中考数学 函数综合题8大题型练习（无答案）

这是一份中考数学 函数综合题8大题型练习（无答案），共17页。
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
命题趋势：
解答题：稳定考查二次函数综合题，弱化繁杂计算，强化数形结合、几何存在性、定点定值与代数推理，融合相似，侧重思维考查．
2026年预测：解答题极可能仍为二次函数综合题．
备考核心：吃透解析式与铅垂面积，精通等腰直角平行四边形存在性，熟练韦达定理配相似推理，主攻最值定点．
题型01 反比例函数问题
析典例·建模型
1．（2026•湖南模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y=4−2mx（x＞0）的图象于点A、B，交x轴于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A的坐标是（2，﹣4），且BCAB=13，求m的值和一次函数的解析式．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•澧县一模）如图，直线y＝kx+b与双曲线y=mx（x＜0）相交于A（﹣3，1）、B（﹣1，n）两点，与x轴相交于点C．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＜0时，关于x的不等式kx+b＜mx的解集．
2．（2026•汨罗市模拟）如图，点A（1，m）和点B（n，2）是一次函数y＝﹣2x+8与反比例函数y=kx(x＞0)的图象的交点，且一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）连接OA，OB，直接写出△AOB的面积．
题型02 二次函数面积问题
析典例·建模型
1．（2026•湖南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2，过点A（﹣1，0）B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D是直线BC上方抛物线上一动点．
a．当∠BCD＝45°，求点D的坐标．
b．连接线段AC，CD，AD，设直线AD交线段BC于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2最大值．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•衡南县模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知在x轴上存在一点D，使得△ABD的周长最小，则点D的坐标为 ；
（3）若点P在直线AB上，直线CP将△ABC的面积分成2：3两部分，求点P坐标．
2．（2026•荷塘区校级一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线y＝kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E的横坐标是﹣3，求点M的坐标；
（3）若0＜k＜2，求四边形MCDB的面积的最小值．
题型03 二次函数图像的几何变换
析典例·建模型
1．（2026•湖南模拟）已知二次函数y=−14x2+32x的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB＝90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2025•株洲校级一模）现将抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）关于直线y＝m的对称抛物线记为L1，关于点（0，m）中心对称的抛物线记为L2．
（1）当a＝1，b＝﹣4，c＝3，m＝1时，求抛物线L1和L2的解析式；
（2）当a＝1，b＝﹣4，c＝3时，若直线y＝m与抛物线L，L1和L2有且只有4个交点，求m的取值范围；
（3）当b＝﹣2a，c＝a+3时，若抛物线L1的解析式为y=−12x2+kx−12k2−5，请写出抛物线L2的解析式．
2．（2025•岳阳县二模）已知抛物线W1解析式为：y=−12x2+2x．
（1）求抛物线W1的顶点坐标．
（2）将抛物线W1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线W2，求抛物线W2的解析式．
（3）点Q是直线OP上方，且又是抛物线W1图象上的一个动点，连接OQ、PQ，是否存在一点Q，使△OPQ面积最大，若存在，请求出此时点Q的坐标，并求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
（4）如图，抛物线W2的顶点为P，x轴上有一动点M，在W1、W2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型04二次函数新定义问题
析典例·建模型
1．（2026•长沙县模拟）我们不妨约定：若函数的图象与x，y轴的交点中，至少存在两个不同的点到原点的距离相等，则称该函数为“共c函数”，这两个点称为“共c点”．
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①一次函数y＝x+2是“共c函数”；
②y=3x是“共c函数”；
③y=13x2−13x−4是“共c函数”．
（2）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＜0）是“共c函数”，函数图象与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，且点B，C为“共c点”．
①过点C作x轴的平行线，交二次函数y＝ax2+bx+c的图象于点D，若CD＝3，求该二次函数的解析式；
②若0＜a＜b＜−c3，t=a2+c2b2，求t的取值范围．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•长沙二模）我们不妨约定：在平面直角坐标系xOy中，若点P（a1，b1）和点Q（a2，b2）满足：|a1﹣a2|+（b1+b2）2＝0，我们就说点P和点Q是该坐标平面内的一对“K点”；若函数y1，y2的图象上存在一对或一对以上“K点”（其中点P在y1的图象上，点Q在y2的图象上），我们就说函数y1，y2互为“K函数”，且|b1﹣b2|叫“K函数”的一个“K值”．
（1）根据约定填空：
①若A（a，4），B（1，b）是坐标平面内的一对“K点”，则a+b＝ ；
②若一次函数y1＝kx﹣4k，y2＝kx+2k2（k≠0），当自变量x＝k时，在函数y1，y2的图象上的两点恰好是一对“K点”，则一次函数y1的解析式为： ；
③已知反比例函数y1=mx(m≠0)，y2=nx（n≠0），且y1，y2互为“K函数”，则m，n应该满足： ．
（2）若函数y＝x+1与二次函数y＝ax2+bx+c互为“K函数”只存在一对“K点”且在y轴右侧，“K值”为8，二次函数图象的对称轴为直线x＝2，求二次函数的解析式．
（3）已知以x为自变量的二次函数y1＝x2﹣2mx+m2（m＞0），函数y1与y2互为“K函数”，且当自变量x取任意实数时，函数y1，y2的图象上对应点都是“K点”．记函数y1，y2的图象分别交y轴于A，B两点，函数y1的图象交x轴于点C，经过A，B，C三点的圆与x轴的另一个交点为D，点P是x轴下方圆上的动点，且点P不与点B，C，D重合，设PA2﹣PB2＝t，S△PCD＝s，令f=ts，当f取最大值时，试判断四边形ACBD的形状，并说明理由．
2．（2026•开福区校级一模）若某函数的图象与x轴、y轴分别交于P、Q两点（P与Q不重合），且OP＝OQ，则称该函数为“等截距函数”．例如，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于P1（3，0）、P2（﹣1，0），与y轴交于Q（0，﹣3），且OP1＝OQ＝3，则称函数y＝x2﹣2x﹣3为“等截距函数”．
（1）下列函数中，是“等截距函数”的在括号内打“√”，不是的在括号内打“×”；
①y＝﹣x+3（ ）；②y=2−xx−1（ ）；③y＝x2﹣4（ ）．
（2）抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点（点B在原点右侧），与y轴交于C点，“等截距函数”y＝kx+m的图象经过B、C两点，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
①如图1，连接BP、AP，AP与BC相交于点G，当S△PBGS△ABG=12时，求点P的坐标；
②如图2，AP平分∠BAC交y轴于点M，过M点的直线l与线段AB、AC分别交于E、F，当直线l绕点M旋转时，1AE+1AF为定值，请求出该定值．
题型05 二次函数线段最值问题
析典例·建模型
1．（2025•怀化模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•涟源市模拟）如图，函数y＝x2﹣1的图象C1与函数y＝﹣x2+bx+c的图象C2相交于A（﹣1，0），B（2，3）两点．直线x＝t（﹣1＜t＜2）与图象C1，C2分别交于E，F两点．
（1）求b，c的值．
（2）设直线x＝t（﹣1＜t＜2）与线段AB交于点D，记△BDF和△ADE的面积分别为S1，S2，当S1＝S2时，求t的值．
（3）若t满足a≤t≤a+1，且﹣1＜a＜1，试问t取何值时，线段EF的长度最大？并求出这个最大长度．
2．（2026•株洲校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，连接AC，tan∠CAO＝1，OA＝3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第二象限抛物线上，连接AP、CP，设点P的横坐标为t，△ACP的面积为S，求S关于t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接BP交y轴于D，将线段CP绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，过C作AC的垂线交过E作y轴的平行线于F，点G为OA中点，连接AF、PG相交于点H，过P作PQ⊥x轴于Q，8AH3FH=CDOQ，求点P的横坐标．
3．（2026•郴州一模）已知抛物线y＝a（x﹣h）2（a，h为常数且a≠0）．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝1，且经过点A（3，4）．
①求抛物线的表达式；
②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线AB的下方，过点P作PQ⊥AB于点Q．请问线段PQ的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由；
（2）如图2，在二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数）中，当1≤x≤4时，函数y有最大值为﹣4，求h的值．
题型06 二次函数中角度存在性问题
析典例·建模型
1．（2026•临湘市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：y=−12x2+bx+c交于点T（5，t）和点Q（6，1）．
（1）求证：点Q为抛物线L的顶点；
（2）将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（r＞0）个单位，得到抛物线L1，若抛物线L1经过点D(1，32)，且点D在抛物线L1的对称轴左侧，求抛物线L1的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线L1的对称轴为直线l，作点C（0，﹣2）关于直线l的对称点B，连接AB，在直线AB上是否存在点P，满足∠ADP＝∠CAO？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•汨罗市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，4），点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（﹣2，6）时，求四边形AOCP的面积；
（3）若∠PBA＝45°，求点P的坐标．
2．（2025•郴州二模）在平面直角坐标系中，抛物线W1：y=−12x2+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，横坐标设为m，且−6＜m＜−52．连接OP，交BC于点D，PD=56OD．
①求点P的坐标；
②如图2，将抛物线W1沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线W2，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M．点N为抛物线W2上任意一点，连接MN．若∠NMF﹣∠ABC＝45°，求线段MN的长．
题型07 二次函数中三角形存在性问题
析典例·建模型
1．（2026•永定区一模）如图1，在平面直角坐标系中y=−49x2+bx+c抛物线经过点A（﹣5，0）和点B（1，0），交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为y轴上的一动点，且PA﹣PD的值最大，则点P坐标为 （直接填写答案）；
（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样的点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•邵阳模拟）某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题：
（1）证明：函数y=14ax2（a为常数，且a＞0）上任意一点H到点F（0，a）的距离与到直线y＝﹣a的距离相等；
（2）将函数y=33x2的图象向右平移1个单位，再向下平移33个单位得到抛物线L．若点M(1，−1134)，点N(2，334)，P是L上的一个动点，试求PM+PN的最小值；
（3）在（2）的条件下，设L与x轴相交于A，B（点B在点A的右边）两点，顶点为点C，点D为L的对称轴上的一点且AD平分∠BAC，点E是线段AC上的动点（点E与A，C不重合），连接DE，将△DEC沿DE折叠得到△DEC′，记△DEC′与△ACD的重叠部分为△DEG．若△DEG为直角三角形，请求出所有满足条件的点G的坐标．
2．（2026•衡阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0），B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值及此时D点的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为以AE为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
题型08 代数几何综合问题
析典例·建模型
1．（2026•株洲一模）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象经过点B且其顶点A在CD边上，连接OA，作AH⊥x轴于点H，T是直线OA上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作TR⊥x轴于点R，交CD于点P，交OA于点Q．
（1）直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式；
（2）求证：TQOR⋅RH的值为常数；
（3）是否存在实数λ使得以2PT，λTQ，(72−λ)QR（λ为常数，0＜λ＜72）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出λ的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由．
研考点·通技法
破类题·提能力
1．（2026•澧县一模）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（1，﹣2）和（2，﹣3）两点，直线l：y=−12x+2交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作CD∥y轴交直线l于点C，以CD为直径作⊙E，当⊙E与y轴相切时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′，过点H（﹣2，0）作HF⊥x轴，交直线l于点F，连接OF，问在⊙E′上是否存在一点P，使△OFP的面积最大？若存在，求出△OFP面积的最大值，若不存在，请说明理由．
2．（2025•衡阳校级一模）已知，二次函数y=−36x2+32x+23图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动325个单位得到新的抛物线y'＝ax2+bx+c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
1. k的几何意义（重中之重）：过点作坐标轴垂线，矩形面积、三角形面积秒算
2. 增减性：分象限判断，切忌跨象限比较大小
3. 三大模型：中点模型、平行线等积、双曲线对称模型
4. 正反结合：一次函数与反比例联立，求交点、面积、取值范围
5. 坐标设点：设横坐标求纵坐标，简化所有计算
6. 压轴考点：面积转化、线段最值、几何全等相似结合考查
1、求三角形的面积是几何题中常见问题之一，方法较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，而在坐标系中求三角形面积，最常用当为铅垂法.
(1) A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
(2) 过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”.
公式：S△ABC=水平宽×铅锤高2=xA−xByC−yD2
解题的关键在于求得D点坐标.
所谓“铅垂法”实则就是割补法，对于此类求坐标系中的三角形面积形成了一套完整的解法，即已知三角形三个顶点坐标即可求此三角形面积，取名“铅垂法”.
2、动点最大面积
（1）设动点横坐标m
（2）表示抛物线上点、直线上点纵坐标
（3）算出铅垂高=上y-下y
（4）代入面积公式，得二次函数
（5） 配方求顶点最大值，对应动点坐标
1、平移：左加右减、上加下减，顶点式变换最快
2、对称：关于x轴、y轴、原点、顶点对称，只变顶点与符号
3、翻折：x轴翻折y变号，y轴翻折x变号
4、旋转180°：开口反向，顶点不变，a变相反数
5、核心技巧：所有变换只抓顶点+开口a，不用重列式子
1、先读懂新定义，转化为顶点、对称轴、最值、距离等熟悉知识点
2、设坐标、代解析式，转化为方程不等式计算
3、分类讨论，划分区间判断增减性
4、利用数形结合，看图锁定取值范围
5、核心思维：以代数推理为主，摒弃固定解题模板
1、单线段最值（抛物线上一动点）
（1）设动点
（2）表示线段代数式
（3）化成二次函数
（4）看自变量范围，顶点取最值
2、线段和最小（将军饮马）
（1）两点同侧：作对称点
Vv连线交点为动点，两点之间线段最短
（3）常用于：周长最小、两线段和最小
3、线段差最大
两点同侧：直接连线延长交抛物线，依据：三角形两边之差小于第三边
4、周长最值转化技巧
（1）三角形周长：固定边+两条动线段
（2）只求两条动线段和最小即可
（3）四边形周长：同理转化为线段最值
1、平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
平行: ∠1=∠3, ∠2=∠3

2、角平分线：角平分线分的两个角相等；
角平分线: ∠1=∠2
3、等腰三角形：等边对等角；
4、全等(相似) 三角形：对应角相等；
全等三角形: ∠1=∠2
5、圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
6、三角函数：若两个角的三角函数值相等，则这两个角相等；
三角函数: 若tan∠1=tan∠2, 则∠1=∠2
构造相等角，先考虑是否有特殊位置关系，作恰当的几何构造，若无明显位置关系，再考虑度量角，即用三角函数值构造相等角.
1、等腰三角形：两定点、一动点，分类讨论三情况
已知定点A、B，动点P
① PA = PB（P在AB垂直平分线上），代数方法：PA2=PB2（距离公式）
② AP = AB（以A为圆心，AB为半径画圆），代数方法：PA2=AB2（距离公式）
③ BP = AB（以B为圆心，AB为半径画圆），代数方法：PB2=AB2（距离公式）
2、直角三角形：两定点、一动点，分类讨论三情况
设三点：A、B为定点，动点P
①∠A=90°：A为直角顶点
②∠B=90°：B为直角顶点
③∠P=90°：P为直角顶点
两种解题方法
①用两点距离公式，表示：PA2、PB2、AB2
当∠A=90°时：PB2=PA2+AB2
当∠B=90°时：PA2=PB2+AB2
当∠P=90°时：AB2=PA2+PB2
②几何构造（一线三垂直）
过直角顶点作横竖垂线，构造一线三垂直相似，列比例式求解，计算量最小
以坐标系为背景：抛物线（或直线）与三角形、四边形、圆相结合
1、核心解题策略
将几何图形放入平面直角坐标系，用点的坐标表示距离、斜率、中点
2、代数工具熟练
（1）二次函数：顶点式、对称轴、最值、判别式 Δ
（2）方程思想：由等量关系（等长、等角→勾股/斜率关系）列一元一次方程或二次方程
（3）分类讨论：如等腰三角形未指定顶点、动点在不同区间
3、动点与存在性问题步骤
（1）设动点坐标（通常用参数t）
（2）用t表示所需线段/角度/面积
（3）根据几何条件列方程
（4）解方程并检验是否符合题设范围