新高考数学一轮复习重难点练习20超几何分布、二项分布、正态分布（3种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法1：超几何分布
考法2：二项分布
考法3：正态分布
题型方法
考法1：超几何分布
一．选择题（共4小题）
1．（2023•武侯区校级开学）某地盛行糕点有种，该地的糕点店从中准备了种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则
A．B．C．D．
【分析】由题意，可知服从超几何分布，利用超几何分布的期望公式进行求解即可．
【解答】解：因为从含有顾客喜好的种糕点的种糕点中，任取种糕点，
其中恰有种顾客喜好的糕点，
此时服从超几何分布，
所以，其中，，，，
所以．
故选：．
【点评】本题考查超几何分析的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
2．（2023春•三元区校级期中）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是
A．2B．3C．4D．5
【分析】设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为，则变量服从二项分布，由，求出的取值范围，再利用，即可求出的值．
【解答】解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，
设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为，则变量服从二项分布，
其中，，1，2，，20；
由，得，
化简得，得；
又，所以，
即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4人．
故选：．
【点评】本题考查了二项分布，也考查了计算能力的应用问题，是中档题．
3．（2023春•迎泽区校级月考）在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，其中含有的次品数为则
A．B．1C．D．2
【分析】本题不难判断出，在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，为不放回取样，符合超几何分布特征，根据超几何分布的性质，即可求得期望．
【解答】解：6件产品中含有4件次品，则含有2件正品，
随机抽取3件产品，即不放回取样，符合超几何分布特征，
，4，3 ，
，
故选：．
【点评】本题考查超几何分布的期望，属于中档题．
4．（2023春•香坊区校级月考）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是
A．增加，增加B．增加，减小
C．减小，增加D．减小，减小
【分析】依题意，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，3，，故，再从甲盒子里随机取一球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为个，服从两点分布，所以，随着的增大，减小；，随着的增大，增大；
【解答】解：依题意，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，3，，
其中，其中，且，，
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为个，
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大；
故选：．
【点评】本题考查了超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查了推理能力计算能力，属于难题．
二．多选题（共2小题）
5．（2023春•赤坎区校级期中）在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是
A．随机变量服从超几何分布B．随机变量服从二项分布
C．D．
【分析】根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，以及期望公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，随机变量服从超几何分布，故选项正确，选项错误，
，故选项正确，
．
故选：．
【点评】本题考查了超几何分布的概率公式，以及期望公式，属于基础题．
6．（2023春•邕宁区校级月考）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是
A．取出的最大号码服从超几何分布
B．取出的黑球个数服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
【分析】超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，取出的黑球个数服从超几何分布；取出2个白球的概率为；对于，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为．
【解答】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，
对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，
也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，
由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；
对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，
由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；
对于，取出2个白球的概率为，故错误；
对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，
则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共1小题）
7．（2023•南开区校级模拟）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为 记所选3人中高一年级学生的人数为，则随机变量的数学期望 ．
【分析】基本事件总数，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数，由此能求出所选3人分别来自不同年级的概率；可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望．
【解答】解：某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．
这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，
基本事件总数，
所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数，
所选3人分别来自不同年级的概率为．
记所选3人中高一年级学生的人数为，则可能取值为0，1，2，
，
，
，
随机变量的数学期望．
故答案为：，．
【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
四．解答题（共6小题）
8．（2023春•介休市校级月考）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：
空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级．若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为级的恰好有5天．
（1）求，的值；
（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？
（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为级的天数为，求的分布列及数学期望．
【分析】（1）由题意知空气质量为级的天数为总天数的，能求出，．
（2）依题意可知，一年中每天空气质里指数为优的概率为，由此能求出一年中空气质量指数为优的天数．
（3）由题可知抽取的天的数据中，级，级，级的天数分别为5，4，1，的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及．
【解答】解：（1）由题意知空气质量为级的天数为总天数的，
所以，．
（2）依题意可知，一年中每天空气质里指数为优的概率为，
则一年中空气质量指数为优的天数约为．
（3）由题可知抽取的天的数据中，级，级，级的天数分别为5，4，1，
所以的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
的分布列为：
故．
【点评】本题考查频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，涉及到超几何分布的性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是中档题．
9．（2023秋•台江区校级期中）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标” ，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为．
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
能否有的把握认为购买电动汽车与性别有关？
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取2人，记这2人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程：，其中；
相关系数：，若，则可判断与线性相关较强；
，其中．
附表：
【分析】（1）利用计算公式即可得出结论．
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关，计算出，进而推断出结论．
（3）利用分层抽样可得11人中，男性车主4人，女性车主7人，的可能取值为0，1，2，利用超几何分布计算公式即可得出的分布列，进而得出．
【解答】解：（1），
，故与线性相关较强．
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（3）11人中，男性车主人，女性车主人，
则的可能取值为0，1，2，
故，
故的分布列为：
．
【点评】本题考查了相关系数的计算公式、独立性检验、超几何分布列的计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2023春•邯郸期中）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取5个，求恰好有2个水果是二等级别的概率；
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
【分析】本题第一问一二级水果服从二项分布，可以根据二项分布的公式求出恰好有2个水果是二等级别的概率；第二问的不放回取样属于超几何分布，根据超几何分布即可求得期望．
【解答】解：（1）假设“从100个水果中随机抽取一个抽到的水果是二等级别”事件为事件，
则（A），则，
从这批水果中随机抽取5个，设抽到二等级别水果的个数为，则，
故恰好有2个水果是二等级别的概率为；
（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，
则其中优级水果有个，非优级水果有个．
从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，，3，，
的取值为0，1，2，3．
则，
．
所以的分布列如下：
所以．
【点评】本题考查二项分布的期望和超几何分布的分布列及期望，属于中档题．
11．（2023•泸县校级模拟）为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，数据中凡违章车次超过40次的路口设为“重点关注路口”．
（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的平均数；
（2）现从支队派遣3位交警去违章车次在，的路口执勤，每人选择一个路口，每个路口至多1人，设去“重点关注路口”的交警人数为，求的分布列及数学期望．
【分析】（1）由平均数计算公式即可得出．
（2）分别计算出，区间的路口与，区间的路口的个数．由题知随机变量可取值0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出分布列及其数学期望．
【解答】解：（1）由平均数计算公式可得：．
（2），区间的路口有个，，区间的路口有个．
由题知随机变量可取值0，1，2．
则，，．
的的分布列为：
数学期望．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（2023秋•湖南月考）2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查．统计整理数据得到如下的列联表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？
（2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈．设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
【分析】（1）完善列联表，套用公式求出卡方观测值加以判断即可；
（2）结合超几何分布的知识求出分布列，然后计算方差即可．
【解答】解：（1）由已知得列联表补充如下：
零假设为：选科分类与性别无关联，
因为，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为选科分类与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（2）由已知，50名女学生中选择物理类和选择历史类的比例为，
因此抽取6名女生中，选择物理类和选择历史类的人数均为3名．
所以随机变量的取值为1，2，3，
，
，
，
随机变量的分布列如下：
所以．
【点评】本题考查独立性假设检验的解题思路，以及超几何分布列及其期望的求法，属于中档题．
13．（2023秋•南宁月考）后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，，，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
假设每个组内的数据是均匀分布的．
（1）求这500名在职员工的个人所得税的中位数（保留到小数点后一位）；
（2）从个人所得税在，，，，，三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在，内的员工人数为，求的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在，内的员工人数为，求的数学期望与方差．
【分析】（1）找到将直方图的总面积一分为二的点即可；
（2）利用超几何分布列的知识求解；
（3）利用二项分布的知识求解．
【解答】解：（1）设中位数为，前四个矩形的面积之和为，
前五个矩形的面积之和为，所以可设中位数为，
由中位数的定义可得，解得．
（2）由频率分布直方图，得这500名在职员工的个人所得税在，，，，，三组内的员工人数分别为：
，，，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从在，内的员工中抽取，
从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以，的分布列为：
数学期望；
（3）员工的个人所得税在，内的概率为，
从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，个人所得税在，内的员工人数为，则，
，．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质、超几何分布与二项分布的求法和应用，属于中档题．
考法2：二项分布
一．多选题（共2小题）
1．（2023春•高碑店市期末）有一座高度是10级（第1级第10级）台阶的楼梯，小明在楼梯底部（第0级）从下往上走，每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第步后小明所在台阶级数为随机变量，则
A．B．
C．D．中最大
【分析】对于，表示跨2步到达第2级台阶，由此算出对应概率；
对于，的值可能为2，3，4，再求出各自的概率，再利用期望公式求解；
对于，，说明这四步有两步一阶，两步两阶，结合二项分布的知识求出，同理算出，即可判断结论；
对于，可以取5，6，7，8，9，10，分别算出对应的概率，比较即可．
【解答】解：小明每步向上1级和向上2级的概率都是，
“跨2步，每步向上1个台阶”，
，故正确；
的可能取值为2，3，4，
，，，
所以，故正确；
“跨4步到达第6级台阶，且2步每步向上1个台阶，剩余2步每步向上2个台阶”，
；
“跨4步到第7级台阶，有1步向上1个台阶，剩余3步每步向上2个台阶”，
，故错误；
由题意，，，表示跨5步到达第10级台阶，每步向上2个台阶，，
“跨6步到达第10级台阶，有2步每步向上1个台阶，剩余4步每步向上2个台阶”，
，
依次类推得：，，，，
所以时的概率最大，故正确．
故选：．
【点评】本题考查利用二项分布的知识与方法，计算随机变量对应事件的概率和随机变量的期望，属于中档题．
2．（2024•新疆一模）已知任一随机变量，若其数学期望，方差均存在，则对任意的正实数，有，即表示事件“”的概率下限估计值为．现有随机变量，则下列说法正确的有
A．若，则
B．
C．若，则取最大值时或
D．若有不低于的把握使，则的最小值为625
【分析】根据二项分布概率公式直接计算可判断；根据二项分布期望公式和方差公式计算可判断；根据题意列不等式组求解可判断；由可得，然后利用题中结论列不等式求解即可判断．
【解答】解：因为，
所以当时，
，错误；
因为，
所以，正确；
当时，则，
由，解得或，正确；
若，则，
，即，
由题知，
，
由，解得，正确．
故选：．
【点评】本题考查了二项分布问题，考查了数学期望和方差，考查了转化思想，属于难题．
二．填空题（共6小题）
3．（2023春•普陀区校级期末）“东哥”上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为 ．
【分析】遇到绿灯的次数服从二项分布，据此求解即可．
【解答】解：由题意，他在上班路上遇到绿灯的次数服从二项分布，即，
则他至少遇到两次绿灯的概率
．
故答案为：．
【点评】本题考查服从二项分布随机变量的概率，属基础题．
4．（2023•涪城区校级模拟）现有如下命题：
①若 的展开式中含有常数项，且的最小值为10；
②；
③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出白球的次数，则；
④若定义在上的函数满足，则的最小正周期为8；
则正确论断有 ②③ （填写序号）
【分析】由题意，根据二项展开式的通项公式，使展开式中含有常数项，即可求出的最小值，进而可判断结论①；利用定积分的几何意义以及圆的面积公式即可判断结论②；得到取到白球的次数，代入期望公式中即可判断结论③；利用函数的周期性的定义即可判断结论④．
【解答】解：对于①：已知二项展式开式的通项公式，
令，
解得，
则当时，有最小值，最小值为5，故①错误；
对于②：因为表示的上半圆的面积，
上半圆的面积，
则，故②正确；
对于③：易知取到白球的次数，
则，故③正确；
对于④：因为，
所以函数的最小正周期为4，故④错误，
综上，结论正确的有②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查命题的真假判断、二项分布及其应用、定积分等，考查了逻辑推理和运算能力．
5．（2023秋•上高县校级月考）已知随机变量，，且，，则 0.2 ．
【分析】根据，求得，再利用正态分布的对称性即可求解．
【解答】解：，解得，
则，．
故答案为：0.2．
【点评】本题本题考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
6．（2022秋•沙坪坝区校级月考）重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 ．
【分析】根据正态分布的对称性及其概率，二项分布的概率即可求解．
【解答】解：，，
又，
，
从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是：
．
故答案为：．
【点评】本题考查正态分布的对称性及其概率，二项分布的概率，属基础题．
7．（2023春•张家口期末）已知随机变量服从二项分布，且的期望，方差，则 8 ．
【分析】根据二项分布的期望、方差公式得到方程组，解得即可．
【解答】解：依题意，所以，，
解得，．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查二项分布，属于中档题．
8．（2023春•台州期中）随机变量服从二项分布，且，，则的值为 ．
【分析】根据二项分布期望，方差的公式列方程组计算即可．
【解答】解：由题意得，，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二项分布的均值与方差，属于中档题．
三．解答题（共12小题）
9．（2023春•舟山期末）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到．
（1）根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况；
（2）求被抽样调查的总人数，并依据小概率值的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；
（3）用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为，求随机变量的方差．
附：．
【分析】（1）由题意，补全列联表，结合相应的频率分析说明即可；
（2）代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
（3）得到，结合二项分布的方差方差公式进行求解即可．
【解答】解：（1）不妨设被调查的总人数为人，
若被调查的男女生人数相同，
此时男、女生人数均为，
其中女生中“了解”和“不了解”的人数均为，“了解”的学生中男生人数是，
则列联表如下：
因为男生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为和，
女生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为和，
则，
所以在被调查者中，男生了解亚运会项目是女生了解亚运会项目的频率的1.2倍，
根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生了解亚运会项目的概率大于女生了解亚运会项目的概率，即
男生更了解亚运会项目；
（2）易知，
所以，被调查的总人数为400人．
因为，
所以我们推断不成立，
即认为该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（3）易知抽取的学生中对亚运会项目“了解”的概率，
所以，
则．
【点评】本题考查二项分布及其应用以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．
10．（2023春•济宁期末）甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬市，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样．
（1）当时，设游戏结束时甲与乙的步数差为，求随机变量的分布列；
（2）游戏结束时，设甲与乙的步数差为，求，（结果用表示）．
【分析】（1）由题意，得到的所有取值，根据二项分布的概率公式求出相对应的概率，进而即可求解；
（2）设在局游戏结束时，甲共猜对了次，此时，得到甲与乙的步数差的表达式，利用二项分布的期望与方差公式进行求解即可．
【解答】解：（1）易知当时，的所有取值为，，3，9，
此时，，，，
则的分布列为：
（2）设在局游戏结束时，甲共猜对了次，
此时，
易知甲与乙的步数差，
则，
．
【点评】本题考查二项分布及其应用，考查了逻辑推理和运算能力．
11．（2023秋•海珠区校级月考）为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“在时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量，求的数学期望和方差．
．
【分析】（1）根据卡方计算公式计算卡方，即可求解；
（2）根据二项分布的期望和方差公式即可求解．
【解答】解：（1）提出假设：在时间段居民的休闲方式与性别无关系，
易知，
根据小概率值的独立性检验，我们推断当不成立，认为居民的休闲方式与性别有关；
（2）由题意得，
且，
所以．
【点评】本题考查独立性检验以及二项分布的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
12．（2023秋•渝中区校级月考）2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕．为庆祝大运会的到来，有，，，，共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练．教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”．
（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与训练是否有关？并说明原因；
（2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
（3）跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”．每轮测试中，跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度互不影响且每轮测试互不影响．如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
附：，其中．
【分析】（1）由题意，根据卡方的计算即可求解；
（2）根据条件概率的计算公式即可求解；
（3）根据二项分布的期望公式，列不等式即可求解．
【解答】解：（1）列联表如下：
零假设：假设跳水员的优秀情况与训练无关
可得，
则根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，
即跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯错误的概率不超过0.01．
（2）易知训练前后均不优秀的有，共2人，训练前后均优秀的有，共2人，训练前不优秀而训练后优秀的有6人，
记“所选3人中恰有2人训练后为优秀”为事件，
记“所选3人中恰有1人训练前为优秀”为事件，
可得，（A），
所以；
（3）设跳水员每轮测试为优秀的概率为，
可得，
设测试次数为，
则优秀的次数，
所以，
解得，
故至少需进行12轮测试．
【点评】本题考查独立性检验及二项分布，考查了逻辑推理和运算能力．
13．（2023•广西开学）某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产．
（1）在试产初期，该款血液试剂的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次品率为．第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验．
已知批次的血液试剂智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；
（2）已知切比雪夫不等式：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有．药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信．
【分析】（1）由题意，根据已知条件，结合条件概率公式即可求解；
（2）根据题意结合切比雪夫不等式，求出有效份数不超过60份的概率即可得出结论．
【解答】解：（1）不妨设批次的血液试剂智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
易知，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；
（2）设100份血液样本中检测有效的份数为，
假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客观真实的，此时，
所以，，
由切比雪夫不等式可得，
所以在假设下，100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04，此概率很小，
因此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信．
【点评】本题考查二项分布的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
14．（2022秋•南岗区校级期末）2023年春节过后，随着疫情的有效控制，高三学年开始返校复课学习，为了减少学生买餐时聚集排队，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供拉面和盖饭共两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过一段时间的统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为．如果第一天选择套餐，那么第二天选择套餐的概率为；如果第一天选择套餐，第二天选择套餐的概率为．
（1）求高三一位同学第二天选择套餐的概率；
（2）记高三某班三位同学复课第二天选择套餐的人数为，求的分布列和数学期望．
【分析】（1）利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出高三一位同学第二天选择套餐的概率．
（2）由题意可得，，1，2，3，，进而得出分布列与数学期望．
【解答】解：（1）由题意可得高三一位同学第二天选择套餐的概率（A）．
（2）由题意可得，，1，2，3，
，
可得，，，，
的分布列为：
．
【点评】本题考查了二项分布列的性质、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（2023春•裕华区校级月考）为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门，，的16名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是部门8人，部门4人，部门4人．
（1）若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自部门的概率；
（2）若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
【分析】（1）至少有2个组长来自部门共有3种情况：有2个组长来自部门，有3个组长来自部门，有4个组长来自部门．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可公式即可得出．
（2）由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4．，，1，2，3，4，可得的分布列及其．
【解答】解：（1）至少有2个组长来自部门共有3种情况：有2个组长来自部门，有3个组长来自部门，有4个组长来自部门．
设事件表示“至少有2个组长来自部门”，则（A）．
（2）由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4．
，，1，2，3，4，则，，同理可得，，．
可得的分布列
．
【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（2023•新城区校级模拟）网络购物相比于实体店购物更加方便、省时，成为大学生日常生活中的购物新模式．某高校学生会分别随机抽取本校男、女学生各100人进行网络购物问卷调查，调查问卷中有一项是“你每学年用于网购消费的金额”，经过数据整理，得到如下频数分布表：
（1）试估计该高校学生网购消费金额低于900元的频率；
（2）以频率作为概率，若将每学年用于网购消费的金额不低于900元的学生称为“网购过度消费”，低于900元的学生称为“非网购过度消费”，从该校“网购过度消费”的学生中随机抽取4名学生进一步了解他们对网络购物的满意度，记抽到男生的人数为，求的分布列与期望．
【分析】（1）根据频数分布表，直接计算频率即可；
（2）由题意，服从二项分布，根据频数分布表求出任取一名“网购过度消费”的学生是男生的概率，然后根据二项分布的性质求解．
【解答】解：（1）由题图可知，该高校学生网购消费金额低于900元的频率为：
；
（2）从该校“网购过度消费”的学生中，任取一名网购消费金额不低于900元的学生，该生是男生的概率为，
随机抽取4名学生，抽到男生的人数为，易知，
，，，，，
的分布列为：
．
【点评】本题考查频率的计算以及二项分布的求法，属于中档题．
17．（2023秋•台江区校级期中）现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：
（1）若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为，求的分布列和数学期望．
（2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ．记询问的某组被标为Ⅱ的概率为．
试用含的代数式表示；
若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值．
【分析】（1）由分层抽样确定三种房间的入住人数，根据可能的取值计算相应的概率，列出分布列并求数学期望．
（2）由古典概型结合组合数公式，计算概率；独立重复试验的概率公式表示出，利用导数求的最大值及此时的值．
【解答】解：（1）单人间、双人间、三人间入住人数比为，即，
这10人中，入住单人间、双人间、三人间的人数分别为，，，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
．
（2）从人中任选2人，有种选法，其中入住房间类型相同的有种选法，
询问的某组被标为Ⅱ的概率为．
由题意，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取得最大值，最大值为，
由且，得，
当时，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率最大，且的最大值为．
【点评】本题考查了二项分布列、超几何分布列的计算公式与数学期望、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（2023•浙江开学）某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺的分泌，所以又叫“快乐药”．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺分泌的正常值是，定义运动后多巴胺含量超过称明显有效运动，否则是不明显有效运动．树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为，女生中明显有效运动的人数占，男生中明显有效运动的人数占．
（1）根据所给的数据完成上表，并依据的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说明理由；
（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有可能是多少？
附：，其中．
参考数据：
【分析】（1）根据题意完善列联表，计算，与临界值对比即可得出结论；
（2）由题意，问题可转化为二项分布，利用二项分布概率公式列出不等式组求解．
【解答】解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为，女生中明显有效运动的人数占，男生中明显有效运动的人数占，得到下面的列联表：
给定假设：明显有效运动与性别没有关系．
由于，
则根据小概率值的独立性检验，有充分的证据推断假设不成立，因此认为明显有效运动与性别存在差异；
（2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为，
设11人不明显有效运动的人数为，则，
所以，
假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是，
则，
解得，，
故或．
所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4．
【点评】本题主要考查独立性检验，二项分布，属于中档题．
19．（2023春•丹阳市校级月考）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，，，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
（1）填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05前提下认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关？（单位：只）
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
以中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量．试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数．
参考公式：（其中为样本容量）
【分析】（1）根据独立性检验的方法求解即可；
（2）根据条件公式和对立事件的性质计算即可；
根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：
在，内有只，
在，内有只，
在，内有只，
在，内有只，
在，内有只，
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只，
而指标值小于60的小白鼠共有只，
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：
，
所以在犯错误的概率不超过0.05前提下认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．
（2）令事件 “小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件 “小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，
事件 “小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
则，，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率．
由题意，知随机变量，
，
因为最大，
所以，解得，
是整数，所以或，
接受接种试验的人数为109或110．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
20．（2023春•洛阳月考）2023年4月23日第二届全民阅读大会在杭州举办，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某市响应号召，推进全体学生阅读，在全市100000名学生中抽取1000名学生调查每周阅读时间，得到频率分布直方图如下图：
由频率分布直方图可以认为该市学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为1000名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），．
（1）试估计全市学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数；
（2）若从全市学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为，求随机变量的分布列，均值与方差．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【分析】（1）由直方图求出均值，结合服从正态分布，计算，则全市学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数可求；
（2）显然服从二项分布，则先算出成功概率，再利用二项分布的知识与性质求出分布列、均值与方差．
【解答】解：（1）样本中1000名学生每周阅读时间的均值为：
，即，又，所以，，
所以，
所以全市学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人；
（2）因为，，所以成功概率，可得，
故，
，
，
，
，
，
随机变量的分布列为：
故，．
【点评】本题考查正态分布与二项分布的性质和应用，属于中档题．
考法3：正态分布
一．选择题（共4小题）
1．（2023•涪城区校级模拟）已知随机变量，令，，则下列等式正确的序号是
①；
②；
③；
④．
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解．
【解答】解：因为随机变量，
则正态分布曲线关于对称，
因为，，
则由正态分布曲线的对称性可得：
对于①，，即①正确；
对于②，，即②错误；
对于③，，即③正确；
对于④，，即④正确，
即①③④正确，
故选：．
【点评】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属基础题．
2．（2023•鼓楼区校级模拟）下列说法中正确的是
A．已知随机变量服从二项分布，则
B．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件
C．已知随机变量的方差为，则
D．已知随机变量服从正态分布且，则
【分析】根据数学期望判断；根据充分必要条件判断；根据方差判断；根据正态分布判断．
【解答】解：对于：随机变量服从二项分布，则，故错误；
对于：“与是互斥事件”不能推出“与互为对立事件“，但是“与是互斥事件” “与互为对立事件“，故与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故错误；
对于：随机变量的方差为，则，故错误；
对于：因为随机变量服从正态分布且，所以，所以，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了命题的真假的判断，属于基础题．
3．（2023•江西模拟）某地市在2023年全市一模测试中，全市高三学生数学成绩服从正态分布，已知，，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据正态函数密度曲线的对称性，容易求解．
【解答】解：因为服从正态分布，所以，
已知，且与关于对称，
，
所以．
故选：．
【点评】本题考查正态分布的性质和应用，属于中档题．
4．（2023•沙坪坝区校级模拟）分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的分布，则
A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量
B．若连续随机变量满足：，则服从分布
C．若服从位置参数为0，形状参数为的分布，则
D．若服从位置参数为，形状参数为的分布，则
【分析】根据二项分布为离散型随机变量的分布可判断选项；利用分布的定义可判断选项；根据分布的概率公式可判断，选项．
【解答】解：对于选项，满足二项分布的随机变量是离散型随机变量，错；
对于选项，根据分布的定义可知，
若连续随机变量满足，则不服从分布，错；
对于选项，若服从位置参数为0，形状参数为的分布，
则，所以，，
，
故，对；
对于选项，若服从位置参数为，形状参数为的分布，
则，，
所以，，
因为，所以，即，错．
故选：．
【点评】本题考查连续随机变量服从的分布函数所具有的性质，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
5．（2023•雨花区校级模拟）已知随机变量服从正态分布，，则下列选项正确的是
（参考数值：随机变量服从正态分布，则；；
A．B．
C．D．
【分析】根据正态分布曲线的概念分别求得，，再利用正态分布曲线的对称性判断，即可．
【解答】解：随机变量服从正态分布，，
，，故，正确；
对于，，正确；
对于，，错误．
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．（2023•茂南区校级三模）给出下列命题，其中正确命题为
A．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为4
B．经验回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系
C．随机变量服从正态分布，，则
D．变量，的决定系数越大，则两个变量，的拟合效果越好
【分析】根据方差的性质，线性回归方程的特点，正态分布的性质，相关指数的概念即可求解．
【解答】解：对，样本数据，，，的方差为2，根据方差的性质可得：
数据，，，的方差为，错误；
对，经验回归方程为，
变量与具有负的线性相关关系，正确；
对，，
均值为3，又，
，
．
错误；
对，变量，的决定系数越大，两个变量，的拟合效果越好，
正确．
故选：．
【点评】本题考查方差的性质，线性回归方程的特点，正态分布的性质，相关指数的概念，属基础题．
7．（2023•浙江模拟）下列说法正确的是
A．样本数据5，9，10，13，9，7，3，6的上四分位数为9.5
B．若随机变量服从两点分布，若，则
C．若随机变量服从正态分布，且是偶函数，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1
【分析】求出上四分位数判断；求出两点分布的方差判断；利用正态分布的对称性求出判断；利用相关系数与相关性强弱的关系判断作答．
【解答】解：对于，样本数据3，5，6，7，9，9，10，13，由，
得上四分位数为，正确；
对于，，错误；
对于，由是偶函数，所以，
得，
又，因此，正确；
对于，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，
则样本相关系数的绝对值越接近于1，错误．
故选：．
【点评】本题考查百分位数，正太分布，方差，相关系数，属于基础题．
8．（2023•潍坊模拟）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布，（单位：，生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量服从正态密度函数，其中，则
附：随机变量，则，，．
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为
B．生产线乙的食盐质量，
C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常是合理的
【分析】根据密度函数定义可得乙生产线中，，，可判断项；，项可根据“原则”计算，项，要注意正态分布研究的是对样本的估计．
【解答】解：由正态分布密度曲线函数，可得：，，，
生产线乙的食盐质量，，错误；
对于，质量服从正态分布，虽然，
但都是预测，估计值，不能说“一定”， 错误；
设正常情况下，甲生产线上包装出来的食盐质量为，
由题意可知，，
，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知：
，正确；
由于，所以，，
如果生产线不出现异常，随机抽取两包检查，
质量都大于的概率约为，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，
检测员的判断是合理的，正确．
故选：．
【点评】本题考查了正态分布密度曲线的性质，属于基础题．
三．填空题（共7小题）
9．（2023•黄浦区校级模拟）已知某次考试的数学成绩服从正态分布，，且，现从这次考试随机抽取3位同学的数学成绩，则这3位同学的数学成绩都在内的概率为 ．
【分析】根据正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：由题意得，该正态曲线的对称轴为，，
，位同学的数学成绩都在的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正态分布，属于基础题．
10．（2023•郴州模拟）2023年国家公务员考试笔试于1月日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为 ．
【分析】根据正态分布的对称性及其概率，二项分布的概率即可求解．
【解答】解：，
，
从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于90概率是：
．
故答案为：．
【点评】本题考查正态分布的对称性及其概率，二项分布的概率，属于基础题．
11．（2023•靖远县模拟）某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 120 ．
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案．
【解答】解：由，得正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
则数学成绩为优秀的人数是．
故答案为：120．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
12．（2023•洪山区校级模拟）已知随机变量，，且，，则 ．
【分析】根据，求出的值，再根据求解即可．
【解答】解：因为，所以，即，
因为，所以，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正态分布和二项分布，属于基础题．
13．（2023•深圳二模）若，，则 0.82 （精确到．
参考数据：若，则，．
【分析】由题意求出，的值，然后问题即转化为求的值的问题．
【解答】解：由已知得，，
所以
．
故答案为：0.82．
【点评】本题考查正态分布的性质和概率的计算，属于基础题．
14．（2023•泉州模拟）设随机变量，若，则 0.3 ．
【分析】结合正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义求解即可．
【解答】解：由正态分布密度曲线的对称性可得，，
则，
即，
故答案为：0.3．
【点评】本题考查了正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义，属基础题．
15．（2023•邢台模拟）某种食盐的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间，的约有 8186 袋．（质量单位：
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【分析】根据正态分布的概率分布原则可得，，进而求出即可求解．
【解答】解：由题意知，，，
所以，，
得
，
所以袋装质量在区间的约有袋．
故答案为：8186．
【点评】本题主要考查正态分布，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
16．（2023•沙坪坝区校级模拟）在正常生产条件下，根据经验，可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布，，而化肥施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异．
（1）假设生产条件正常，记表示化肥的有效利用率，求；
（2）课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．其中每亩化肥施用量为（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）
参考数据：
，，2，，．
根据散点图判断，与，哪一个适宜作为该农作物亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量的值．
附：①对于一组数据，，2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小一乘估计分别为，；
②若随机变量，则，．
【分析】（1）由题意，根据正态分布的性质进行求解即可；
（2）根据散点图，结合一次函数和幂函数的图象，即可求解．
结合中所得关于的回归方程，对等式两边取对数，令，，根据所给公式和数据求出和的值，得到回归方程，再将代入方程中即可求解．
【解答】解：（1）因为可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布，，
所以；
（2）由散点图可知与的关系不是线性关系，
所以适宜作为粮食亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程；
由知关于的回归方程为，
对等式两边同时取对数，得，
令，，
则，
因为，，
所以，
所以，
即，
所以关于的方程为，
当时，（百公斤）．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
17．（2023•向阳区校级模拟）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本（元与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如表格数据：
根据以上数据绘制了散点图，观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数．
（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，若非原料成本在，之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因．利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中；
参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数．
【分析】（1）由题意，令，将转化成，代入公式中求出和，进而可得关于的回归方程；
（2）求出与的相关系数为，将和进行比较，得到更符合条件的回归方程，将代入即可求解；
（3）先求出标准差，得到非原材料成本服从正态分布，求出所在区间，进而即可求解．
【解答】解：（1）令，
此时可转化为，
易知，
所以，
此时，
所以，
则关于的回归方程为；
（2）易知与的相关系数为
又，
因为，
所以用反比例函数模型拟合效果更好，
当时，（元，
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
（3）因为，所以，
此时样本标准差，
即，
所以非原料成本服从正态分布，，
此时，，
因为56.5在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因．
【点评】本题考查线性回归方程的相关应用，考查了逻辑推理和运算能力．
18．（2023•日照二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
经计算得：，．
（1）根据以上数据，建立关于的回归方程为自然对数的底数）．
（2）云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力．某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中为单件产品的成本（单位：元），且；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差．若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
若，则，，．
【分析】（1）利用最小二乘法公式，结合已知数据，代入化简计算，可得关于的回归方程；
（2）利用正态分布的概率模型求解，并结合特殊概率值求解．
【解答】解：（1）由，得，
由最小二乘法公式得：，
，，，，
，
，
则，
故关于的回归方程为；
（2），所以，，
，
，解得，
引入云计算后，，所以，，
若保持单件产品的成本不变，则，，，
，
若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），
则，，即单件产品降价元．
【点评】本题考查回归直线的求法，考查正态分布的应用，属于中档题．
19．（2023•爱民区校级三模）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；
（2）通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布，．
（ⅰ）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过10.03的家禽数量（结果保留整数）；
（ⅱ）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的．该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由．
参考数据：
①，；
②若，则；．
【分析】（1）设这5000只家禽血液样本中指标值的中位数为，可得，解得．
（2）由，可得，即可得出．
由，可得，设随机抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于12.66”为事件，
利用二项分布列概率计算公式即可判断出结论．
【解答】解：（1），
，
设这5000只家禽血液样本中指标值的中位数为，
则，
解得．
（2），
，
．
，
，
设“随机抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于12.66”为事件，
则（B），
判断这一天该养殖场的家禽健康状况不正常．
【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、中位数、正态分布的性质、二项分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
用时秒
，
，
，
，
男性人数
15
22
14
9
女性人数
5
11
17
7
空气质量指数
优
良好
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
5
8
4
0
1
2
3
4
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
30
20
50
女性
15
35
50
总计
45
55
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
等级
特等
一等
二等
三等
等外
个数
10
20
50
12
8
0
1
2
3
0
1
2
选物理类
选历史类
合计
男生
35
15
女生
25
25
合计
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
物理类
历史类
合计
男生
35
15
50
女生
25
25
50
合计
60
40
100
1
2
3
0
1
2
3
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
亚运会项目
合计
了解
不了解
男生
女生
合计
3
3
休闲方式
性别
看电视
看书
合计
男
10
50
60
女
10
10
20
合计
20
60
80
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
2
8
10
训练后
8
2
10
合计
10
10
20
0
1
2
3
0
1
2
3
4
消费金额
，
，
，
，
，
，
性别
男
6
19
27
28
16
4
女
11
24
31
24
7
3

0
1
2
3
4






入住房间的类型
单人间
双人间
三人间
人数
36
60
24
0
1
2
3
女生
男生
合计
明显有效运动
不明显有效运动
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
女生
男生
合计
明显有效运动
10
30
40
不明显有效运动
10
10
20
合计
20
40
60
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
_____
_____
_____
没有抗体
_____
_____
_____
合计
_____
_____
_____
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
指标值
抗体
小于60
不小于60
合计
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
0
1
2
3
4
5
650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
1
2
3
4
5
6
7
8
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码
1
2
3
4
5
云计算市场规模亿元
692
962
1334
2091
3229