中考数学二轮专题训练正方形折叠问题专题练习

这是一份中考数学二轮专题训练正方形折叠问题专题练习，共7页。试卷主要包含了问题情境，综合实践，综合与实践等内容，欢迎下载使用。

动手实践：
（1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明．
（2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积．
深度探究：
（3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．
探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
探究②直接写出四边形面积的最小值．
2．综合实践：在一节综合实践课上，数学老师要求同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，点M是边的中点，点P、Q是边上的两个动点，连接、，将折叠，使点A落在线段上的点处，是折痕，将折叠，使点B落在线段上的点．处，是折痕．
(1)如图1，当点P与点Q重合时．
①线段与线段的位置关系是： ；
②请说明：；
(2)如图2，当点P在点Q的左侧时，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数为 ．（用含α的代数式表示）
3．（1）如图1，在正方形纸片的边上有一点，将正方形纸片沿折叠，使点A落在点处，再将正方形沿折叠，得到折痕，把纸片展平，则线段有什么数量关系？判断并说明理由．
（2）如图2，在正方形纸片中，是的中点，将纸片沿折叠，使点A落在点处，连接．
①判断与折痕的位置关系，并说明理由；
②若，求出的长．
4．（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则 度；
（）如图，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点．当点恰好落在折痕上，
则① 度；
②若，求线段的长；
（）如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将矩形沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，则 （用含、的代数式表示结果）．
5．在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动．如图1，对矩形纸片进行如下操作：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．
(1)连接，则的形状是_______三角形．
(2)将矩形纸片换成正方形纸片，先进行操作一，然后在上任选一点M（点M不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接N，，并延长交于点Q，连接．
①如图2，若点N恰好在上，请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由．
②如图3，若点N落在下方，正方形纸片的边长为8，当时，求的长．
6．综合与实践
（1）【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，求的正切值；
（2）【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点，若，求线段的长；
（3）【迁移应用】如图3，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，点恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，请求出线段的长．

7．小华用一张正方形卡纸制作立体贺卡．他在边上选取一点E，将左上角的沿线向上折叠，使点D落在卡纸内部点F处．为了固定造型，他用铅笔过点F画一条与平行的辅助线，分别交，于M，N两点．
【问题探究】
（1）如图①，折叠后，卡纸上形成和．求证：；
【问题解决】
（2）小华用刻度尺测得时，发现辅助线的两段满足，求这张卡纸的周长；
【实际应用】
（3）小华需要裁剪装饰部分，如图②，他先沿折叠得到折痕，再沿折痕剪开，交边于点P，再沿剪裁交辅助线于点Q．在多次裁剪后，他有以下两个猜想：
①当满足时，点P是边的中点；
②当时，．
请你选择其中一个猜想加以判断，并请说明理由．
8．在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动．
(1)如图①，连接对角线AC，沿着DE折叠，使得点A落在对角线上，点A的对应点记为，与的交点记为O．求证：；
(2)如图②，将长方形纸片对折，使得边与重合，边与重合，折痕与交点为G．展开后再沿直线EF折叠，使得点A落在对折线的交点处，点A的对应点记为，连接，
①若该纸片长，宽，求折痕的长度；
②若，求证：该纸片为正方形纸片．
9．在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕；
(1)操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕、与的交点分别为、．根据以上操作，得___________
【探究证明】
(2)如图⑤，连接，证明：；
(3)如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交、、于点、、．求证：．
10．综合与实践
【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法．
【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处；
③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上；
④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成．
【探究】
(1)求图3中的度数；
(2)求图4中的度数．
11．折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
12．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
(1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______；
【深入探究】
(2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系；
【拓展应用】
(3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离．
参考答案
1．（1）正方形，证明见解析；（2）；（3）①不变，定值是12；②
【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论；
（2）连接，由折叠的性质可得是等边三角形，，求出，由三角形面积公式可求出；
（3）①连接，，过点B作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；②过点H作，连接，设，，由勾股定理求出，由四边形面积公式可得出，由配方法可求出答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折叠可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）连接，

由折叠得，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
设则，
由勾股定理得，
∴
解得，（负值舍去）
∴
由折叠得，,
∴；
（3）①的周长不变，为定值12．理由如下：
如图，连接，，过点A作于点M，

由折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的周长，
∴的周长为12．
②过点H作，连接，设，，

在中，，
解得，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，四边形是正方形，
∴,
∴，
∴当时，S有最小值为．
【点睛】本题考查四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，配方法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．(1)①；②见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了正方形的性质，补角，折叠的性质，两个角的和与差，分类思想．
（1）① 根据折叠的性质，得，，结合，化简计算即可．
②由①可知，则，由正方形的性质可知，得，再由等角的补角相等即可证明结论；
（2）根据折叠的性质，得，，结合，，计算结合计算即可．
（3）分点P在点Q的左侧和右侧两种情况，类比（2）计算即可．
【详解】（1）① 根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：；
②由①可知，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴．
（3）如图，当点P在点Q的左侧时，
根据折叠的性质，得，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
当点P在点Q的右侧时，
根据折叠的性质，得，，
∵， ，
∴，
∵，
∴．
故得度数为或．
故答案为：或．
3．（1），理由见解析；（2）①，理由见解析；②．
【分析】本题主要考查了解直角三角形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图1，连接，然后正方形的性质和折叠的性质证明即可解答；
（2）①易得，设，则，再根据等腰三角形的性质可得，然后运用平行线的判定定理即可解答；②如图2，过点P作于点H，由折叠的性质可得，再说明，进而得到，由勾股定理可得，最后运用三角函数解直角三角形即可．
【详解】解：（1），理由如下∶
如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
（2）①，理由如下∶
∵是的中点，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图2，过点P作于点H，
由折叠的性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵P是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
4．（1）45；（2）①60；②；③
【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得，，即可求解；
（2）①由折叠的性质和平角的定义可得结论；
②先根据①可得，由直角三角形含的性质可得和的长，可得和的长，由三角函数可得的长；
（3）由折叠的性质可得，，，，由可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可得的长，由此可求解．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，
由折叠得：，，
，
故答案为：；
（2）①如图，由折叠得：，，
，
，
，
故答案为：；
②四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
在中，
（3）解：如图3，延长交于点，过点作于，
将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，
，，，
在和中，
，
（），
，，
，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
解得：，
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键．
5．(1)等边
(2)①，，理由见解析；②
【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质.
（1）由折叠的性质可得得，再次折叠得，等量代换问题可求解；
（2）①根据折叠性质可证即可求解；
②设，分别表示出，，，由勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
，，
再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段，
，
，
，
，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）解：①如图2，，，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由翻折可知，，
，
，
，
，
由翻折可知：，，
；
②如图3，
，，
，，
，
由①知，
设，，，
，
，
解得：，
.
6．（1）1；（2）；（3）或2
【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，即可求解；
（2）证是等腰直角三角形，得，则，求出，由等腰直角三角形的性质得，再证，由证明，由全等三角形的性质得，再证，然后由含角的直角三角形的性质得，，，，由得出方程，求解即可；
（3）分两种情形：当，当，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
，
由折叠的性质得：，
，
即，
，
的正切值为1；
（2）∵四边形是正方形，
，
由折叠的性质得：，
，
由（1）得：，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，
，
解得：，
，
；
（3）如图3中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接，得正方形，

当时，，
，
∴，
∴，
∴，
，
由（1）可知，
设，则，
，
，
．
当时，同法可得．
综上所述，满足条件的的值为或2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键．
7．[问题探究]（1）见解析；[问题解决] （2） ；[实际应用]（3）猜想①、②正确，理由见解析
【分析】[问题探究]（1）根据正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质可证，，结合相似三角形的判定即可求证；
[问题解决] （2）根据题意可证四边形是矩形，可得，由（1）中，，可得，则有，由此可求出，在中，运用勾股定理可得的值，由此得到的值，根据即可求解；
[实际应用]（3）①根据题意可证，可得，，则有，，，，即点是的中点；
②同①，，则，，设，，，则，，，，在中，，进而可得，求得，可得，，再证，求得，，即可求解．
【详解】[问题探究]（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将沿折叠，得到，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
[问题解决] （2）解：根据折叠可得，，，
由（1）得，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
在中，，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
则正方形的周长为；
[实际应用] （3）解：猜想①正确，理由如下：
根据题意，，，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，且，
∴，
∴，即点是的中点；
猜想②正确，理由如下：
同①，，则，，
∵，
∴设，，，则，，，，
在中，，即：，
整理得：，
∵，
∴，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理求线段长等知识的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】利用折叠的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
①设交于点，的中点为点，利用折叠的性质得到边与重合，边与重合，点是长方形对角线的中点，利用勾股定理求得，，利用相似三角形的判定和性质求得，，再利用相似三角形的判定和性质解答即可；
②由折叠的性质和全等三角形的性质证得，得出E与G重合，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是由折叠得到的，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴（三线合一），
即；
（2）①解：∵长方形对折后，边与重合，边与重合，
∴点是长方形对角线的中点，
设交于点，的中点为点，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵展开后再沿直线折叠，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴E与G重合，
同理F与H重合，
∴四边形为正方形，
由折叠知，，
∴，
∴矩形为正方形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键．
9．(1)45
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；
（2）先证明，推出，结合，即可证明；
（3）由翻折得，，由，得到，故，因此，由得，进而推出，得到，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图③，
∵沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；沿折叠，使边与边重合，得到折痕，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：由翻折得：，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．(1)
(2)
【分析】本题主要考查折叠的性质和正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由折叠的性质和正方形的性质得到进而求出，即可求出的度数；
（2）由折叠的性质可知，先求出，进而求出，最后利用邻补角即可求出的度数．
【详解】（1）解：由折叠可知，
，
，
，
；
（2）解：由折叠知，，
，
，
，
，
．
11．(1)作图见解析；
(2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析；
(3)改变；的周长的最小值为；
【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到；
（2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可；
（3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可，
∵，，
∴，
∵，分别是，的角平分线，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
，
∴点G是的中点，
∴点G在边、的垂直平分线上；
（3）解：如图，作的角平分线交于E，连接，
∵是折痕，
∴且垂直平分，
∴，
∵为定值即，
∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长，
故的最小值为，
此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图：
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
12．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得，，从而推出，即可得到答案；
（2）根据正方形的性质和折叠的性质，同（1）可得，，可证，即可得到；
（3）由和正方形的性质可证四边形是平行四边形，结合点、分别是、的中点，从而推出四边形是平行四边形，得到，设，则，然后由，，得到，从而得到，利用勾股定理得到，结合是的中点得到，从而得到方程，解之即可．
【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形，
根据折叠可知，，
故答案为：．
（2）解：四边形是正方形
，
，
根据折叠可知，
同理
在和中
（3）解：如图，连接
由（2）可知，
，
正方形中，
四边形是平行四边形
点、分别是、的中点
四边形是平行四边形
设，
则
，
点是的中点
解得：
即点、之间的距离为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．