陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷

这是一份陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西咸阳市实验中学 2025-2026 学年高一下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题
设复数 z  3  i （ i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10cm，下底半径为18cm，母线长为17cm ，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为
（ ）
969π cm2
952π cm2
864π cm2
476π cm2
有一块四边形的菜地，用斜二测画法画出它的直观图是直角梯形，如图所示， ABC  45∘ ， AD//BC ，
AB  AD  1 ， DC  BC ，则这块菜地的面积为（ ）
2  2
2
1C．12
2
2
D． 2 
2
设有两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α， β，下列说法正确的是（ ）
若m / /α， n//β且α//β，则m//n
若m α， n  β且m//n ，则α//β
若α//β， m α，则m / /β
若m α， n   ，且m / /β， n//β，则α//β
已知向量a  1, 2 ， b  3,1 ，则a 在b 上的投影向量为（ ）
1 →
2 b
2 →
b
2
3 →
2 b
5 →
2 b
如图，某建筑物的高度 BC  300m ，一架无人机Q 上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为 15°，地面某处 A 的俯角为 45°，且BAC  60 ，则此无人机距离地面的高度 PQ 为（ ）
100mB． 200mC． 300mD． 200 2m
棱长均为 2 的四面体的外接球体积为（ ）
B． 6π
4 6π
3
AC
在△ABC 中，设–––→2
–––→2
 AB
C． 4 3π
D． 3π
3
2 AM  BC
 ––––→ –––→ ，那么动点 M 的轨迹必通过△ABC 的（ ）
垂心B．内心C．外心D．重心
二、多选题
已知复数 z1  1 i ， z2  2  i ，则下列说法正确的是（ ）
2
z1 
z1 z2 的实部为 1
z1  1  3 i
z255
若 z1  a  bi  2 ，则a2  b2 的最大值为 8
如图所示，圆锥SO 的底面半径r  3 ，高SO 1， AB 是底面圆周的一条直径，M 为底面圆周上与 B
不重合的一点，则下列命题正确的是（ ）
圆锥SO 的体积为π
3
圆锥SO 的表面积为(2 3)π
3
aSBM 的面积的最大值是
有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 爬行到点 B，则蚂蚁爬行的最短距离为 3π
已知 a，b，c 分别是V ABC 三个内角 A，B，C 的对边，则下列说法错误的是（ ）
若 A  B ，则sin A  sin B
3
–––→ –––→
若V ABC 是边长为 1 的正三角形，则 AB  BC 
2
2
6
若 B  π ， b ， c  2 ，则V ABC 有两解
若a cs A  b cs B ，则V ABC 是等腰直角三角形
三、填空题
已知空间两个角∠ABC 与ABC ，若 AB//AB ， BC //BC ， ABC  66 ，则ABC  .
已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 2，平面α过体对角线 BD1 ，且与直线 AA1 平行，则平面α截该正方体所得截面的周长为.
如图，在V ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同两点 M，N．设
AB  mAM ， AC  nAN ， m  0 ， n  0 ， m  2n  tmn ，则 t 的最小值为．
四、解答题
已知复数 z  m2  3m  2  m2  4m  3i ， m  R ．
若 z 是实数，求 m 的值．
若 z 是纯虚数，求 m 的值．
若 z 对应复平面上的点在第四象限，求 m 的范围；
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F，G 分别在边 AB，AD，BC 上，且满足 AE＝ 1 AB，AF＝ 1
33
AD，BG＝ 2 BC，设 AB  a ， AD  b .
3
用a ， b 表示 EF ， EG ；
若 EF⊥EG， AB  EG  2a  b ，求角 A 的值.
已知向量 →  (0, 2), b  (1, m) ，且a 与b 的夹角为 π .
a4
→→
求 a  2b ；
a
a
若 →  λb 与 →  b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
在V ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，满足a2  b2  ab  c2 .
求角C 的大小；
若a  b  8 ，求V ABC 周长的最小值；
3
若V ABC 是锐角三角形，且c  2，求V ABC 面积S 的取值范围.
如图，四棱锥 P  ABCD 中， AB  BC  1 AD ， AD//BC ， E , F , H 分别为线段 AD, PC,CD 的中点， AC
2
与 BE 交于 O 点．
求证： AP// 平面 BEF ；
求证：平面OFH // 平面 PAD ；
设平面 PBC 交平面 PAD 于直线 l．
①求证： BC ∥l ；
VP ABC
V
②求的值．
F  EHD
参考答案
1．D
【详解】由题意知，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为3, 1 ，位于第四象限. 2．B
【详解】如下图所示：
由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为2  π10 1817  952πcm2 .
3．A
【详解】在直观图中，过点 A 作 AE  BC ，垂足为点 E ，
则在Rt△ABE 中， AB  1， ABE  45∘ ，所以 BE  AB sin 45∘ 2 ，
2
而四边形 AECD 为矩形， AD  1 ，所以CE  AD  1 ，
所以 BC  BE  EC 
2 1 .
2
由此可还原原图形如图所示.在原图形中， A D  1， AB  2 ， BC 
2 1 ，
2
且 AD//BC ， AB  BC ，
所以这块菜地的面积为S  1  AD  BC AB  1 11 2  2  2  2 .
22 2 2

4．C
【详解】对于 A 选项，若m / /α， n//β且α//β，则m 与n 平行、相交或异面，A 错； 对于 B 选项，若m α， n  β且m//n ，则α与β平行或相交，B 错；
对于 C 选项，若α//β， m α，由面面平行的性质可知m / /β，C 对；
对于 D 选项，若m α， n   ，且m / /β， n//β，则α与β平行或相交，D 错.
5．A
→
【详解】向量a  1, 2 ， b  3,1 ，
→→→→
a·b ·b  1 3  2 1 ·b  1 b
32 12
则a 在b 上的投影向量为 → 222.
6．B
b
AC BC
3
 300  200
【详解】由题意，在Rt△ABC 中， BAC  60 ， BC  300 ，所以
sin 603.
2
在a ACQ 中， AQC  45 15  60 ， QAC  180  45  60  75 ，所以ACQ  180  75  60  45 ，
由正弦定理，
AQ
sin 45
AC
sin 60
 AQ  AC sin 45 
sin 60
200 3 
3
2
2
2  200 2 .
又△APQ 为等腰直角三角形，所以 PQ  AQ sin 45  200 2 
故选项 B 正确.
2  200 .
2
7．B
【详解】作 P 在底面 ABC 上的投影，连接 PO, AO ，则外接球球心O1 位于 PO 上，连接 AO1 ，
设外接球半径为 R ，则 AO1  PO1  R ，已知a  2 ，则
AO  2  3  2  2 3 ，
4   2 3 
2


3
323
AP2  AO2
PO 
2 6

3
，
 2 3 2
2
 2 6
在 RtaAOO 中， AO2  OO2  AO2 ，即  
 R 
 R2 ，
1
解得 R 6 ，
2
11 3  3
3
4πR34π  6 
V  6π ．
33 2 

8．C
【详解】设 BC 的中点是O ，
 
uuur 2uuur 2uuuruuuruuuruuuruuur uuuruuur uuur
AC  AB  AC  AB  AC  AB  2 AO  BC  2 AM  BC ，

–––→ ––––→ –––→––––→ –––→
即 AO  AM  BC  MO  BC  0 ，所以MO  BC ，
所以动点M 在线段 BC 的中垂线上，故动点M 的轨迹必通过V ABC 的外心，故选：C.
ACD
【详解】由 z1  1 i ，得 z1 
12 12
 2 ，A 正确；
1 2
z z  1 i2  i  2  i  2i  i2  3  i ，实部为3 ，B 错误；
1
z  1 i  1 i2  i  1 3i  1  3 i ，C 正确；
z22  i2  i2  i555
由条件得： 1 a  1 bi  2 ，
平方得：
(a 1)2  (b 1)2  2 ，
2
该式表示：点(a, b) 在以(1,1) 为圆心、
为半径的圆上，
a2  b2 是点(a, b) 到原点(0, 0) 的距离的平方：
12  12
原点到圆心(1,1) 的距离为
 2 ，圆上点到原点的最大距离为
 2，
2
2
2
故a2  b2 的最大值为(2 2)2  8
，D 正确.
AB
2
【详解】圆锥SO 的底面半径r  3 ，高SO 1，所以母线长为 2；
对于 A.圆锥SO 的体积为V  1 π
3
3 1 π，所以 A 正确；
2
对于 B.圆锥SO 的表面积为S  π 3 π 3  2  2 3  3π，所以 B 正确；
对于 C. 由轴截面为等腰三角形SAB ，且顶角为ASB  2BSO  2  60  120 ，
当等腰aSBM 的顶角为90 时， aSBM 的面积取得最大值为： S 1  2  2  sin 90  2 ，所以 C 错误；
aMSB2
对于 D. 圆锥的底面圆周长为2 3π，所以侧面展开图的圆心角为α l 
r
3π，所以圆锥侧面展开图中圆弧

AB 3π 2  3π，蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 爬行到点 B，则蚂蚁爬行的最短距离为线段 AB ，且
2
AB  lAB  3π，所以 D 错误；
故选：AB. 11．BD
【详解】V ABC 中，大角对大边，若 A  B ，则a  b ，
由正弦定理
a
sin A
b
sin B
 2R ，则a  2R sin A, b  2R sin B ，
 2R sin A  2R sin B ，即sin A  sin B ，故 A 正确；
–––→–––→
正三角形中 AB  BC  1 ， AB, BC 夹角为120 ，
–––→ –––→–––→ –––→

 1 13
AB  BC  AB  BC  cs120
 11     
22

，故 B 错误；
2
2
6
已知 B  π ， b ， c  2 ，
所以1  c sin B  b  c ，故V ABC 有两解，故 C 正确；
由正弦定理得a  2R sin A, b  2R sin B ，则a cs A  b cs B 可化为
sin Acs A  sin B cs B ，即sin 2 A  sin 2B ，有两种情况：
2 A  2B ，即 A  B ， V ABC 为等腰三角形；
或2 A  π  2B ，即 A  B  π ， V ABC 为直角三角形；
2
所以aABC 不一定是等腰直角三角形，故 D 错误．
66 或114
【详解】因为 AB//AB ， BC //BC ，故ABC  66 或ABC  114 ，故答案为： 66 或114
2
4  4
【详解】
如图，因为 AA1 / / BB1 ， AA1  平面 BDD1B1 ， BB1  平面 BDD1B1 ，所以 AA1 / / 平面 BDD1B1 ，又 BD1  平面 BDD1B1 ，
所以平面α截该正方体所得截面即为正方体对角面 BDD1B1 ，
2
易知 BD  B1D1  2，
2
所以平面α截该正方体所得截面的周长为4  4.
3  2 2
2
222
AOABACAMAN
【详解】由题意–––→  1 –––→  –––→   m ––––→  n –––→ ，又M , O, N 共线，则m  n  2 ，
m  0 ， n  0 ， m  2n  tmn ，
2
所以t  m  2n  1  2  1  1  2 m  n  1  3  m  2n   1  3  2 m  2n   3  2 ，
mnnm
2  nm 
2 nm 2 
n m 2

2
当且仅当 m  2n ，即m  4  2 2, n  2
nm
15．(1) m  1或m  3 ；
m  2 ；
2  m  3 .
【详解】（1）因为 z 为实数，
所以m2  4m  3  0 ，解得m  1或m  3 .
2 时取等号，即t 的最小值为 3  2 2 .
2
m2  3m  2  0

因为 z 是纯虚数，所以有m2  4m  3  0 ，解得m  2 .
m2  3m  2  0

因为 z 对应复平面上的点在第四象限，所以有m2  4m  3  0 ，
解得2  m  3 .
–––→1 → 1 →
–––→
2 →2 →π
16．（1） EF 
b  a ， EG 
33
b  a ；（2） .
333
–––→–––→ –––→
【详解】（1）由平面向量的线性运算可知 EF  AF  AE 
1 –––→
AD 
1 –––→
AB 
1 →1 →
b  a ，
–––→–––→–––→
EG  EB  BG 
2 –––→
AB 
2 –––→
AD 
2 →2 →
b  a .
3333
3333
–––→ –––→
1 →→
2 →→
2 →→→→
由题意，因为 EF⊥EG，所以 EF  EG  b  a b  a  b  ab  a
339
–––→ –––→
1
→
→
2
→
→
2
→
→
→
→
2
→ 2
→ 2
→ 2
→ 2
EF  EG  b  a b  a  b  ab  a   b  a   0 ，解得 b  a ，
2
3
2
3
3399
–––→ –––→
→ 2 →→
→ →
→ 2→ →22
3
所以 AB  EG  a 
b  a 
a b cs A 
a  2 a b cs A ，则可化简上式为
cs A  2 cs A ，解得
33
cs A  1 ，又 A 0，π ，故 A  π.
23
5
17．(1) 2；
(, 1) ∪ (1, 3) .
2
【详解】（1）由向量 →  (0, 2), b  (1, m) ，得 → 
→

，且 →  b  2m ，
m2 1
a| a | 2,| b |a
2
→
π→ →a  b2m
2 m2 1
由a 与b 的夹角为，得csa, b  → → ，解得m  1，则 b  (1,1) ，
4| a || b |2
a
→
于是 →  2b  (0, 2)  2(1,1)  (2, 4) ，所以
| a 
→
22  42
2b |
 2 5 .
（2）由（1）知向量b  (1,1) ，
a
), a
则 → λb  (0, 2) λ(1,1)  (λ, 2 λ
→  b  (0, 2)  (1,1)  (1, 3) ，
a
a
(a
由 →  λb 与 →  b 的夹角为锐角，得
→ λb ) 
→  b )  0 且 →  λb 与 →  b 不共线，

(a
a
a
3(2 λ) λ 0
由
1(2 λ)  λ 3
，解得λ 3 且λ 1，
2
所以实数λ的取值范围为(, 1) ∪ (1, 3) .
2
18．(1) π
3
(2)12

2 3, 3 3
【详解】（1）因为a2  b2  ab  c2 ，所以a2  b2  c2  ab ，
a2  b2  c2ab1
由余弦定理可得cs C  ，
2ab
因为C 0, π ，所以C  π ；
3
2ab2
（2）因为a2  b2  a  b2  2ab  64  2ab ，所以c2  a2  b2  ab  64  3ab ，
由基本不等式可知8  a  b  2
所以ab  16 ， c2  16 即c  4 ，
ab ，当且仅当a  b  4 时等号成立，
所以当a  b  c  4 时， V ABC 周长有最小值为12 ；
由正弦定理可得
a 
sin A
b
sin B
c
sin C
，所以a  4 sin A ， b  4 sin B ，
因为 A  B  C  π ，所以 B  2π  A ，
3
则ab  16 sin Asin  2π  A  16 sin Asin 2π cs A  cs 2π sin A
 333

 16 sin A 3 cs A  1 sin A  8 3 sin A cs A  8sin2 A
 22

 4 3 sin 2 A  4 cs 2 A  4  8sin  2 A  π   4 ，
6 

0  A  π

因为V ABC 是锐角三角形，有
2
2ππ
，即 π  A  π ，
62
0  A 
32
所以π  2 A  π  5π ， 1  sin  2 A  π   1 ， 8  ab  12 ，

6662
6 

因为S  1 ab sin C 3 ab ，
24
3
3

所以2 S  3，即V ABC 面积S 的取值范围是2 3, 3 3 .
19．(1)证明见解析
证明见解析
①证明见解析；② VP ABC  4
VF  EHD
【详解】（1）证明：连接 EC，
m AD//BC ， BC  1 AD ，
2
 BC  AE ， BC //AE ，
四边形 ABCE 是平行四边形，
 O 为 AC 的中点，又m F 是 PC 的中点，
 FO//AP ，
又m FO  平面 BEF ， AP  平面 BEF ，
 AP // 平面 BEF．
证明：m F，H 分别是 PC, CD 的中点，
 FH //PD ，
又m PD  平面 PAD， FH  平面 PAD，
 FH // 平面 PAD，
又m O 是 BE 的中点，H 是CD 的中点，
OH //AD ， AD  平面 PAD ， OH  平面 PAD ，
 OH ∥平面 PAD ，
又m FH ,OH 在平面OHF 内相交于点 H，
平面OHF // 平面 PAD ．
①证明：m AD//BC ， AD  平面 PAD ， BC  平面 PAD ，
 BC // 平面 PAD ，
又m BC  平面 PBC ，平面 PBC ∩ 平面 PAD  直线 l，
 BC //l ．
②m AD//BC 且 AD  2BC ，
 Sa ABC
 1 S
3
ABCD ，
又m E，H 分别为 AD, DC 的中点，
 Sa DEH
 1 S
4
a ADC
 1 S
2
24
．
a ABC
，且三棱锥 P  ABC 与三棱锥 F  EHD 高之比为2 :1，
 VP ABC
1
a ABC
S
3

 h1  2  
VF  EHD
1 S h1
3 a EHD2