中考数学几何综合题7大题型练习（无答案）

这是一份中考数学几何综合题7大题型练习（无答案），共17页。
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
命题趋势：
解答题：稳定考查几何综合题，核心是以正方形、菱形、矩形为背景，叠加折叠、旋转、平移三大变换，与全等三角形、相似三角形、勾股定理、函数等知识点相结合，重代数运算、轻纯证明，侧重最值定值与分类讨论考查．
2026年预测：解答题极可能仍为几何综合题．
备考核心：吃透几何模型，熟练掌握辅助线的做法，以几何转代数，化动为静突破最值动点难题．
题型01 图形的旋转
析典例·建模型
1．（2026•长沙模拟）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，其中点E，F分别是点B，C的对应点．
（1）如图1，连接DG，BE，则DGBE的值为 ．
（2）如图2，当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O，连接BE．
①DE的长度为 ．
②求证：OG＝OB．
（3）若直线EB，DG交于点H，当BE＝8时，请直接写出BH的长．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•临湘市模拟）【问题提出】
数学课上，李老师提出问题：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°．试探究：
①若∠ABC＝α，用含有α的式子表示∠ADC；
②若BC，CD与AC满足关系式BC+CD＝k•AC，求k的值．
【方法探究】
九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图：
方法1：延长CD到点F，使DF＝BC，连接AF，根据“边角边”容易证得△ADF≌△ABC；
方法2：将△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点C的对应点为F，则△ADF≌△ABC．
【问题解决】
（1）用含有α的式子表示∠ADC＝ ，k＝ ；
【应用提升】
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BAD＝2∠BCD＝120°，BC=23CD=23，求线段CE的长．
【拓展应用】
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，点P为△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC．若PA＝6，PB=43，且∠APC+∠BAC＝180°．直接写出△BCP的面积．
2．（2026•宁乡市一模）在矩形ABCD中，E是边AB上一点（不与端点重合），以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形BEGF，使得ABBC=BEBF=m，连接DG．
（1）如图1，当m＝1时，求AEDG的值；
（2）如图2，将矩形BEGF绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜30°），连接AE，当m=33时，求AEDG的值；
（3）如图3，矩形BEGF在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D，G，F三点共线．若m=34，BF＝4，求AE的长．
题型02 图形的折叠
析典例·建模型
1．（2026·湖南·一模）综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD的边AB的中点E，再沿DE折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长DF，与BC交点为G．
请写出线段FG与线段BG的数量关系______．
（2）迁移思考
如图2，把▱ABCD按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断FG，BG这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
如图1，若AB=2，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当CG=1时AD的值．

研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026·湖南株洲·一模）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在BC上，且AE⊥BD，垂足为点P．
(1)求证：△ABP∽△DBA；
(2)求BE的长；
(3)如图2，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点C′，连接EC′，交BD于点F，求△PEF的面积．
2．（2026·湖南株洲·一模）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，求GHCE；
(3)剪一剪、折一折：在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，求CM长．
题型03 相似三角形问题
析典例·建模型
1．（2026•永定区一模）在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．
（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；
（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN•MD时，求AE的值．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•湖南模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点P是对角线AC上一动点，连接BP，作BP⊥PE交CD于点E，以BP，EP为边作矩形BPEF，连接线段CF，线段EF与对角线AC交于点Q．
（1）求证CF⊥AC；
（2）求tan∠BCF；
（3）当PQ＝FQ时，求AP的长度．
2．（2026•衡南县模拟）综合与实践
把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究．
已知△ABC是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在BC同侧增加特殊图形．
特例研究
（1）如图1，当四边形BCDE是正方形时，点A在对角线BD上，△EBD∽△ABC，则相似比为 ．
（2）如图2，当四边形BCDE是矩形时，ED经过AB的中点F，△EBF与△ABC是否相似？如果相似，求出它们的相似比．
类比探究
（3）如图3，当四边形BCDE是菱形时，以BE为直角边，点E为直角顶点，在BE边右侧再作一个等腰直角三角形BEF，连接EA，CF，求EA，CF所在直线的夹角（锐角）的度数．
（4）若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究CF与CD之间的数量关系．
题型04 几何最值问题
析典例·建模型
1．（2026•雨花区模拟）在△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC上一点，BE⊥AD，垂足为点E．
（1）如图1，∠ABE＝∠C，求∠CAD的度数；
（2）如图2，BD＝AB，F是BE的中点，∠CAF＝60°，猜想AC与AF的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，BD＝AB＝4，CD＝2，F是BE上一动点，求2CF+BF的最小值．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026·湖南株洲·一模）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O．连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q．
【活动猜想】
（1）GD与GE的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若AD=3，AE=1，求QF的长；
【综合探究】（4）若AD=3，则当AP=_______时，△DPG的面积最小．
2．（2026•邵阳校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上（点P不与点A，D重合），沿BP折叠正方形，使点A落在正方形内部的点M处．展开后，连接PM，BM，并延长PM交CD于点E，过点E作EF∥BC，分别交AB，BP于点F，N．
（1）如图1，当∠ABP＝30°时，
①证明：△PNE是等边三角形；
②判断CECD的值是否为定值？若是，求CECD的值；若不是，请说明理由．
（2）如图2，若正方形边长为4，求CE•PD（AP+AD）+8AP的最小值．
题型05 新定义问题
析典例·建模型
1．（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，记为O(k,θ)，如果是顺时针旋转一个角度θ，则θ记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
(1)填空：
①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）；
②如图2，△ABC是边长为2cm的等边三角形，∠BAC=60°，将它作旋转相似变换A2,90°，得到△ADE，则线段BD的长为__________cm．
(2)如图3，△ABC经过Bk1,α得到△EBD，又将△ABC经过Ck2,−β得到△FDC，连接AE,AF，求证：AE=DF．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•涟源市一模）阅读与思考
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是90°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是90°，若AB＝CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段．
【问题解决】
（1）问题1：如图1，在矩形ABCD中，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝ °．
（2）问题2：如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，点E在线段AD上，且DE＝DC，连接BE．求证：线段BE是线段AC的双关联线段．
（3）问题3：如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
2．（2026•湖南一模）中央广播电视总台2026马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线l上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线l为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）．
例如：如图，在正方形ABCD中，取固定方向为平行于对角线AC的方向，两端点都在正方形上且平行于AC的所有截线段（如M1N1，M2N2，M3N3等）的中点均在对角线BD所在的直线上．因此，正方形ABCD是“骐骥图形”，直线BD是它的一条“驰骋轴”．
（1）请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“√”，不是“骐骥图形”的打“×”）：
①梯形；（ ）
②六边形；（ ）
③双曲线y=kx(k≠0)（ ）
（2）由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），其“驰骋轴”l与x轴交于点C，点M是抛物线的“驰骋轴”l上一动点．
①若△AMC的“驰骋轴”为直线y＝2x+n，求点M的坐标；
②在点M的运动过程中，tan∠AMO是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型06 探究数量关系
析典例·建模型
1．（2026•郴州一模）【问题背景】
如图1，在菱形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线BD将纸片剪开，得到△ABD和△CB′D′，如图2所示．
将△CB′D按图3摆放，使得点B′与BD的中点重合．现将△CB′D绕点B′顺时针旋转，旋转到线段B′D′与射线BA无交点时停止．边B′C与AD相交于点M，边B′D′与射线BA相交于点N．
（1）如图3，当点M与A重合时，则ANAB= ；
（2）如图4，当N为边B′D′与BA的延长线的交点时，求证：B′B2＝BN•DM；
（3）如图5，当N为边B′D′与线段BA的交点时，且AM＝AN．设菱形纸片ABCD的边长为a，探究线段D′N，CM之间的数量关系（用含a的式子表示）．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026·湖南·一模）【问题背景】
在四边形ABCD中，E是线段BD上一点，连结CE，F为射线AB上一点（不与射线端点A重合），且∠AFE=∠BCE．
（1）如图①，若四边形ABCD为正方形，点F在线段AB上，则CE与EF之间的关系是______；
【类比探究】
（2）如图②，若四边形ABCD为矩形，点F在AB的延长线上，且BC=4，CD=3．探究线段CE与EF之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图②，在（2）的条件下，过点E作EM⊥BD交BC于点M，延长FE交AD边于点G，当CD＝DE时，直接写出BF的长．
2．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究
(1)【问题发现】
如图1，已知点E为正方形ABCD对角线AC上一动点（不与点A、C重合），连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，连接CF．请写出AE与CF的数量关系，并给出证明过程．
(2)【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合）．在Rt△BEF中，∠EBF=90°，∠EFB=∠ACB，连接CF．请探究此时AE与CF的数量关系，并给出探究过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，点E为射线AC上一动点，点M为△BEC的外接圆的圆心，连接BM，CM，若AC=8，则当∠BMC=90°时，请直接写出线段AE的长．
题型07 几何与函数相结合
析典例·建模型
1．（2026•怀化模拟）除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接CE，BF，EF，CF，线段BF，CE相交于点O，若AE＝DF，证明：四边形BCFE为“双直四边形”；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，8），C（16，0），点B在线段OC上，且AB＝BC．
①求AB的长；
②在第一象限内，是否存在点D，使得四边形ABCD为“双直四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•邵阳模拟）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝DF＝DE＝2cm．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE＝60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 （结果保留根号）．
2．（2026•鹿城区二模）探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D在BC边上，且CD＝2BD，连接AD并延长至点E，使得AE＝AB，作CF∥AE交BE延长线于点F，连接AF交BC于点G．记cs∠ABC＝x，DGCG=y．
【图形认识】求证：CF＝3DE．
【引元关联】设DE＝t，求y关于t的函数表达式．
【特例计算】如图2，当AF⊥BC时，分别求出y和x的值．
【规律研究】已知0＜x＜1，求y的取值范围．
1、旋转核心性质
（1）旋转前后图形全等，对应边、角完全相等
（2）对应点到旋转中心距离相等
（3）任意两组对应点连线，夹角等于旋转角
（4）旋转只改位置，图形形状、大小永久不变
2、三大核心模型
（1）手拉手模型

①特征：共顶点，两条等腰等线段
②构造：顶角相同，左右两边各自相等
③结论：旋转直接出全等三角形
④用途：求角度、边长、证明线段相等/垂直
（2）半角模型
①特征：大角含一半小角（常见90°含45°、120°含60°）
②做法：旋转拼接分散线段，拼成整体
③结论：线段和差关系直接转化，快速求值
（3）对角互补旋转模型
①特征：四边形对角相加等于180°
②做法：旋转补形，拼成等腰三角形
③用途：求边长、面积、最值
1、对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；
2、折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）．
3、折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）.
4、选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解.
5、四大模型
（1）直角三角形折叠：直角翻折，构造等腰三角形，依靠勾股定理列方程；
（2）矩形折叠（考最多）：翻折出等腰、平行线内错角相等，产生等腰三角形；
（3）落点在边上折叠：落点落在长边/斜边，设未知数，勾股列方程求解；
（4）重叠面积模型：求阴影面积，转化为大图形减空白图形计算.
1、判定定理
（1）AA两角相等：两角对应相等，直接相似
（2）SAS两边成比例+夹角相等：两边比值相等，夹角相同
（3）SSS三边成比例：三边对应比值全部相等
（4）平行判定：平行线截三角形，构成小三角形∽原三角形
2、三大经典模型
（1）A字模型：平行线平行底边，上下相似
（2）8字模型：对顶角相等，两组内错角相等，直接相似
（3）一线三等角：一条直线上三个等角，左右两三角形相似
3、相似三角形的性质
（1）对应边比值=相似比
（2）周长比=相似比
（3）面积比=相似比平方（高频易错）
（4）对应高、中线、角平分线比=相似比
4、解题通用步骤
（1）找角：先找相等角（对顶角、平行线同位角内错角、公共角）
（2）定判定：确认用 AA / SAS / SSS 中哪一个
（3）写比例式：对应顶点顺序要一致！
（4）求线段或证明比例式：常结合方程思想
（5）面积问题：记得平方相似比
1、核心口诀
两点之间，线段最短；垂线段最短；定点定长走圆轨
2、五大模型
（1）将军饮马（两定一动）
①特征：直线一侧两定点，直线上找一动点
②做法：作对称点，连线最短
③结论：两点线段长=最小值
（2）垂线段最短
①特征：定点到直线找点
②结论：垂线段为最小值
③适用：高、距离、最短路径
（3）胡不归最值（PA+kPB）
①特征：动点在直线上，带系数线段
②核心：构造特殊角，转化系数线段，变垂线段求解
（4）隐形圆最值（定点定长）
①特征：动点到定点距离不变
②轨迹：圆
最值：点到圆最近：半径减圆心距，点到圆最远：半径加圆心距
（5）造桥选址（平移最值）

①特征：中间隔固定宽度河流
②做法：平移定点，消去桥宽，转化将军饮马
3、最值核心性质
（1）三角形三边：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边
（2）共线时取最值：同向共线最大，反向共线最小
（3）相似配合求高，求垂线段最值
1、先读懂新定义，转化为顶点、对称轴、最值、距离等熟悉知识点
2、设坐标、代解析式，转化为方程不等式计算
3、分类讨论，划分区间判断增减性
4、利用数形结合，看图锁定取值范围
5、核心思维：以代数推理为主，摒弃固定解题模板
1、三大关系
（1）和差关系：a+b=c
（2）倍数关系：2a=b，a=2b
（3）平方关系：a2+b2=c2
2、核心解题思路与通法
（1）截长补短（处理和差关系）：适用于求证 a + b = c 或 a − b = c
①截长：在较长线段上截取一段等于已知短线段，证剩余部分等于另一条
②补短：把短线段延长使其等于长线段，证延长部分等于另一条
③常用配合：全等三角形（SAS/ASA）或等腰三角形
（2）作平行线 / 构造A/X型（转化线段比）
①过某点作已知边的平行线 → 产生相似三角形
②把分散的线段集中到同一直线上，或把"倍数关系(2、2、12)"转化为相似比
（3）旋转构造（处理倍角、2、3、相等邻边）
①等腰Rt△中旋转90° → 得全等+2倍关系
②等边△中旋转60° → 得3相关、菱形
③共顶点等长线段 →手拉手模型
（4）利用相似/射影定理（处理乘积/平方关系）
（5）建系/坐标法
①复杂图形无显然全等相似时，建立直角坐标系
②用两点间距离公式算长度，代数推导数量关系
③适合"写得清坐标"的图形（矩形、正方形、格点）
3、做题三步口诀
（1）看形状：等边/等腰直角/正方形
（2）选方法：截长补短发优先，不行就旋转
（3）构全等：转化线段，观察共线得出关系
1、五大解题工具
（1）倒角：对顶角、外角、互余、平行线内错角，几何做题先倒角
（2）全等五模型：倍长中线、截长补短、一线三等角、角平分线、手拉手旋转
（3）相似四模型：A字、8字、一线三等角、母子型
（4）辅助线口诀：
①遇中点：倍长中线、作中位线
- 角平分线：作垂直、截相等
- 等腰/等边：作高、旋转
- 求比例：作平行构造相似
（5）计算工具：勾股定理、三角函数、相似比例、面积法
2、各类图形解题核心
（1）三角形
①中点→中位线、倍长中线
②直角→斜边中线等于斜边一半
③等腰→三线合一
（2） 四边形
①平行四边形：对边平行相等，对角线平分
②矩形：对角线相等
③菱形：对角线垂直、平分内角
④正方形：旋转90°，全等相似混用
（3）圆综合
①切线垂直半径
②同弧圆周角相等
③垂径定理、切割线
④多用母子相似解题