中考数学代数与几何综合练习（坐标法）（无答案）

这是一份中考数学代数与几何综合练习（坐标法）（无答案），共17页。试卷主要包含了平面直角坐标系中距离公式，公式核心应用技巧，综合实战演练等内容，欢迎下载使用。

一、平面直角坐标系中距离公式、中点公式、斜率关系及其应用技巧：
一、三大核心公式（基础必记，无特殊说明均为A(x1,y1)，B(x2,y2)）
1. 两点间距离公式
AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2
推论：点P(x0,y0)到原点O(0,0)的距离：OP=x02+y02
2. 中点坐标公式
线段AB的中点M坐标：Mx1+x22,y1+y22
3. 斜率公式及位置关系
斜率kAB=y2−y1x2−x1(x1≠x2)；
平行：AB∥CD⇔kAB=kCD（均存在）；
垂直：AB⟂CD⇔kAB·kCD=−1（均存在）；
特殊情况：竖直线（x为定值）斜率不存在，水平线（y为定值）斜率为0，竖直线⊥水平线。
二、公式核心应用技巧（按题型适配，简洁实用）
（一）基础应用：直接判定几何关系
判线段相等：无需构造全等，直接计算两段距离，相等则长度一致（如证菱形邻边相等、等腰三角形两腰相等）；
判中点/平分：若点M是AB中点，必满足中点公式，反之亦然（如证平行四边形对角线互相平分）；
判平行/垂直：优先算斜率，斜率关系直接定位置（坐标系中证矩形、正方形的垂直，证平行四边形的对边平行）。
技巧：判距离相等时，可平方消根号简化计算（只需证(x2−x1)2+(y2−y1)2相等）。
（二）进阶应用：设参求解未知点坐标
单参设点：未知点在函数图象/坐标轴上时，用一个参数表示（如x轴上点设(t,0)，直线y=2x+1上点设(t,2t+1)），代入公式列方程，避免多未知数；
多定点定动点：已知2个及以上定点，结合几何条件（如中点、垂直、等距），将条件转化为公式等式，联立求解动点坐标；
对称点求解：利用中点公式+垂直斜率（核心技巧），如求A关于直线l的对称点B，则AB中点在l上，且AB⟂l。
（三）综合应用：构造特殊图形/解决几何综合题
构造平行四边形：优先用中点公式（最简便），若ABCD为平行四边形，则对角线中点重合（AC中点=BD中点），分类讨论定线段为对角线的情况，列公式求解；
构造菱形/矩形/正方形：先按平行四边形用中点公式，再补充条件：
菱形：加距离公式（邻边相等）；
矩形：加斜率公式（邻边垂直）或距离公式（对角线相等）；
正方形：加邻边相等+垂直（距离+斜率公式结合）；
求最短距离/交点：结合函数图象，用距离公式表示动点到定点的距离，转化为函数最值；求函数与几何图形交点，先联立解析式，再用公式验证交点是否符合几何边界。
题型01 利用距离公式、中点公式、斜率关系解决几何问题
1．在数学中，我们可以利用距离公式来计算两点间的距离．对于平面上的两点和，、两点间的距离公式可以表示为：．
(1)利用距离公式计算和两点之间的距离．
(2)如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点．（，，为常数）．
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②点为轴上一动点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求点的坐标；
③在②的条件下，当时，连接并延长交双曲线于点，若为轴上一动点，是否存在与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．【问题探究】
数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点．
（1）请直接写出的解析式；
【延伸拓展】
小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究：
如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接，
（2）请直接写出点A，B的坐标；
（3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下：
则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度．
3．阅读与理解
【阅读材料】
一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线经过平移得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？
将、两点的坐标分别代入，得到．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得．
因此，当时，直线的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行或垂直于轴，此时直线的斜率不存在．
【理解运用】
（1）已知点、，则直线的斜率，其解析式为____；
（2）已知点、，其中为常数．若直线与直线平行，求的值；
【拓展迁移】
（3）若直线：上有两点、，直线：上有一点，则，；
（4）求证：平面上三点、、不共线．
4．笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．
某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，满足，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线上任意两点的坐标，都有的值为k，其中k叫直线的斜率．如，为直线上两点，则，即直线的斜率为1．
(1)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图1，直线于点．请求出直线与直线的斜率之积．
(2)如图2，已知正方形的顶点S的坐标为，点K，R在第二象限，为正方形的对角线．过顶点R作于点R．求直线的解析式．
5．预备知识：（1）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，设点M为线段的中点，则点M的坐标为．
（1）①设，点M为线段的中点，则点M的坐标为 ；
②设线段的中点为点N，其坐标为，若端点C的坐标为，则端点D的坐标为 ；
（2）如图1，四边形中，，点E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：；（S表示面积）
问题探究：如图2，在已知锐角内有一定点P，过点P任意作一条直，分别交射线于点M、N将直线绕着点P旋转的过程中发现，的面积存在最小值，请问当直线在什么位置时，的面积最小，并说明理由；
结论应用：如图3，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在第一象限，且，若点P的坐标为，过点P的直线l分别交于点M、N，求三角形面积的最小值．
题型02 坐标系中构造特殊图形并求点坐标
1．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴交直线BC于点．
(1)求点的坐标：
(2)如图2，若是直线下方抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点．在新抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点M、N、D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来；若不存在，请说明理由．
3．已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表．
(1)直接写出该二次函数的对称轴；
(2)若，当时，，求a的取值范围；
(3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)则抛物线解析式中________，________；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积；
(3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标．
题型03 函数图象与几何图形的交点分析
1．如图-1抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过A，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图-2，若点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作轴，轴分别交直线于点E，F，求线段的最大值；
(3)如图-3，将二次函数的x轴上方的图象沿x轴向下翻折形成M形图象，将直线向下平移m个单位长度得到直线l，若l与M形图象有两个交点，求m的取值范围．
2．数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习：
材料一：
新定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这条直线叫做抛物线的切线，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离．
材料二：
判断：抛物线与直线的位置关系联立，得．根据一元二次方程根的判别式．
①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）．
②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）．
③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3）．
【知识技能】
（1）若直线与抛物线相交，则b的取值范围是 ；
【数学理解】
（2）已知抛物线和直线相离，请问抛物线向下平移多少个单位后与直线相切；
【问题解决】
某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为A，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为C，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点O，喷泉柱所在直线为y轴，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为，已知喷水口离喷水柱底端的高度为，水流在距的水平距离为1米时，达到最大高度，此时离地面米．
（3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为，并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求．
3．在平面直角坐标系中，抛物线的图象记为，抛物线（为常数）的图象记为，将关于轴翻折得到的新抛物线记为．直线与、分别相交，取在直线左侧图象（不包括交点）和在直线右侧图象（包括交点）联合记为．
(1)将题目中的函数表示为分段函数形式；
(2)如图1，在（1）的条件下，直线交轴于．点为的对称轴与直线的交点．将直线向下平移4个单位长度，并交轴于．点在直线上运动，以为一条直角边，点为直角顶点作等腰，点为点关于点的对称点，连接，，．若，直线与是否有交点？若有，请求出交点横坐标；若没有，请说明理由；
(3)如图2，以（1）中的为边向下构造正方形，当与该正方形有两个公共点时，请直接写出的取值范围．
4．阅读与思考
任务：
(1)请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果；
(2)若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值；
(3)实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可）
5．已知抛物线：．
(1)该抛物线必过点________和________；
(2)如图，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，（点在点的左侧）．
①判断抛物线与抛物线是否有交点，并说明理由；
②连接，证明：四边形为平行四边形；
(3)在（2）中，若平移抛物线能使四边形为菱形，请求出平移的方式和平移距离．
1．如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切．
2．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题．
已知：二次函数的函数图像上分别有，两点，其中，，分别在对称轴的异侧，是中点，是中点．利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：
(1)如图1，若，求出，的坐标．
解决问题：
(2)如图2，点是关于轴的对称点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．试判断是否在轴上，并说明理由．
拓展探究：
(3)如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
②在①条件下，轴上一点，抛物线上任意一点，连接，，直接写出的最小值．
3．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，
如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，
，
平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为___________；
(2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标；
(3)在平面直角坐标系中有一点．
①可以表示到点和点___________的距离和；
②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式的最小值．
4．阅读下列材料，回答问题
在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论：
①若，则直线的斜率；
②若直线：，直线：，
则当，时，；当时，直线；
我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题：
若直线l经过点
(1)如图1，直线l的斜率 ；
(2)如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且．
①连接，试探究直线与直线有何位置关系；
②求的面积；
(3)在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由．
5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”．
(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号）
①；②．
(2)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
(3)若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
6．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．
(1)求的面积；
(2)如图2所示，点P是直线下方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点Q，过点P作直线交于点G，请求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面内任意一点，请直接写出所有使得以P、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标．
7．已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由；
(3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
8．如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求面积的最大值；
(3)设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标．
9．对函数问题来说，数形结合不仅是方法，更是思维习惯．已知二次函数
【积累巩固】
（1）若二次函数的图象过点，它的顶点坐标为．
①求二次函数的表达式；
②设该二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由．
【拓展创新】
（2）当，时，二次函数（为常数）．
①点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，的取值范围为________；
②点，，连接．若该二次函数的图象与直线没有公共点；则的取值范围为________．
10．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．当直线y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）与抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）有唯一公共点时，叫做直线与抛物线相切，直线叫做抛物线的切线，这个公共点叫做切点，其切点坐标（x，y）为相应方程组的解．如将直线y＝4x与抛物线y＝x2＋4，联合得方程组，从而得到方程x2＋4＝4x，解得x1＝x2＝2，故相应方程组的解为，所以，直线y＝4x与抛物线y＝x2＋4相切，其切点坐标为（2，8）．
(1)直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切吗？如相切，请求出切点坐标；
(2)在（1）的条件下，过点A（1，﹣3）的直线n与抛物线y＝x2也相切，求直线n的函数表达式，并求出直线m与直线n的交点坐标；
(3)如图，已知直线y＝kx＋3（k为常数且k≠0）与抛物线y＝x2交于C、D，过点C、D分别作抛物线的切线，这两条切线交于点P，过点P作x轴的垂线交CD于点Q，试说明点Q是CD的中点．
12．如图，函数的图象过点和点，过点作轴，（在的下方），过点作轴，与函数的图象交于点，过点作于点，连接、．
(1)求的面积；
(2)延长交于点，当时，求的长；
(3)阅读材料：在直角坐标系中，点的位置由其在轴和轴上的坐标确定．当需要确定两点之间线段的中点时，可以使用“中点公式”快速计算．“中点公式”：对于平面直角坐标系中的任意两点和，它们的中点的坐标为，连接、取中点，以线段为较长直角边且为直角顶点作，使得与相似，求点的坐标．目 录
模块一、解题方法总述
模块二、压轴题型专练
题型01 利用距离公式、中点公式、斜率关系解决几何问题
题型02 坐标系中构造特殊图形并求点坐标
题型03 函数图象与几何图形的交点分析
模块三、综合实战演练
在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为：
核心：将几何关系（相等、垂直、平分、平行）直接转化为三大公式的代数运算，无需纯几何推导。
1. 精准套公式：距离公式判线段相等/求长度，中点公式判线段平分/找中点，斜率关系（k1=k2平行，k1·k2=−1垂直）判位置关系；
2. 设参代算：未知点设坐标（单参为主），按几何条件列公式等式，求解参数得坐标/关系；
3. 关键：斜率不存在（竖直线）单独讨论，距离计算可平方消根号简化运算。
核心：以特殊图形判定条件为依据，结合坐标公式列方程，分类讨论补全图形顶点坐标。
1. 定图形判定：明确平行四边形/菱形/矩形/正方形等的核心判定（如平行四边形中点重合、菱形邻边相等）；
2. 分类设点：区分定点/动点，动点按函数/坐标轴特征设参（如x轴上点设(x,0)）；
3. 列解验证：按判定条件套中点/距离/斜率公式列方程，求解后验证四点不共线、图形不退化，整理有效坐标。
巧用方程思想解决函数交点问题
我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解．
下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：联立得．
整理，得．
∵，
∴方程是关于x的一元二次方程．
∴．
当时，方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点．
核心：联立函数解析式与几何图形的坐标关系式，通过方程解的情况判定交点，结合图象定交点范围。
1. 建坐标关系式：将几何图形（线段、圆、三角形）转化为代数式子（如线段的横/纵坐标范围、圆的标准方程）；
2. 联立求解：将函数解析式与几何关系式联立，转化为一元一次/二次方程，通过解的个数（Δ） 判交点数；
3. 数形结合：画出函数与几何图形草图，结合方程解的范围、几何图形的边界条件，筛选有效交点（排除图形外的解）；
4. 关键：二次函数与几何图形相交时，必结合Δ和自变量取值范围双重判定，避免漏解/增解。