中考数学二轮复习：二次函数练习题（含答案） (2)

这是一份中考数学二轮复习：二次函数练习题（含答案） (2)，共7页。试卷主要包含了已知二次函数y＝，描述中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．关于抛物线y＝x2﹣6x+7，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．与x轴的交点坐标是（0，7）
D．顶点坐标是（3，﹣2）
2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2时，y＜0
3．如图，抛物线y=a1x2与抛物线y=a2x2+bx交于点A（3，m），过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是AC的中点，则a2a1=（ ）
A．13B．3C．19D．9
4．在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（ ）
A．8＜s＜9B．9＜s＜10C．10＜s＜11D．11＜s＜12
5．已知二次函数y＝（a2+1）x2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且x1＜x2．若点A（m，n）在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当n＜0时，m＜0B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＞0时，m＜x1D．当n＜0时，x1＜m＜x2
6．如图，已知抛物线y1=−x2+1，直线y2＝﹣x+1，下列判断中：
①当x＜0或x＞1时，y1＜y2；
②当x＝﹣2或x＝3时，y2﹣y1＝6；
③当x＞12时y1﹣y2随x的增大而增大；
④使|y1−y2|=13的x的值有3个．
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管OA，并在水管顶端A处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−34(x−1)2+3，有下列结论：
①水柱落地处距池中心O的距离为3m；
②水管OA的长度为2.25m；
③水柱到达最高点时的高度为3m．
其中，正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，动点P从点A出发沿AB边匀速运动，到达点B时停止运动．过点P作PF∥AD，交DE于点F．设AP＝x，△DPF的面积为y1，△DEP的面积为y2，则y1与x，y2与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数B．均为二次函数
C．一次函数，二次函数D．二次函数，一次函数
9．我们称函数y′=y(x≤m)−y(x＞m)为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y＝x+4的3分函数为y′=x+4(x≤3)−x−4(x＞3)．
若y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣4关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中：
①当m≥1时，y′的最小值为﹣5；
②当m＝1时，若点P（a，b）（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q（2﹣a，﹣b）也在函数y′的图象上；
③当m＝﹣1时，若x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是﹣1，则x2﹣x1的最大值为6+10．描述中正确的是（ ）
A．②B．①②C．①③D．②③
10．如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ）
A．ABCB．ABDC．ACDD．BCD
二．填空题（共5小题）
11．已知二次函数y=−12x2+x−1，当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是 ．
12．已知实数a，b，c满足（a﹣b）2＝ab＝c，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下：
甲：a，b，c中至少有一个是无理数；
乙：当c＝5时，a+b＝﹣5；
丙：当a，b，c中有两个数相等时，c＝0；
丁：二次函数y＝x2+bx﹣c与一次函数y＝ax+1的图象有两个交点；
以上结论中，正确的是 ．
13．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为 ．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1），有以下结论；①abc＞0：②4a+2b+c＝1；③x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b．其中结论正确的是 （填序号）．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为 ．
三．解答题（共5小题）
16．综合与实践
【背景材料】
南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台．
【问题提出】
如图1，观赛台的高AB＝3m，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为30°．
如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线EF后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线EF的距离为2m．
（1）如图1，求河道的宽BD；
（2）如图2，已知一艘龙舟的船头在点P（﹣6，6）处以15km/h的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线EF上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且QF＝2m，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式；
（3）赛事安全警示：船头到河岸MN的安全距离不得小于1m．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为13km/h时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为y=18x2+45，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由．
17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点D（m，q）（0＜m＜3）是该抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值；
（3）若函数y＝x2+bx+c（n﹣1≤x≤n+1）的最大值与最小值的差为12，求出n的值．
18．我们规定：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）若其图象上的点P（x，y）满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点P为该二次函数的“和谐点”．
已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，请结合“和谐点”的定义解决下列问题：
（1）求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴；
（2）求该二次函数的所有“和谐点”的坐标；
（3）已知二次函数y＝x2﹣2x+k（k为常数）不存在“和谐点”，求k的取值范围．
19．如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥．
（1）求中间大拱抛物线的解析式；
（2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点M，N拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求铁丝MN的长（两边接头忽略不计）；
（3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C，D．请直接写出CD的长．
20．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）通过计算说明NP与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度DE．
2026年中考数学二轮复习：二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．关于抛物线y＝x2﹣6x+7，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．与x轴的交点坐标是（0，7）
D．顶点坐标是（3，﹣2）
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】需根据二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点坐标的判定方法逐一分析选项．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+7，其中a＝1，b＝﹣6，c＝7，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意．
∵对称轴为直线x=−b2a=−−62×1=3，
∴选项B错误，不符合题意．
∵当x＝0时，y＝7，即抛物线与y轴交点为（0，7），而与x轴交点需满足y＝0，故选项C错误，不符合题意．
∵将解析式配方得y＝（x﹣3）2﹣2，
∴顶点坐标为（3，﹣2），故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，正确进行计算是解题关键．
2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2时，y＜0
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可．
【解答】解：由题意可得，
∵方程mx2﹣2mx+m﹣3＝0的两根异号，
∴x1x2＝ m−3m＜0，
解得0＜m＜3，
∴二次项系数m＞0，开口向上，故A不符合题意；
∵y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）的对称轴为直线x=−−2m2m=1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当x＝1时，y＝﹣3，
∴最小值为﹣3，故C不符合题意；
当x＝2时，y＝4m﹣4m+m﹣3＝m﹣3，
∵0＜m＜3，
∴此时y＜0，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键．
3．如图，抛物线y=a1x2与抛物线y=a2x2+bx交于点A（3，m），过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是AC的中点，则a2a1=（ ）
A．13B．3C．19D．9
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】先推导出B（﹣3，m），C(−ba2−3，m)，得到AB=6，BC=−3−(−ba2−3)=ba2，进而推导出b＝6a2，将A（3，m），代入y=a1x2，y=a2x2+bx，可得到9a1＝9a2+3b，则9a1＝9a2+3×6a2，即可解答．
【解答】解：抛物线y=a1x2的对称轴为x＝0，抛物线y=a2x2+bx的对称轴为x=−b2a2，
由条件可知由抛物线的对称性可知B（﹣3，m），C(−b2a2−[3−(−b2a2)]，m)，
即C(−ba2−3，m)，
∴AB=6，BC=−3−(−ba2−3)=ba2，
由条件可知6=ba2，即：b＝6a2，
将A（3，m），代入y=a1x2，y=a2x2+bx得：
m＝9a1，m＝9a2+3b，
则9a1＝9a2+3b，
∴9a1＝9a2+3×6a2，
∴9a1＝27a2，
∴a2a1=13．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
4．在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（ ）
A．8＜s＜9B．9＜s＜10C．10＜s＜11D．11＜s＜12
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】依据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，又抛物线过点（0，1.8），从而16a+3.4＝1.8，进而求出解析式，再令抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4，令y＝0，，即可求出s＝4+34，最后得出s的范围就可判断得解．
【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4．
又抛物线过点（0，1.8），
∴16a+3.4＝1.8．
∴a＝﹣0.1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4．
令y＝0，
∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4．
∴x＝4±34．
显然s＞0，
∴s＝4+34．
∵5＜34＜6，
∴9＜s＝4+34＜10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
5．已知二次函数y＝（a2+1）x2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且x1＜x2．若点A（m，n）在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当n＜0时，m＜0B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＞0时，m＜x1D．当n＜0时，x1＜m＜x2
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性．
【解答】解：由条件可知a2+1＞0，即该二次函数抛物线开口向上，
∵抛物线与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，
当y＜0时，x1＜x＜x2；当y＞0时，x＜x1或x＞x2，
∵点A（m，n）在抛物线上，即y＝n，
∴当n＜0时，x1＜m＜x2，
当n＞0时，m＜x1或m＞x2．
对于选项A：当n＜0时，x1＜m＜x2，而m＜0不一定成立，故该选项错误，不符合题意；
对于选项B：当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故该选项错误，不符合题意；
对于选项C：当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故该选项错误，不符合题意；
对于选项D：当n＜0时，x1＜m＜x2，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
6．如图，已知抛物线y1=−x2+1，直线y2＝﹣x+1，下列判断中：
①当x＜0或x＞1时，y1＜y2；
②当x＝﹣2或x＝3时，y2﹣y1＝6；
③当x＞12时y1﹣y2随x的增大而增大；
④使|y1−y2|=13的x的值有3个．
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意，可得y1=−x2+1y2=−x+1，从而求出y1=−x2+1和y2＝﹣x+1两图象的交点为（0，1），（1，0），又y1＜y2时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围，故可判断①；又y2﹣y1＝﹣x+1﹣（﹣x2+1）＝x2﹣x＝6，求出x后，故可判断②；又y1﹣y2＝﹣x2+x＝﹣（x−12）2+14，结合y1﹣y2对应抛物线开口向下，则当x＞12时，y随x的增大而减小，故可判断③；又|y1﹣y2|=13，则x2﹣x=13或x2﹣x=−13，再结合对于x2﹣x−13=0的Δ＞0，此时方程有两个不等的实数根；而对于x2﹣x+13=0的Δ＝1−43=−13＜0，此时方程没有实数根，故可判断④．
【解答】解：由题意，可得y1=−x2+1y2=−x+1，
∴x=0y=1或x=1y=0．
∴y1=−x2+1和y2＝﹣x+1两图象的交点为（0，1），（1，0）．
∴y1＜y2时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围．
∴当x＜0或x＞1时，y1＜y2，故①正确．
又y2﹣y1＝﹣x+1﹣（﹣x2+1）＝x2﹣x＝6，
∴x＝3或x＝﹣2．
∴当x＝﹣2或x＝3时，y2﹣y1＝6，故②正确．
∵y1﹣y2＝﹣（x2﹣x）＝﹣（x−12）2+14，
又y1﹣y2对应抛物线开口向下，
∴当x＞12时，y随x的增大而减小，故③错误．
∵|y1﹣y2|=13，
∴x2﹣x=13或x2﹣x=−13．
∴对于x2﹣x−13=0的Δ＞0，此时方程有两个不等的实数根；而对于x2﹣x+13=0的Δ＝1−43=−13＜0，此时方程没有实数根．
∴|y2﹣y1|=13的x有2个，故④错误．
综上，正确的有①②共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
7．要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管OA，并在水管顶端A处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−34(x−1)2+3，有下列结论：
①水柱落地处距池中心O的距离为3m；
②水管OA的长度为2.25m；
③水柱到达最高点时的高度为3m．
其中，正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用二次函数顶点式的性质，分别计算三个结论判断正误，落地对应y＝0，OA长度对应x＝0时y的值，最高点高度是抛物线顶点的纵坐标．
【解答】解：∵水柱落地时高度y＝0，代入得0=−34(x−1)2+3，
解得 x1＝3，x2＝﹣1（距离为正，舍去负根）
∴水柱落地处距O点距离为3m，
∴①正确；
∵O是池中心，OA长度对应 x＝0，
代入得y=−34×(0−1)2+3=−34+3=2.25，
∴OA长度为2.25m，
∴②正确；
∵a=−34＜0，抛物线开口向下，顶点为（1，3），
∴水柱最高点高度为3m，
∴③正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，动点P从点A出发沿AB边匀速运动，到达点B时停止运动．过点P作PF∥AD，交DE于点F．设AP＝x，△DPF的面积为y1，△DEP的面积为y2，则y1与x，y2与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数B．均为二次函数
C．一次函数，二次函数D．二次函数，一次函数
【考点】二次函数的定义；一次函数的定义．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意，分别表示出△DPF的面积和△DEP的面积，结合一次函数和二次函数的概念，即可得到结果．
【解答】解：如图，延长FP，交DC于点H，设正方形的边长为2a，
∵FD∥CB，
∴△DHF∽△DCE，
∴DHDC=FHCE，
∴x2a=FHa，
∴HF=x2，
∵FP＝PH﹣FH＝2a−x2=4a−x2，
∴S△DPF=12PF•DH
=12⋅4a−x2⋅x，
=−x2+4ax4
=−14x2+ax，
∴y1为x的二次函数，
∵S△DEP=12PF•DC
=12⋅4a−x2⋅2a
=4a2−ax2
=−a2x+2a2，
y2是x的一次函数，
综上，y1为x的二次函数，y2是x的一次函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的定义及一次函数的定义，熟练得到y1，y2关于x的表达式是解题的关键．
9．我们称函数y′=y(x≤m)−y(x＞m)为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y＝x+4的3分函数为y′=x+4(x≤3)−x−4(x＞3)．
若y′是二次函数y＝x2﹣2x﹣4关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中：
①当m≥1时，y′的最小值为﹣5；
②当m＝1时，若点P（a，b）（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q（2﹣a，﹣b）也在函数y′的图象上；
③当m＝﹣1时，若x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是﹣1，则x2﹣x1的最大值为6+10．描述中正确的是（ ）
A．②B．①②C．①③D．②③
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【专题】数形结合；分类讨论；应用意识；创新意识．
【答案】D
【分析】判断出y′的函数，画出相关图形，结合二次函数的性质判断所给结论是否正确即可．
【解答】解：由题意得：y′=x2−2x−4(x≤m)−x2+2x+4(x＞m)，
当抛物线的开口向上，y′＝x2﹣2x﹣4＝（x2﹣2x+1）﹣5＝（x﹣1）2﹣5，有最小值﹣5，
当抛物线的开口向下，y′有最大值，无最小值．
故①错误；
当m＝1时，函数y′的图象如图1：
∵x＝a和x＝2﹣a关于x＝1对称，
∴若点P（a，b）（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q（2﹣a，﹣b）也在函数y′的图象上．
故②正确；
当m＝﹣1时，函数y′的图象如图2：
∵x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是﹣1，求x2﹣x1的最大值，
∴x1在y＝x2﹣2x﹣4上，且此时y＝5，
x2﹣2x﹣4＝5，
x2﹣2x+1＝10，
（x﹣1）2＝10，
∴x＝1+10（不合题意，舍去）或x＝1−10，
x2在y＝﹣x2+2x+4上，且此时y＝﹣1，
﹣x2+2x+4＝﹣1，
x2﹣2x＝5，
解得：x＝1+6或x＝﹣1−6（不合题意，舍去），
∴x2﹣x1的最大值为1+6−（1−10）=6+10．
故③正确，
故选：D．
【点评】本题综合二次函数的相关性质．理解并应用新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．
10．如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ）
A．ABCB．ABDC．ACDD．BCD
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，只有经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大．
【解答】解：∵A、B、C的纵坐标相同，
∴抛物线不会同时经过A、B、C三点，分三种情况讨论，如图所示：
抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，
经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大，
，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识，数形结合是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．已知二次函数y=−12x2+x−1，当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是 y≤−12 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y≤−12．
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的性质解答即可．
【解答】解：由题知，
因为y=−12x2+x−1=−12(x−1)2−12，
所以抛物线的顶点坐标为(1，−12)且开口向下．
所以当x≤1时，函数值y随x的增大而增大，
故此时y的取值范围是y≤−12．
故答案为：y≤−12．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
12．已知实数a，b，c满足（a﹣b）2＝ab＝c，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下：
甲：a，b，c中至少有一个是无理数；
乙：当c＝5时，a+b＝﹣5；
丙：当a，b，c中有两个数相等时，c＝0；
丁：二次函数y＝x2+bx﹣c与一次函数y＝ax+1的图象有两个交点；
以上结论中，正确的是 丁 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；无理数；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】丁．
【分析】根据所给出的条件（a﹣b）2＝ab＝c，逐一分析四个结论的是否正确．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝ab＝c，∴得出c≥0，a2﹣3ab+b2＝0，
当b≠0时，设t=ab，得到t2﹣3t+1＝0，解得t=3±52，
∴a，b中至少有一个是无理数，
但是a＝b＝c＝0，时（a﹣b）2＝ab＝c成立，故甲的说法不对；
当c＝5时，ab＝5，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25，∴a+b＝±5，故乙的说法不对；
若c＝0，则必须a，b，c同时等于0，而不是a，b，c中有两个数相等，故丙的说法不对；
由x2+bx﹣c＝ax+1，得到x2+（b﹣a）x﹣c﹣1＝0，
∴Δ＝（b﹣a）2+4（c+1）＝（a﹣b）2+4（c+1）＝c+4c+1＝5c+4＞0，
∴二次函数y＝x2+bx﹣c与一次函数y＝ax+1的图象有两个交点，
故丁的说法对．
【点评】本题考查了等式变形，平方的非负性，分类讨论思想，函数交点问题，运用根的判别式判断抛物线与直线交点个数是解题的关键．
13．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为 （0，﹣16） ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（0，﹣16）．
【分析】求抛物线与y轴的交点坐标，需令x＝0，代入函数解析式计算y的值．
【解答】解：当x＝0，y＝﹣（0﹣3）2﹣7＝﹣9﹣7＝﹣16，
故抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣7与y轴交点坐标为（0，﹣16）．
故答案为：（0，﹣16）．
【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1），有以下结论；①abc＞0：②4a+2b+c＝1；③x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b．其中结论正确的是 ②③④ （填序号）．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】②③④．
【分析】依据题意，由图象顶点为P（1，m），从而可得对称轴是直线x=−b2a=1，再结合抛物线的开口向下，及图象与坐标轴的交点，且经过点A（2，1）然后逐个进行判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，且抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
又∵图象顶点为P（1，m），
∴对称轴是直线x=−b2a=1．
∴b＝﹣2a＞0．
∴abc＜0，故①错误．
∵抛物线过点A（2，1），
∴4a+2b+c＝1，故②正确．
∵抛物线开口向下，对称轴直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故③正确．
∵∵抛物线开口向下，对称轴直线x＝1，
∴当x＝1时，y取最大值为a+b+c．
∴对于任意实数t，当x＝t时，y＝at2+bt+c≤a+b+c．
∴at2+bt≤a+b，故④正确．
∴正确的有②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为x＝4或x＝0 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】x＝4或x＝0．
【分析】由表格中的数据知，当x＝3时，y＝﹣5．所以由题意知：当x﹣1＝3时，y＝﹣5．
【解答】解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x=−3+52=1，
根据题意知，一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为x＝3或x＝﹣1．
所以x﹣1＝3或x﹣1＝﹣1．
解得x＝4或x＝0．
所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为：x＝4或x＝0．
故答案为：x＝4或x＝0．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的技巧性在于得到x﹣1＝3或x﹣1＝﹣1．
三．解答题（共5小题）
16．综合与实践
【背景材料】
南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台．
【问题提出】
如图1，观赛台的高AB＝3m，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为30°．
如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线EF后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线EF的距离为2m．
（1）如图1，求河道的宽BD；
（2）如图2，已知一艘龙舟的船头在点P（﹣6，6）处以15km/h的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线EF上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且QF＝2m，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式；
（3）赛事安全警示：船头到河岸MN的安全距离不得小于1m．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为13km/h时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为y=18x2+45，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由．
【考点】二次函数的应用；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】（1）BD=33；
（2）y=14(x+2)2+2；
（3）这艘龙舟在本次漂移过程中符合安全警示．理由如下：
把x＝﹣2代入y=18x2+45得：y＝1.3＞1，
∴这艘龙舟在本次漂移过程中符合安全警示．
【分析】（1）解Rt△ADB即可得解；
（2）设顶点式，将顶点Q（﹣2，2），P（﹣6，6）代入即可得解；
（3）依据题意，将x＝﹣1代入得y值，进而判断即可．
【解答】解：（1）依题意得：∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，tan30°=ABBD，即3BD=33，
∴BD=33；
（2）设龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的解析式为：y＝a（x+h）2+k，
把顶点Q（﹣2，2），P（﹣6，6）代入得：a（﹣6+2）2+2＝6，
解得：a=14，
∴龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的解析式为：y=14(x+2)2+2；
（3）这艘龙舟在本次漂移过程中符合安全警示．理由如下：
把x＝﹣2代入y=18x2+45得：y＝1.3＞1，
∴这艘龙舟在本次漂移过程中符合安全警示．
【点评】本题主要考查了二次函数实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点D（m，q）（0＜m＜3）是该抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值；
（3）若函数y＝x2+bx+c（n﹣1≤x≤n+1）的最大值与最小值的差为12，求出n的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）△BCD面积的最大值为278；
（3）n的值为﹣1或5．
【分析】（1）将点B、C坐标代入即可得解；
（2）先求出直线BC解析式，进而过D作DE∥y轴交BC于点E，可得点D、E坐标，用参数表示出DE的长度，再利用铅锤法表示出面积，利用二次函数最值即可得解；
（3）根据自变量的范围与对称轴位置关系，分类讨论，数形结合求解即可．
【解答】解：（1）将B（3，0）和C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c得，
9+3b+c=0c=3，
解得b=−4c=3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）过D作DE∥y轴交BC于点E，
设直线BC解析式为y＝kx+a，将点B、C坐标代入得，
a=33k+a=0，
解得k=−1a=3，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∵D（m，q），且点D在抛物线上，
∴q＝m2﹣4m+3，E（m，﹣m+3）
∵0＜m＜3，
∴DE＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m，
∴S△BCD=12DE•OB=12（﹣m2+3m）×3=−32（m−32）2+278，
当m=32时，则S△BCD=278，
故△BCD面积的最大值为278；
（3）对于y＝x2﹣4x+3，对称轴为直线x＝2，
①当n+1≤2，即n≤1时，此时范围如图，
当x＝n+1时，y最小值＝（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n，
当x＝n﹣1时，y最大值＝（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+3＝n2﹣6n+8，
∵最大值与最小值的差为12，
∴n2﹣6n+8﹣（n2﹣2n）＝12，
解得n＝﹣1，符合题意；
当n﹣1≥2，即n≥3时，范围如图，
当x＝n+1时，y最大值＝n2﹣2n，
当x＝n﹣1时，y最小值＝n2﹣6n+8，
∵最大值与最小值的差为12，
∴n2﹣2n﹣（n2﹣6n+8）＝12，
解得n＝5，符合题意；
当n﹣1和n+1位于对称轴两侧时，且n+1﹣2≥2﹣（n﹣1），即2≤n＜3时，如图，
当x＝n+1时，y最大值＝n2﹣2n，
当x＝2时，y最小值＝﹣1，
∵最大值与最小值的差为12，
∴n2﹣2n+1＝12，
解得n＝23+1（大于3，舍去）或n＝﹣23+1（小于2，舍去）；
当n﹣1和n+1位于对称轴两侧时，且n+1﹣2＜2﹣（n﹣1），即1≤n＜2时，如图，
当x＝n﹣1时，y最大值＝n2﹣6n+8，
当x＝2时，y最小值＝﹣1，
∵最大值与最小值的差为12，
∴n2﹣6n+8+1＝12，
解得n＝23+3（大于3，舍去）或n＝﹣23+3（小于1，舍去）；
综上，n的值为﹣1或5．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式、坐标与图形性质、二次函数最值问题、二次函数的图象与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．我们规定：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）若其图象上的点P（x，y）满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点P为该二次函数的“和谐点”．
已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，请结合“和谐点”的定义解决下列问题：
（1）求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴；
（2）求该二次函数的所有“和谐点”的坐标；
（3）已知二次函数y＝x2﹣2x+k（k为常数）不存在“和谐点”，求k的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）顶点坐标（1，﹣4），其对称轴为直线x＝1；
（2）(1+212，3−212)或(1−212，3+212)；
（3）k＞94．
【分析】（1）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）由“和谐点”定义可得x+y＝2，则x+x2﹣2x﹣3＝2，解方程计算即可；
（3）由“和谐点”定义可得x+y＝2，则x+x2﹣2x+k＝2，根据二次函数y＝x2﹣2x+k（k为常数）不存在“和谐点”，则方程x2﹣x+k﹣2＝0无解，得到Δ＝（﹣1）2﹣4（k﹣2）＜0，解不等式即可．
【解答】解：（1）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）若其图象上的点P（x，y）满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点P为该二次函数的“和谐点”．则：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标（1，﹣4），其对称轴为直线x＝1；
（2）由“和谐点”定义可得x+y＝2，
∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴x+x2﹣2x﹣3＝2，
解得x=1±212，
∴x=1+212y=3−212或x=1−212y=3+212，
∴所有“和谐点”的坐标为(1+212，3−212)或(1−212，3+212)；
（3）由“和谐点”定义可得x+y＝2，
∵y＝x2﹣2x+k，
∴x+x2﹣2x+k＝2，
整理得x2﹣x+k﹣2＝0，
∵二次函数y＝x2﹣2x+k（k为常数）不存在“和谐点”，
∴方程x2﹣x+k﹣2＝0无解，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（k﹣2）＜0，
解得k＞94．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
19．如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥．
（1）求中间大拱抛物线的解析式；
（2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点M，N拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求铁丝MN的长（两边接头忽略不计）；
（3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C，D．请直接写出CD的长．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；几何直观；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y=−169x2+16；
（2）33米；
（3）24米．
【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（0，16），设抛物线解析式为y＝ax2+16，由题意得点F的坐标为（3，0），代入抛物线解析式求得a的值，即可求得解析式；
（2）求出当中间大拱抛物线的解析式的值为4时对应的自变量值，即可求得MN的长；
（3）求出大拱在函数值为12时的两点坐标，可得一个小拱的底部宽，即可求得结果．
【解答】解：（1）如图，
由题意得抛物线的顶点坐标为（0，16），
设抛物线解析式为y＝ax2+16，
∵EF＝6米，
∴点F的坐标为（3，0），此点代入抛物线解析式中得32a+16＝0，
解得a=−169，
∴中间大拱抛物线的解析式为y=−169x2+16；
（2）由题意得−169x2+16=4，
解得x=±332，
∴MN=332−(−332)=33（米），
答：铁丝MN的长为33米；
（3）如图，在大拱上找对称的两点G、H，且其纵坐标为12，
则−169x2+16=12，
解得x=±32，
∴G(−32，12)，H(32，12)，
∴GH=32−(−32)=3，
∵大拱顶点到GH的距离为4，且大拱、小拱的形状相同，
∴每个小拱底部宽为3米，
∴CD＝6×3+6＝24（米），
答：CD的长为24米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出二次函数解析式是关键．
20．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）通过计算说明NP与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度DE．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y=−29(x+32)2+12；
（2）NP与舞台平面l之间的距离符合要求，1718m．
【分析】（1）由关于原点中心对称的点的坐标特征，可得抛物线L1的顶点坐标，根据待定系数法即可得抛物线L1的函数表达式；
（2）由题意可得NP与舞台平面l之间的距离，当x＝﹣1时，y=49，可得DG，结合已知即可得绳索的长度DE．
【解答】解：（1）由题意可得：抛物线L1的顶点坐标为(−32，12)，
设抛物线L1的函数表达式为y=a(x+32)2+12（a≠0），
把点O（0，0）代入y=a(x+32)2+12，
解得a=−29，
∴抛物线L1的函数表达式为y=−29(x+32)2+12．
（2）由题意可得NP与舞台平面l之间的距离为92−12−32=52＞2，
当x＝﹣1时，y=−29×(−1+32)2+12=49，
∴DG=49m，
由题可得GE的长度为12m，
∴DE=DG+GE=1718m，
∴NP与舞台平面l之间的距离符合要求，绳索的长度DE为1718m．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
调研主题
装饰舞台——安装电子屏幕
模型抽象
顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线L1与抛物线L2关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C．
安装方式
矩形电子屏幕MNPQ如图②所示悬挂，右端固定在抛物线L2的顶点F处，左端从抛物线L1上的点D处拉一条绳索DE固定，DE∥y轴，交x轴于点G，点E、F在边MQ上，边MQ与NP平行于x轴．
任务目标
1．为保证表演者的安全，NP与舞台平面l之间的距离要不小于2米；
2．DE与y轴之间的距离为1m，需要的绳索长度DE是多少？（打结处忽略不计）
数据采集
顶点F的坐标为(32，−12)，MN=32m，OC=92m．
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
调研主题
装饰舞台——安装电子屏幕
模型抽象
顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线L1与抛物线L2关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C．
安装方式
矩形电子屏幕MNPQ如图②所示悬挂，右端固定在抛物线L2的顶点F处，左端从抛物线L1上的点D处拉一条绳索DE固定，DE∥y轴，交x轴于点G，点E、F在边MQ上，边MQ与NP平行于x轴．
任务目标
1．为保证表演者的安全，NP与舞台平面l之间的距离要不小于2米；
2．DE与y轴之间的距离为1m，需要的绳索长度DE是多少？（打结处忽略不计）
数据采集
顶点F的坐标为(32，−12)，MN=32m，OC=92m．