中考数学热点冲刺：专题7 坐标几何问题（含答案）

这是一份中考数学热点冲刺：专题7 坐标几何问题（含答案），共17页。试卷主要包含了 点 关于原点的对称点坐标是， 在平面直角坐标系中，将点A，理由如下等内容，欢迎下载使用。


一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），或者建立坐标系，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，借助于坐标解决则能使原问题的本质得到充分的显示，从而使原问题顺利获解.
在坐标系内从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――（1）构造基本图形；（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换和旋转变换.
考向1 平面直角坐标系内点的坐标特征
1. 点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是（ ）
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(1，2) D．(2，－1)
【答案】B
【解析】根据平面直角坐标系中的点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，故点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是(1，－2)，故选择B．
2. 在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B(3，n)关于y轴对称，则
A．m=3，n=2 B．m=-3，n=2
C．m=2，n=3 D．m=-2，n=3
【答案】B
【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同，故选B．
3. 在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（－1，1）B．（3，1）
C．（4，－4）D．（4，0）
【答案】A
【解析】点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到（1－2，－2+3），即B（－1，1）．故选A．
4. 在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是 ．
【答案】4
【解析】∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，∴a=3，b=1，∴a+b的值是4．故答案为：4．
5. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 ．
【答案】（-1，1）．
【解析】由题意可以得到如下平面直角坐标系，则“兵”位于点（-1，1），故答案为：（-1，1）
6. 在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x=1的对称点的坐标是 ．
【答案】（﹣2，2）．
【解析】∵点P（4，2），∴点P到直线x=1的距离为4﹣1=3，
∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3，
∴点P′的横坐标为1﹣3=﹣2，∴对称点P′的坐标为（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
考向2点的坐标与距离（长度）的计算
1. 平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________．
【答案】5
【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P(－3，4)到原点的距离是=5，因此本题答案为5．
2. 在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d，则点P（3，﹣3）到直线yx的距离为 ．
【答案】．
【解析】∵yx，∴2x+3y﹣5=0，
∴点P（3，﹣3）到直线yx的距离为：，故答案为：．
3. 在平面直角坐标系中，直线l:y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是________.
【答案】2n－
【解析】∵点A1是y=x+1与y轴的交点，∴A1(0，1)，∵OA1B1C1是正方形，∴C1(1，0)，A1C1=，∴A2(1，2)，C1A2=2，A2C2=2，∴A3C2=4，A3C3=4，按照此规律，AnCn=2n－1，∴前n个正方形对角线长的和为:+2+4+…+2n－1=(1+2+4+…+2n－1)=(1+1+2+4+…+2n－1－1)=(2n－1)=2n－.
4. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A、B两地.
(1)A、B间的距离为 km；
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A、C的距离相等，则C、D间的距离为 km.
【答案】（1）20；（2）
【解析】（1） ；（2）如图所示，
设AD=CD=x，则OD=17-x，OA=12，∵∠AOD=90°，∴，解得x=.
考向3 坐标与几何图形的位置变换
1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（ ）
A．（，1）B．（，﹣1）C．（2，1）D．（0，2）
【答案】A
【解析】如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．
∵∠AEO=∠OFA′=90°，∠AOE=∠AOA′=∠A′OF=30°，∴∠AOE=∠A′.
∵OA=OA′，∴△AOE≌△OA′F（AAS），∴OF=AE，A′F=OE=1，∴A′（，1）．故选A．
2. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为_______.
【答案】0
【解析】∵A、B两点关于x轴对称，∴B点的坐标为.
又∵A、B两点分别在又曲线和上；∴.∴；故填0.
3. 正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y=kx＋b（k＞0）和x轴上，已知A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是 .
【答案】（47，16）
【解析】如图，
C1（2，1），C2（5，2），C 3（11，4），C 4（23，8），…
∵C1的横坐标：2=21， 纵坐标：1=20，C2的横坐标：5=22＋20， 纵坐标：2=21，
C3的横坐标：11=23＋21＋20， 纵坐标：4=22，C4的横坐标：23=24＋22＋21＋20， 纵坐标：8=23，
…依此类推，C5的横坐标：25＋23＋22＋21＋20=47， 纵坐标：16=24， ∴C5（47，16）.
考向4 坐标与几何图形
1. 如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】如图1中，当点是的中点时，作于，连接．
，，，，，
，，当点与重合时，的值最大．
如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．
，，，，
四边形是菱形，，，，
，，，
，，，，，故选．
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π﹣2
【解析】连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，
∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=22，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，
∴S阴影=S半圆﹣S△ABO2×22π﹣2．故答案为：2π﹣2．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根（BC>AB），OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED→DA向点A运动，运动时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S.（1）求点D的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）∵x2-7x+12=0，∴x1=3，x2=4，∵BC＞AB，∴BC=4，AB=3，∵OA=2OB，∴OA=2，OB=1，
∵矩形ABCD，∴点D的坐标为（-2，4）.（2）设EP交y轴于点F，当0≤t≤2时，如图1，PE=x，
∵CD∥AB，∴△OBF∽△EPF，∴，∴，∴OF=，∴S=OF·PE==，
当2＜t≤6时，如图2，AP=6-t，
∵OE∥AD，∴△OBF∽△ABP，∴，∴，∴OF=，∴S=OF·OA==，
综上所述，.
（3）存在，P1(-2，); P2(-2，); P3(-2，4-).理由如下：
①如图3，作BE的中垂线，交AD于点P1，连接P1B，P1E，设点P1的坐标为（-2，m），
在Rt△ABP1中，由勾股定理得AB2+AP12=P1B2，即32+m2=P1B2，
在Rt△EDP1中，由勾股定理得ED2+DP12=P1E2，即22+(4-m)2=P1E2，
∵P1B=P1E，∴32+m2=22+(4-m)2，解得m=，∴P1(-2，);
②如图4，当BE=BP2时，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE==，∴BP2=，
在Rt△ABP2中，由勾股定理得AP2==，∴P2(-2，);
③如图5，当EB=EP3时，在Rt△DEP3中，由勾股定理得DP3==，∴AP3=4-，∴P3(-2，4-).综上，点P的坐标为P1(-2，)或P2(-2，)或P3(-2，4-).
考向5 坐标与 函数中的几何图形
1. 已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B(5，0)，若OB=AB，且S△OAB=.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标.
解：(1)过点A作AM⊥x轴于点M，则S△OAB==.
∵B(5，0)，∴OB=5，即=，AM=3.
∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ABM中，BM==4，
∴OM=OB+BM=9，∴A(9，3).
∵点A在反比例函数图象上，
∴，m=27，反比例函数的表达式为:.
设一次函数表达式为y=kx+b，
∵点A(9，3)，B(5，0)在直线上，∴3=9k+b，0=5k+b，
解之，得k=，b=，∴一次函数的表达式为:y=x.
(2)设点P(x，0)，∵A(9，3)，B(5，0)，∴AB2=(9－5)2+32=25，AP2=(9－x)2+32=x2－18x+90，BP2=(5－x)2=x2－10x+25，根据等腰三角形的两边相等，分类讨论:
①令AB2=AP2，得25=x2－18x+90，解之，得:x1=5，x2=13，当x=5时，点P与点B重合，故舍去，P1(13，0);
②令AB2=BP2，得25=x2－10x+25，解之，得:x3=0，x4=10，当x=0时，点P与原点重合，故P2(0，0)，P3(10，0);
③令AP2=BP2，得x2－18x+90=x2－10x+25，解之，得:x=，∴P4(，0);
综上所述，使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13，0)，P2(0，0)，P3(10，0)，P4(，0).
2. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图像上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．
（1）点A是否在该反比例函数的图像上？请说明理由．
（2）若该反比例函数图像与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，试描述平移过程．
【解题过程】（1）连结PC，过点P作PH⊥x轴于点H，∵在正六边形ABCDEF中，点B在y轴上，
∴△OBD和△PCH都含有30°角的直角三角形，BC=PC=CD=2．
∴OC=CH=1，PH=．∴点P的坐标为（2，），∴k=2．
∴反比例函数的表达式为y=（x＞0）．连结AC，过点B作BG⊥AC于点G，
∵∠ABC=120°，AB=BC=2，∴BG=1，AG=CG=．
∴点A的坐标为（1，2）．当x=1时，y=2，所以点A该反比例函数的图像上．
（2）过点Q作QM⊥x轴于点M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠EDM=60°．
设DM=b，则QM=B．∴点Q的坐标为（b＋3，b）．∴b（b＋3）=2．
解得b1=，b2=（舍去），
∴b＋3=．∴点Q的横坐标为．
（3）连结AP．∵AP=BC=EF，AP∥BC∥EF，
∴平移过程：将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移个单位，或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位．
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．
【解题过程】解：将点P（﹣1，2）代入y=mx，得：2=﹣m，解得：m=﹣2，
∴正比例函数解析式为y=﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y，得：2=﹣（n﹣3），解得：n=1，
∴反比例函数解析式为y．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，
解得：，，∴点A的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x轴，∴∠AEO=∠CPD=90°，∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE=2，OE=1，AO．
∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP=∠AOE，
∴sin∠CDB=sin∠AOE．
4．综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（－2，0），B(4，0)两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值;
(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标;若不存在，请说明理由.
【解题过程】(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A（－2，0），B(4，0)两点，∴，解之，得:，∴抛物线的函数表达式为:;
(2)作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为点F，∵点A的坐标为(－2，0)，∴OA=2，由x=0，得y=6，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S△AOC=OA·OC=6，∴S△BCD=S△AOC=.设直线BC的函数表达式为y=kx+n，由B，C两点的坐标得:，解之，得:，∴直线BC的函数表达式为:y=－x+6.∴点G的坐标为(m，－m+6)，∴DG=－(－m+6)=.∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，∴S△BCD=S△CDG+S△BDG=.∴=，解之，得m1=3，m2=1，∴m的值为3.
(3)存在点M，其坐标为:M1(8，0)，M2(0，0)，M3(，0)，M4(－，0).