陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷

这是一份陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西咸阳市实验中学 2025-2026 学年高二下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题
二项式(2x 1)n 的展开式中所有二项式系数和为 64，则n  （ ）
A．4B．5C．6D．7
已知双曲线 C 的焦点在 y 轴上，其渐近线方程为 y   3x ，则 C 的离心率为（ ）
2
​
​
C．2
3
D． 2
3
3
设 x ， y  R ，向量a  1, x, y  ， b  2, 4, 2 ， a∥b ，则 x  y  （ ）
7
5
3
D．1
将 5 名志愿者分配到 4 个社区协助开展活动，每个社区至少 1 人，每个人只去 1 个社区进行志愿服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．180B．240C．360D．480
已知 f  x 是定义域为2,2 的函数 f  x 的导函数，且函数 g  x  xf  x 的图象如图所示，则（ ）
f  x 在2, 0 上为增函数
f  x 的最小值为 f 0
f  x 的极大值为 f 0 ，极小值为 f 1
f  x 的极小值点为 0，极大值点为 1
已知随机事件 A 、 B ， P  A  1 ， P  B  1 ， P  A B  1 ，则 P B A  （ ）
A． 1
6
2
B． 1
3
3
C． 2
3
2
D． 5
6
已知 f  x 是定义在5, 0 ∪ 0, 5 的偶函数，当 x  0 时，xf  x  2 f  x  0 ，且 f 2  0 ，则 x  1 f  x  0
的解集为（ ）
A． 5, 2 ∪ 1, 2
B． 2, 1 ∪ 2, 5
5, 2 ∪ 2, 5D． 2, 0 0, 2
已知a ， b  R ，若a  2 ln a  eb  2b ，则ab 的取值范围是（ ）
A．1, 
B．  1 , 
C． 1 , ∞
1, 
 ee

二、多选题
已知点 A(3, 0) ， B(0, 3) ，点 P 在圆C : (x  3)2  ( y  4)2  4 上运动，则（ ）
直线 AB 与圆C 相离
| PA |的最大值为5
2
VPAB 的面积的最小值为6  3
圆C 半径为 2 10．下列说法正确的是（ ）
某公交车上有 6 位乘客，沿途 4 个车站，乘客下车的可能方式有64 种
用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，能组成 156 个无重复数字的四位数偶数
英文单词“sentence”由 8 个字母构成，将这 8 个字母组合排列，且两个n 不相邻一共可以得到英文单词的个数为 2520 个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
D．6 名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有 216 种
11．（多选）如图，棱长均为 2 的正三棱柱 ABC  A1B1C1 中， M , N 分别是 AB, BB1 的中点，则（ ）
异面直线 AN 与 A1C 所成角为90
B1C1 ∥平面 A1CM
平面 A1CM  平面 ABB1 A1
点 B 到平面 A1MC 的距离为 255
三、填空题
已知an 是等差数列， a6  1， a26  11 ，则a2026  ．
如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供 6 种颜色给“弦图”的 5 个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种.（用数字作答）
已知142027  m 恰能被 13 整除，则m 的最大负整数取值为.
四、解答题
设a 是等比数列，公比不．为．1．．已知a  1 ，且a , 2a , 3a 成等差数列．
n13
123
求an 的通项公式；
若数列cn  2n 1, 设an  cn  的前 n 项和为Tn ，求Tn ；
若(1 2x)7  a  a x  a x2 L a x7 ，求：
0127
求a4 的值；
a1  a2 L a7 ；
a0  a1 L a7 ．
如图，在四棱锥 P  ABCD 中， PA  AB  BC  2 ， AD  4 ， PA  底面 ABCD ， AB  AD ， BC / / AD ，
E 是 PD 的中点．
证明： CE / / 平面 PAB ；
求直线 PD 与平面 ACE 所成角的余弦值．
已知函数 f  x   e x  x  1， g  x   a ln x  x ．
求 f  x 的极值；
若h  x   f  x   g  x  在1, 2单调递增，求实数 a 的取值范围；
é1
当a  0 时，若对任意的 x Î
ù
，总存在 x
 1 ,1 ，使得 f  x   g  x  ，求实数 a 的取值范围．
1ê ,1ú
2 12
x2y2
êëe úû
e 
1FF
已知椭圆C ： a2  b2  1a  b  0 的离心率为 2 ，左、右焦点分别为 1 ， 2 ，点 P 是C 上一点，
F1PF2
 60 ，且VPF F 的面积为 3 ．
1 2
求C 的方程．
过 F1 的直线l 与C 交于 A ， B 两点，与直线 x  3 交于点 D ，设 AD  λ1 AF1 ， BD  λ2 BF1 ，证明：λ1  λ2
为定值．
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．B
5．D
6．C
7．A
8．B
ACD
BC
ACD
12．1011
13．1560
14． 1
15．（1）解：Q a1 ， 2a2 ， 3a3 成等差数列， 2  2a2  a1  3a3 ， 4  q  1 3q2 ，
 q  1
 解得q  1 ．
3
 a  1  1 n-11 n
( ) =( )
n3 33
．
 1 n
 
（2） an  cn =2n 1+ 3 
Tn =a1  c1  +a2  c2  +a3  c3  + an  cn 
 1 
1
=1+3+5  2n 1   3 
 1 2
  3 
 1 n
  3 
   
1  1 n 
3 1  3  ．
 1 2n 1 n    
21 1
3
11  1 n
 n2    
22  3 
16．（1）二项式1  2x7 展开式的通项为T Cr17r 2xr  Cr 2r xr ，
其中0  r  10, r  N ．
r 177
因为(1 2x)7  a  a x  a x2 L a x7 ，所以a  C4 24  560 ．
012767
（2）Q(1  2x)7  a  a x  a x2  a x7 ，
0127
令 x  0 ，解得a0  1 ；
令 x  1 ，整理得a0  a1  ...  a7  1 ，故a1  a2  a3  a7  2 ．
1  2x7 的展开式通项为T Ck  2xk  Ck  2k xk ，则a  Ck  2k ，
k 177k7
其中0  k  7 且k  N ，当k 为偶数时， ak  0 ；当k 为奇数时， ak  0 ．
所以 a0  a1 L a7  a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7
令 x=−1 可得a  a  a  a  a  a  a  a  37  2187 ，
01234567
所以 a0  a1 L a7  2187 ．
17．（1）取 PA 的中点 F ，连接 EF ， BF .
Q E 为 PD 的中点， EF / / AD 且 EF  1 AD ，
2
又Q BC / / AD ， BC  2 ， AD  4 ， EF / / BC ，且 EF  BC ，
 四边形 EFBC 为平行四边形，CE / / BF ，
Q BF  平面 PAB ， CE  平面 PAB ，CE / / 平面 PAB .
（2）以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴建立空间直角坐标系，
Q PA  AB  BC  2 ， AD  4 ，
 A(0, 0, 0) ， B(2, 0, 0) ， C(2, 2, 0) ， D(0, 4, 0) ， P(0, 0, 2) ， E(0, 2,1) ，
16  4
–––→
5
PD  (0, 4, 2)， PD 
 2，
 AC  (2, 2, 0) ， AE  (0, 2,1) ，
设平面 ACE 的法向量为n (x, y, z)，
→ –––→
n  AC  2x  2 y  0
y  1
则有→ –––→
，取 x  1 ，则
， z  2 ，
n  AE  2 y  z  0
则平面 ACE 的法向量为n  (1, 1, 2) ，
6
→
则 PD  n  4  4  8 ， n .
PD  n
–––→
–––→ →
PD  n
→
设 PD 与平面 ACE 所成的角为θ，
–––→ →
8
2 5  6
42 30
则有sinθ cs
PD, n
，
30
15
Qsin2θ cs2θ1，
csθ
1 sin2θ
 105 ，
1 ( 2 30 )2
15
105
225
15
 直线 PD 与平面 ACE 所成角的余弦值为 105 .
15
18．（1） f  x   e x  x  1，求导得 f  x  ex 1， f 0  0 ，因为 x  0 时， f   x   0 ，所以 f  x 在0, ∞ 上单调递增， 因为 x  0 时， f   x   0 ，所以 f  x 在, 0 上单调递减，又 f 0  0 ，故 f  x 在 x  0 处取极小值 0，无极大值．
（2）函数h  x  f  x  g  x  ex  x 1 alnx  x  ex  alnx 1，
求导得h x  ex  a  xex  a ，由h  x 在1, 2单调递增，
xx
min
得h x  0 在1, 2上恒成立，即 xex  a 在1, 2上恒成立，因此a   xex ， x 1, 2，设 H  x  xex ， x 1, 2， H  x  ex  xex   x 1ex  0 ，则 H  x 在1, 2上单调递增，
min
于是 H  x H 1  e ，即a ≤e ，所以a 的取值范围为, e.
é1 ù
3x Î
x  1 ,1
f  x   g  x 
（ ）若对任意的 1
ê ,1ú，总存在 2
  ，使得
12 ，
x  1 
êëe úû
e 

则当 e ,1 时， f  xmax  g  xmax ，
x  1 x

当 e ,1 时， f  x  e 1  0 ，
即 f  x 在1 ,1 上单调递增， f  x f 1  e  2 ，
 e 
max
x  1 

函数 g  x  alnx  x ， a  0 ，
求导得 g x  a 1  a  x ，
xx
 e ,1 ，
由a  0 ，得 g x  0 ，函数 g  x  在1 ,1 上单调递减，
 e 
则 g  x g  1   a  1 ，因此e  2  a  1 ，解得a  2  e  1 ，
e
 
max eee
所以a 的取值范围为 , 2  e  1  .
e 

 c  1
 a2

a2  b2  c2
 PF  PF  2a
19．（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则12，
3
 1 PF PF sin 60 
2
12

 PF 2  PF 2  2 PF PF cs 60  F F 2

解得c  1, a  2, b  3 ，
x2y2
12121 2
所以椭圆C 的标准方程为
 1 ．
43
（2）由题可知， F1 1, 0 ，直线l 的斜率存在.
设直线l 的方程为 y  k  x 1 ， A x1 , y1 , B  x2 , y2  x1  x2  1 ，
 x2  y2 

由 431 ，得4k 2  3 x2  8k 2 x  4k 2 12  0 ，
 y  k  x 1
8k 2
4k 2 12
所以 x1  x2   4k 2  3 , x1 x2  4k 2  3 .
x  3
由 y  k  x 1 ，得 D 3, 2k  .

由 AD  λ1 AF1 ， BD  λ2 BF1 ，
3  x1, 2k  y1   λ1 1 x1,  y1 
得3  x , 2k  y   λ 1 x ,  y  ，
22222
λ  3  x1
3  x  λ1 x  11 x
所以
111
，即1 ，
3  x2  λ2 1 x2 λ  3  x2
 21 x2
所以λ λ  3  x1  3  x2
 3  x1 1 x2   3  x2 1 x1   2  x1x2  2  x1  x2   3
121 x
1 x
1 x 1 x 
x x   x  x  1
1212
 4k 2 128k 2
1 212
2  4k 2  3  2·
2  3  3
2 32
 
4k 2 12 
4k
8k 2
  ，
93
4k 2  34k 2  3 1
即λ λ 为定值，定值为 2 .
123