2026届湖北省安陆市第一高级中学高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届湖北省安陆市第一高级中学高三下学期联合考试数学试题含解析，共28页。试卷主要包含了若双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）．
A．0B．1C．2D．3
3． “”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（ ）
A．B．C．2或D．2或
6．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣21B．﹣24C．85D．﹣85
11．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是
A．关于直线对称B．关于点对称
C．周期为D．在上是增函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________.
14．若实数，满足，则的最小值为__________．
15．某公园划船收费标准如表：
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为______元，租船的总费用共有_____种可能.
16．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.
（1）若平面，证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
18．（12分）已知函数，.
（1）若不等式的解集为，求的值.
（2）若当时，，求的取值范围.
19．（12分）若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
20．（12分）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为抛物线上任意一点（异于顶点），过做倾斜角互补的两条直线、，交抛物线于另两点、，记抛物线在点的切线的倾斜角为，直线的倾斜角为，求证：与互补.
21．（12分）已知命题：，；命题：函数无零点.
（1）若为假，求实数的取值范围；
（2）若为假，为真，求实数的取值范围.
22．（10分）某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布（单位：微米），且相互独立．若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；
（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量服从正态分布，则．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据偶函数性质，可判断关系；由时，，求得导函数，并构造函数，由进而判断函数在时的单调性，即可比较大小.
【详解】
为定义在上的偶函数，
所以
所以;
当时，，
则，
令
则，当时，，
则在时单调递增，
因为，所以，
即，
则在时单调递增，
而，所以
，
综上可知，
即，
故选：B.
【点睛】
本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.
2、C
【解析】
设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．
【详解】
若直线与曲线切于点，则，
又∵，∴，∴，解得，，
∴过点与曲线相切的直线方程为或，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3、B
【解析】
先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
4、C
【解析】
转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】
函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
【点睛】
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
5、C
【解析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.
【详解】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.
6、C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
7、C
【解析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.
【详解】
对于A选项，函数在区间上为增函数；
对于B选项，函数在区间上为增函数；
对于C选项，函数在区间上为减函数；
对于D选项，函数在区间上为增函数.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.
8、D
【解析】
易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.
【详解】
易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即
在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.
故选D．
【点睛】
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.
9、C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
10、D
【解析】
由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，
∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，
∴q＝﹣2，则，
则，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.
11、A
【解析】
由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【详解】
如图，
取BC中点G，连接AG，DG，则，，
分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，
则O为四面体的球心，
由，得正方形OEGF的边长为，则，
四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故选A．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
12、D
【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称；
当时, ,∴f(x)关于点对称；
f(x)得周期，
当时, ,∴f(x)在上是增函数．
本题选择D选项.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.
【详解】
圆心为，
所求直线与直线垂直，
设为，圆心代入，可得，
所以所求的直线方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题.
14、
【解析】
由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.
【详解】
由约束条件先画出可行域，如图所示，由，即，当平行线经过点时取到最小值，由可得，此时，所以的最小值为.
故答案为.
【点睛】
本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解题方法.
15、360 10
【解析】
列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.
【详解】
当租两人船时，租金为：元，
当租四人船时，租金为：元，
当租1条四人船6条两人船时，租金为：元，
当租2条四人船4条两人船时，租金为：元，
当租3条四人船2条两人船时，租金为：元，
当租1条六人船5条2人船时，租金为：元，
当租2条六人船2条2人船时，租金为：元，
当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：元，
当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：元，
当租2条六人船1条四人船时，租金为：元，
综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.
故答案为：360，10.
【点睛】
本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.
16、
【解析】
根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可.
【详解】
设底面边长为，则斜高为，即此四棱锥的高为，
所以此四棱锥体积为，
令，
令，
易知函数在时取得最大值.
故此时底面棱长.
故答案为：.
【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）因为，利用线面平行的判定定理可证出平面，利用点线面的位置关系，得出和，由于底面，利用线面垂直的性质，得出
，且，最后结合线面垂直的判定定理得出平面，即可证出平面.
（2）由（1）可知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求出所需向量，分别求出平面和平面的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，所以可设平面平面，
又因为平面，所以.
因为平面，平面，
所以，从而得.
因为底面，所以.
因为，所以.
因为，所以平面.
综上，平面.
（2）解：由（1）可得，，两两垂直，以为原点，，，所在
直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
则，，，，
所以，，，.
设是平面的法向量，
由取
取，得.
设是平面的法向量，
由得
取，得，
所以，
即的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算，还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
18、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）求得的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解的值；
（2）①当时，恒成立，②当时，转化为，设，求得函数的最小值，即可求解的取值范围.
试题解析：
（1）由，得，
因为不等式的解集为，所以，故不等式可化为，
解得，所以，解得.
（2）①当时，恒成立，所以.
②当时，可化为，设，则，所以当时，，所以.
综上，的取值范围是.
19、（1）；（2）不存在.
【解析】
（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．
【详解】
（1）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为；
（2）由（1）知，．
由于，从而不存在，使得成立．
【考点定位】
基本不等式．
20、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意，设直线方程为，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论；
（2）根据题意，设的方程为，联立方程得，同理可得，进而得到，再利用点差法得直线的斜率，利用切线与导数的关系得直线的斜率，进而可得与互补.
【详解】
（1）由题意设直线的方程为，令、，
联立，得
，
根据抛物线的定义得，
又，
故所求抛物线方程为.
（2）依题意，设，，
设的方程为，与联立消去得，
，同理
，直线的斜率=
切线的斜率，
由，即与互补.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
21、（1） （2）
【解析】
（1）为假,则为真，求导，利用导函数研究函数有零点条件得的取值范围；
（2）由为假，为真，知一真一假；分类讨论列不等式组可解.
【详解】
（1）依题意，为真，则无解，即无解；
令，则，
故当时，，单调递增，当，， 单调递减，
作出函数图象如下所示，
观察可知，，即；
（2）若为真，则，解得；
由为假，为真，知一真一假；
若真假，则实数满足，则；
若假真，则实数满足，无解；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查根据全(特)称命题的真假求参数的问题.
其思路：与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
22、（1）见解析（2）需要，见解析
【解析】
（1）由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得；
（2）由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.
【详解】
（1）,
由于满足二项分布,故.
（2）由题意可知不合格率为,
若不检查,损失的期望为；
若检查,成本为,由于,
当充分大时,,
所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.
【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.