
又因为，
所以，
整理得：，即，
又因为
所以即，
所以；
当在直线的同侧时，
分别在，，，中用余弦定理及的面积为
依然可以得出，
又因为，
即
整理得：，又因为，
所以，
即，
所以.
综上所述的值为或
方法二：因为的面积为，所以，所以，
若点与点在直线的异侧，设，
则，，，
在中由正弦定理，所以，；
在中由正弦定理，所以，；
所以
；
若点与点在直线的同侧，设，
则，，，
在中由正弦定理，所以，；
在中由正弦定理，所以，；
所以
；
综上可得的值为或.