中考数学专题训练：几何综合解答题（含答案）

这是一份中考数学专题训练：几何综合解答题（含答案），共37页。试卷主要包含了济南中考示例 ，针对性训练 等内容，欢迎下载使用。
2022济南中考 :
26（本题满分12分）. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，
将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
二、针对性训练 ：
（2021济南中考，26题满分12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
点D在边BC上，BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，
连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
2.小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一）猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，
将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
如图1，若M是线段BC上的任意一点，
请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ，NB与MC的数量关系是 ；
如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，
连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
拓展应用：如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，
P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转60°，
得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，
以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，已知△ACF∽△BCE．
请直接写出线段BE与AF的数量关系；

实验研究：在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，
连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；
结论运用：在（1）（2）的条件下，若△ABC的面积为8，
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请求出线段AF的长．
（1）【问题背景】如图①，已知△ABC∽△ADE，
请直接写出图中的另外一对相似三角形： ；
【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数；
（3）【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝3，请直接写出AD的长．
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在斜边BC上，且满足BD＝BC，
将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接CE，BE，
以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系 ；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②当B，E，F三点共线时，如图3，连接AE，若AE＝3，请直接写出cs∠EFA的值及线段BC的值．
6.在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，
连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．
线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？
若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，
再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，
再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，
写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
7．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，的值为 ．
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC转到如图2的情况时，求出的值．
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝4，AC＝3，直接写出线段BE的长 ．
8.某数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究：
问题发现：
如图1，在等边三角形ABC中，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，发现：CN与AB的位置关系 ；BM与CN的数量关系 ．
变式探究：
如图2，在等腰△ABC中，BA=BC，∠ABC=∠α，点M为边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，MA=MN，使∠AMN=∠ABC，连接CN，证明： ．
解决问题：
如图3，在正方形ADBC中，点M为边BC上一点，以AM为边作正方形作AMEF，N为正方形AMEF对角线的交点，连接CN，若正方形AMEF的边长为，CN=，请你求正方形ADBC的边长．

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，
点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，
请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．

10.某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：
如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一条直线上，
连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．
问题探究：
（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下是她的证明过程
请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图1中作出证明中所描述的辅助线；
②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．
（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．
问题拓展：
如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，
其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．
中考数学专题训练：几何综合解答题及解答
一、济南中考示例 ：
2022济南中考 :
26证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
二、针对性训练 ：
1.解：（1）如图1，当α＝180°时，点E在线段BC上，

∵BD＝BC，
∴DE＝BD＝BC，
∴BD＝DE＝EC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝∠BAC＝90°，
∵∠ECF＝∠BCA＝45°，
∴△ABC∽△FEC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵BC＝AC，
∴＝＝，
∴＝，即＝＝，
∴＝•＝×＝；
（2）①＝仍然成立.
理由如下：
如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝45°，＝，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝45°，＝，
∴∠ECF＝∠BCA，＝，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵＝，
∴△CAF∽△CBE，
∴＝＝，
∴＝仍然成立．
②四边形AECF是平行四边形．
理由如下：
如图3，过点D作DG⊥BF于点G，

由旋转得：DE＝BD＝BC，
∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴＝＝＝，
∵BD＝DE，DG⊥BE，
∴BG＝EG，
∴BG＝EG＝EF，
∵EF＝CF，
∴CF＝BG＝BF，
由①知，AF＝BE＝BG＝CF＝CE，
∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠CBE＝∠ACE，
∴∠CAF＝∠ACE，
∴AF∥CE，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
2.解：（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，
即：∠MAC＝∠NAB
∵AB＝AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC＝NB，
故答案为∠NAB＝∠MAC，MC＝NB；
（2）（1）中结论仍然成立，
理由：由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，
即：∠MAC＝∠NAB，
∵AB＝AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC＝NB；
（3）如图3，取A1C1的中点O，则C1O＝A1O＝A1C1，

在Rt△A1B1C1中，∠C1＝30°，
∴A1B1＝A1C1，∠B1A1C1＝90°﹣∠C1＝60°，
∴C1O＝A1O＝A1B1＝8，
由旋转知，A1P＝A1Q，∠QA1P＝60°，
∴∠B1A1C1＝∠QA1P，
∴∠PA1C1＝∠B1A1Q，
∴△PA1O≌△QA1B1（SAS），
∴OP＝B1Q，
要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，
而点O是定点，则OP⊥B1C1时，OP最小，
在Rt△OPC1中，∠C1＝30°，OC1＝8，
∴OP＝OC1＝4，
即：线段B1Q长度的最小值为4．
3.解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF＝CF，∠F＝90°，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，
∴∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，
∵点E与点A重合，
∴∠FEC＝∠FAC＝∠B，∠FCE＝∠FCA＝∠ACB，AB＝BE，
∴△ACF∽△BCE；
∴，
∵＝sinB＝sin45°＝，
∴＝，
∴BE＝AF．
（2）BE＝AF．
证明：如图2，由（1）得，＝sinB＝sin45°＝，
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF＝CF，∠EFC＝90°，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，
∴＝sin∠FEC＝sin45°＝，
∴＝＝，
∵∠ACF＝∠BCE＝45°﹣∠ACE，
∴△ACF∽△BCE，
∴＝，
∴BE＝AF．
（3）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，
∴AD＝BC，AD⊥BC，
∴BC＝2AD，
∵△ABC的面积为8，
∴BC•AD＝8，
∴AD2＝8，
∴AD＝，
∴BC＝，
∵点E与点A重合，四边形CDEF是正方形，
∴EF＝CF＝DE＝AD＝；
如图2，B、E、F三点共线且点E在线段BF上，
∵∠BFC＝90°，
∴BF＝＝＝，
∴BE＝BF﹣EF＝﹣，
∵BE＝AF．
∴AF＝﹣，
∴AF＝；
如图3，B、E、F三点共线且点F在线段BE上，
则BE＝BF+EF＝+，
∵BE＝AF．
∴AF＝+，
∴AF＝，
综上所述，线段AF的长为或．
4.解：（1）【问题背景】
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE，
故答案为：△ABD∽△ACE；
（2）【尝试应用】
解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠B＝30°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°；
（3）【拓展创新】
解：如图③，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠ADM，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴＝，
∵AC＝3，
∴BM＝3，
∴AM＝＝＝，
∴AD＝AM＝．
5.解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC，
∵BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，
∴BD＝DE＝BC，BE＝CB，
∴CE＝CB，
∵∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝CB，
∴AF＝AC﹣CF＝CB，
∴BE＝2AF；
故答案为：BE＝2AF；
（2）①结论仍然成立，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
又∵，
∴△CBE∽△CAF，
∴，
∴BE＝2AF；
②∵B，E，F三点共线，
∴∠CEB+∠CEF＝180°，
∴∠CEB＝150°，
∵△CBE∽△CAF，
∴∠CEB＝∠AFC＝150°，
∴∠EFA＝150°﹣90°＝60°，
∴cs∠EFA＝cs60°＝；
如图3，过点D作DH⊥BE于H，
∵BD＝DE，DH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BE＝2AF，
∴BH＝HE＝AF，
∵DH⊥BE，CF⊥BE，
∴DH∥CF，
∴，
∴HF＝2BH，
∴EF＝HE＝BH，
∴EF＝AF，
∴△EFA是等边三角形，
∴EF＝AE＝AF＝3，
∴BE＝6，CF＝，
∴BC＝＝2．
6.解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∵∠DAT＝∠EAT＝45°，
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝BD，
∴CF＝BE．
∵∠CBA＝45°，∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ABC．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴△CMF≌△BMN（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC∥BT∥BD，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
∵△GCT是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝2CF．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴AT＝CT，
∴AB＝2CT，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°，
∴AE＝AD＝2FT，
∴＝＝2，
∴△BAE∽△CTF，
∴＝＝2，
∴BE＝2CF．
7．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴csC＝＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴＝＝，
又∠BCE＝∠ACD＝α，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝＝，
即＝；
（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴AE＝＝＝，
∴BE＝BA+AE＝3+；
②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，
AE＝＝，
∴BE＝BA﹣AE＝3﹣，
综上所述，BE的长为3±
故答案为：3±
8.解：问题发现
∵△ABC，△AMN为等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN且∠BAC＝∠MAN＝∠B=60°
∴∠BAC﹣∠CAM＝∠MAN﹣∠CAM，
∴∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
∴△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN．∠ACN=∠B=60°
∴∠BAC＝∠ACN=60° ∴AB//CN
变式探究：
∵BA=BC，MA=MN，∠AMN=∠ABC，
∴且∠ABC＝∠AMN，
∴△ABC～△AMN，
∵AB＝BC，∠ABC=∠α，
∴ ，
∵AM＝MN，∠AMN=∠ABC=∠α，
∴，
∴∠BAC＝∠MAN，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△ABM～△ACN，
解决问题：如图3，连接AB，AN．
∵四边形ADBC，AMEF为正方形，∴∠ABC＝∠BAC＝45°∠MAN＝45°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC 即∠BAM＝∠CAN，
∵N为正方形AMEF对角线的交点，AB为正方形ACBD对角线
， ∴△ABM～△ACN，
∴∴，
∴ ∴BM＝2，
设AC＝x， 在Rt△AMC， AC2+CM2＝AM2
即x2+（x﹣2）2＝10， 解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去），
答：边长为3．
9.解：（1）∠ADE＝30°．
理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠ACM＝∠ABC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠ADE＝30°；
（2）（1）中的结论成立，
证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°．
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACM＝30°．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝30°；
（3）∵AB＝AC，AB＝6，
∴AC＝6，
∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD．
∴＝．
∴AD2＝AF•AC．
∴AD2＝6AF．
∴AF＝．
∴当AD最短时，AF最短、CF最长．
易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD＝AB＝3．
∴AF最短＝＝＝．
∴CF最长＝AC﹣AF最短＝6﹣＝．
10.解：（1）①由题意作图如图1所示图形，

②证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．
∵F是BD的中点，
∴BF=DF．
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴ED∥CG．
∴∠BGF=∠DEF．
又∵∠BFG=∠DFE，
∴△BGF≌△DEF（ AAS）．
∴EF=FG．
∴CF=EF=EG．
故答案为AAS；
（2）如图3，延长BA，DE相交于点H，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAH=60°=∠EAD，
∵∠AED=90°，
∴∠H=30°，EH=DE，
由（1）②知，△BGF≌△DEF，
∴DE=BG，
∴EH=BG，
∵DE∥BG，
∴四边形BGEH是平行四边形，∠DEF=∠H=30°，
∴∠CEF=∠AED﹣∠DEF=60°，
∵CF=EF，
∴△CEF是等边三角形；
（3）如图2，
延长EF至G使，FG=EF，
∵点F是BD的中点，
∴DF=BF，
∵∠DFE=∠BFG，
∴△DEF≌△BGF（SAS），
∴BG∥DP，
∴∠P+∠CBG=180°，
在四边形ACPE中，∠AEP=∠ACP=90°，
根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P=180°，
∴∠CAE=∠CBG，
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，
∴tan∠DAE==，
即：，
同理：，
∴，
∵∠CBG=∠CAE，
∴△BCG∽△ACE，
∴∠BCG=∠ACE，
∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，
在Rt△CEG中，EF=GF，
∴CF=EF=EG，
∵△BCG∽△ACE，
∴=，
在Rt△CEG中，tan∠CEG==，
∴∠CEG=60°，
∵CF=EF，
∴△CEF是等边三角形．
证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．
∵F是BD的中点，
∴BF=DF．
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴ED∥CG．
∴∠BGF=∠DEF．
又∵∠BFG=∠DFE，
∴△BGF≌△DEF（ AAS ）．
∴EF=FG．
∴CF=EF=EG．