中考数学二轮复习：反比例函数练习题（含答案）

这是一份中考数学二轮复习：反比例函数练习题（含答案），共7页。试卷主要包含了已知函数y＝，如图，一次函数y1＝kx+b，函数y＝等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数y＝（m+2）xm2−10是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．−13
2．如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=kx交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是（ ）
A．﹣1B．1C．12D．34
3．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2B．﹣2＜b＜2C．b＞2或b＜﹣2D．b＜﹣2
4．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞mx的解集是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2
5．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=−6xB．y=−4xC．y=−2xD．y=2x
6．对于反比例函数y=6x的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称D．关于x轴对称
7．如图，已知点A是双曲线y=2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ）
A．n＝﹣2mB．n=−2mC．n＝﹣4mD．n=−4m
8．在反比例函数y=−2x图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
9．函数y＝（m2﹣m）xm2−3m+1是反比例函数，则（ ）
A．m≠0B．m≠0且m≠1C．m＝2D．m＝1或2
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A．125B．32C．2D．3
二．填空题（共5小题）
11．若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为 ．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．
13．如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为 ．
14．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=kx的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为 ．
15．如图，点A是反比例函数y=2x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=−3x的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=12x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
17．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
19．已知：一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y=kx（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若BCBD=52，求△ABC的面积．
20．在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
2026年中考数学二轮复习：反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知函数y＝（m+2）xm2−10是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．−13
【考点】反比例函数的定义．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义先求出m的值，再由图象在第二、四象限内，求出m的值．
【解答】解：由函数y＝（m+2）xm2−10为反比例函数可知m2﹣10＝﹣1，
解得m＝﹣3，m＝3，
又∵图象在第二、四象限内，
∴m+2＜0，
∴m＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=kx（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式以及对于反比例函数y=kx（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
2．如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=kx交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是（ ）
A．﹣1B．1C．12D．34
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=2OA＝22，所以EF=12AB=2，且△DEF为等腰直角三角形，则FD＝DE=22EF＝1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t=12，这样可确定E点坐标为（32，12），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=32×12．
【解答】解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=2OA＝22，
∴EF=12AB=2，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴FD＝DE=22EF＝1，
设F点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），
∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t=12，
∴E点坐标为（32，12），
∴k=32×12=34．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
3．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2B．﹣2＜b＜2C．b＞2或b＜﹣2D．b＜﹣2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】利用图象法结合对称性解决问题即可．
【解答】解：由题意，当b＞2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数有两个交点，
根据对称性，b＜﹣2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数也有两个交点，
故满足条件的b的值为b＜﹣2或b＞2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞mx的解集是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；符号意识；几何直观；模型思想．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞mx的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2=mx（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞mx的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故选：C．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
5．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=−6xB．y=−4xC．y=−2xD．y=2x
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出S△BCOS△AOD=13，进而得出S△AOD＝3，即可得出答案．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴BOAO=tan30°=33，
∴S△BCOS△AOD=（33）2=13，
∵点A在反比例函数y=6x上，
∴xy＝6，
∵12×AD×DO=12xy＝3，
∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD＝1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=−2x．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出S△AOD＝2是解题关键．
6．对于反比例函数y=6x的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称D．关于x轴对称
【考点】反比例函数图象的对称性．
【专题】推理填空题．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的对称性判断即可．
【解答】解：反比例函数y=6x的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x对称、关于直线y＝﹣x对称，
∵它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，
A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y＝﹣x；②一、三象限的角平分线y＝x；对称中心是：坐标原点是解题的关键．
7．如图，已知点A是双曲线y=2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ）
A．n＝﹣2mB．n=−2mC．n＝﹣4mD．n=−4m
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A的坐标、点B的坐标；然后根据AO、BO所在的直线的斜率相同，求出m，n满足的关系式即可．
【解答】解：由反比例函数的性质可知，A点和B点关于原点对称，
∵点C的坐标为（m，n），
∴点A的坐标为（2n，n），
∴点B的坐标为（−2n，﹣n），
根据图象可知，B点和C点的横坐标相同，
∴−2n=m，即n=−2m．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8．在反比例函数y=−2x图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】推理填空题．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
【解答】解：∵A（x1，y1）在反比例函数y=−2x图象上，x1＜0，
∴y1＞0，
对于反比例函数y=−2x，在第二象限，y随x的增大而增大，
∵0＜x2＜x3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．
9．函数y＝（m2﹣m）xm2−3m+1是反比例函数，则（ ）
A．m≠0B．m≠0且m≠1C．m＝2D．m＝1或2
【考点】反比例函数的定义．
【答案】C
【分析】依据反比例函数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知：m2﹣3m+1＝﹣1，整理得 m2﹣3m+2＝0，解得m1＝1，m2＝2．
当m＝1时，m2﹣m＝0，不合题意，应舍去．
∴m的值为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义，依据反比例函数的定义列出关于m的方程是解题的关键．需要注意系数k≠0．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A．125B．32C．2D．3
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，ka），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，ka），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为 k2a，
∴E(2a，k2a)，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，ka），
∴点F（3a，k3a），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴12×(ka−k3a)×2a=2，
解得：k＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为 y=4x ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】y=4x
【分析】设反比例函数的表达式为y=kx，依据反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式为y=4x．
【解答】解：设反比例函数的表达式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），
∴k＝m2＝﹣2m，
解得m1＝﹣2，m2＝0（舍去），
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为y=4x．
故答案为：y=4x．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 2 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．
【解答】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE的中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF的中点，
∴S△OAB=38S矩形OECF＝6，
∴S矩形OECF＝16，
∴S△ABC=18×16＝2．
故答案为：2．
2
【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
13．如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为 3 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】应用题；数形结合．
【答案】3
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=|k|2，S△OAD=|k|2，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则k2+k2+9＝4k，
解得：k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
14．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=kx的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为 4 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【答案】4
【分析】先设y=kx再根据k的几何意义求出k值即可．
【解答】解：设C的坐标为（m，n），又A（﹣2，﹣2），
∴AN＝MD＝2，AF＝2，CE＝OM＝FD＝m，CM＝n，
∴AD＝AF+FD＝2+m，AB＝BN+NA＝2+n，
∵∠A＝∠OMD＝90°，∠MOD＝∠ODF，
∴△OMD∽△DAB，
∴MDAB=OMDA，即2n+2=m2+m，
整理得：4+2m＝2m+mn，即mn＝4，
则k＝4．
故答案为4．
【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
15．如图，点A是反比例函数y=2x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=−3x的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为 5 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【答案】5
【分析】设点A的纵坐标为b，根据反比例函数的解析式求出点A、B的横坐标，然后求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：设点A的纵坐标为b，
所以，2x=b，
解得xA=2b，
∵AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为−3x=b，
解得xB=−3b，
∴AB=2b−（−3b）=5b，
∴S▱ABCD=5b•b＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A的纵坐标表示出AB的长度是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=12x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A（a，﹣2）代入y=12x，可得A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y=kx，可得反比例函数的表达式为y=8x，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，8m），则C（m，12m），根据△POC的面积为3，可得方程12m×|12m−8m|＝3，求得m的值，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y=12x，可得a＝﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
把A（﹣4，﹣2）代入y=kx，可得k＝8，
∴反比例函数的表达式为y=8x，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，
设P（m，8m），则C（m，12m），
∵△POC的面积为3，
∴12m×|12m−8m|＝3，
解得m＝27或2，
∴P（27，477）或（2，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
17．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论；
（2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CF，即可得出结论；
（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA＝3，OB＝4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4，32），
∵F在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4×32=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
∵E点的纵坐标为3，
∴E（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，
∴F（4，k4），
∴CF＝BC﹣BF＝3−k4=12−k4
∵E的纵坐标为3，
∴E（k3，3），
∴CE＝AC﹣AE＝4−k3=12−k3，
在Rt△CEF中，tan∠EFC=CECF=43，
（3）如图，由（2）知，CF=12−k4，CE=12−k3，CECF=43，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH+∠HEG＝90°，
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH+∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∵∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴EHBG=EGFG=CECF，
∴3BG=43，
∴BG=94，
在Rt△FBG中，FG2﹣BF2＝BG2，
∴（12−k4）2﹣（k4）2=8116，
∴k=218，
∴反比例函数解析式为y=218x．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】函数的综合应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y=n−3x，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y=−2x．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得：y=−2xy=−2x，
解得：x1=−1y1=2，x2=1y2=−2，
∴点A的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO=AE2+OE2=5．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE=AEAO=25=255．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，n的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．
19．已知：一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y=kx（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若BCBD=52，求△ABC的面积．
【考点】反比例函数综合题；相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE＝5，OH＝4，AH＝2，HE＝1．易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP＝90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得CTBS=CDBD=32．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，即可得到ab=32，即b=23a．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），把b=23a代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA＝OC可得S△ABC＝2S△COB，问题得以解决．
【解答】解：（1）把A（4，2）代入y=kx，得k＝4×2＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
解方程组y=−2x+10y=8x，得
x=1y=8或x=4y=2，
∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP＝90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，
对于y＝﹣2x+10，
当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，
∴点E（5，0），OE＝5．
∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，
∴HE＝5﹣4＝1．
∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．
又∵∠BAP＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，
∴∠MAH＝∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴AHEH=MHAH，
∴21=MH2，
∴MH＝4，
∴M（0，0），
可设直线AP的解析式为y＝mx
则有4m＝2，解得m=12，
∴直线AP的解析式为y=12x，
解方程组y=12xy=8x，得
x=4y=2或x=−4y=−2，
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP＝90°，
同理可得：点P的坐标为（﹣16，−12）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，−12）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，
则有BS∥CT，
∴△CTD∽△BSD，
∴CDBD=CTBS．
∵BCBD=52，
∴CTBS=CDBD=32．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），
∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，
∴ab=32，即b=23a．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y=kx的图象上，
∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），
∴a（﹣2a+10）=23a（﹣2×23a+10）．
∵a≠0，
∴﹣2a+10=23（﹣2×23a+10），
解得：a＝3．
∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为y＝px+q，
则有2p+q=6−3p+q=−4，
解得：p=2q=2，
∴直线BC的解析式为y＝2x+2．
当x＝0时，y＝2，则点D（0，2），OD＝2，
∴S△COB＝S△ODC+S△ODB
=12OD•CT+12OD•BS
=12×2×3+12×2×2＝5．
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△COB，
∴S△ABC＝2S△COB＝10．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点、三角形的中线平分三角形的面积、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，在解决问题的过程中，用到了分类讨论、数形结合、割补法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．
20．在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】数形结合；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A（4，1）代入y=kx中可得k的值；
（2）直线OA的解析式为：y=14x，可知直线l与OA平行，
①将b＝﹣1时代入可得：直线解析式为y=14x﹣1，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．
【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=kx得k＝4×1＝4；
（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y=14x﹣1，
解方程4x=14x﹣1得x1＝2﹣25（舍去），x2＝2+25，则B（2+25，5−12），
而C（0，﹣1），
如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；
②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=14x+b过（1，﹣1）时，b=−54，
且经过（5，0），
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是−54≤b＜﹣1．
如图3，直线l在OA的上方时，
∵点（2，2）在函数y=kx（x＞0）的图象G，
当直线l：y=14x+b过（1，2）时，b=74，
当直线l：y=14x+b过（1，3）时，b=114，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是74＜b≤114．
综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是−54≤b＜﹣1或74＜b≤114．
【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．