高考数学一轮复习考点讲与练专题42 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题42 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质同步练习（含答案解析），共3页。
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•分宜县期末）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是
A．B．C．D．
2．（2025春•玉溪期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则
A．B．C．1D．
3．（2025•龙凤区模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，点是三角形的重心，则点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
4．（2025•河南模拟）已知△的内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为
A．6B．C．D．3
5．（2025•五华区模拟）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则△的面积为
A．B．2C．3D．4
6．（2025春•云南月考）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，若直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
7．（2025春•郑州月考）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为
A．B．C．D．
8．（2025•北流市模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与交于，，若，则
A．B．C．D．
9．（2025•青秀区二模）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
10．（2025•信阳一模）设椭圆的一个焦点点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•临翔区模拟）已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和，和分别与交于、和、，则
A．的离心率为
B．存在直线，使得
C．为定值
D．若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆
（多选）12．（2025•临清市模拟）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是
A．
B．离心率
C．△面积的最大值为12
D．以线段为直径的圆与圆相切
（多选）13．（2025•腾冲市三模）已知椭圆的焦点分别为，，焦距为为椭圆上一点，则下列选项中正确的是
A．椭圆的离心率为
B．△的周长为3
C．不可能是直角
D．当时，△的面积为
（多选）14．（2025•青岛模拟）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，△为正三角形，过的直线与交于，两点，则
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为3
C．的取值范围是，
D．当倾斜角为时，△的周长为8
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•上海月考）已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为 ．
16．（2025春•杨浦区月考）已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 ．
17．（2024秋•鄂尔多斯期末）设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 ．
18．（2025•临沭县模拟）已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则△面积的最小值为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•南乐县期中）已知椭圆经过点，且的离心率．
（1）求的方程；
（2）若直线经过点且与相切，求的方程．
20．（2024秋•曲阜市期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；
（2）焦点在轴上，且经过两个点和；
（3）经过点，和点，．
21．（2025•东莞市模拟）已知椭圆的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若、两点在椭圆上，坐标原点为，且满足，求的取值范围．
22．（2025•桃城区三模）已知椭圆的短轴长为4，离心率为，过右焦点的动直与交于，两点，点，在轴上的投影分别为，在的左侧）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与直线交于点，△的面积为，求直线的方程．
23．（2025春•天津期中）已知椭圆的一个焦点，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于，两点．在上是否存在点使得△是等边三角形．若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
24．（2025•东城区一模）已知椭圆过点，离心率为．上的点，关于轴的对称点为．设为原点，，过点与轴平行的直线交于点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点在以为直径的圆上，求的值．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】设椭圆方程为，，代入可得，，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：设椭圆方程为，．且，
，代入可得，，
，，
椭圆的标准方程是．
故选：．
2．【答案】
【分析】由离心率、短轴长以及，，的关系式，建立方程组，可得答案．
【解答】解：因为椭圆离心率为，短轴长为2，所以，解得．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据三角形的重心坐标公式及“相关点“法即可求解．
【解答】解：设，，设为，
又易知，，，，
根据三角形的重心坐标公式可得：
，，，
又在椭圆上，
，，
即，
的轨迹方程为，
故选：．
4．【答案】
【分析】由余弦定理，结合椭圆的性质求解即可．
【解答】解：已知△的内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，
由及余弦定理，得，
整理得，
即，
故该椭圆的长轴长为．
故选：．
5．【答案】
【分析】求得椭圆的，，，运用椭圆的定义和条件可设，，，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值．
【解答】解：椭圆中，，，则，，
，，
设，，
，
，
解得，
则△的面积为．
故选：．
6．【答案】
【分析】联立直线方程与椭圆方程求得，再由即可求解．
【解答】解：点，分别是椭圆的左、右焦点，若直线与椭圆相交于，两点，
将直线方程，代入椭圆的方程，可得．
，
，，
，
，
，
，
，
，又，．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据椭圆的定义及条件，表示出，，结合余弦定理可得答案．
【解答】解：因为，所以，
则，，
因为，在△中，由余弦定理可得
，
所以，
整理可得，所以，即．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据方程可得，，，结合椭圆定义可得，，再利用余弦定理以及几何性质分析求解．
【解答】解：因为椭圆中，，，，所以，
因为，且，解得，，
所以，
由椭圆性质可知：，，所以四边形为平行四边形，
所以．
故选：．
9．【答案】
【分析】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，，即可得离心率．
【解答】解：设椭圆的左焦点为，连接，，如图所示，
不妨设，则，
由椭圆上两点、关于原点对称，
可知，，，四边形为矩形，
则，，
又，，
即，
可得，，则，
在△中，，
即，解得，
可得，则，
即，可得，
椭圆的离心率为．
故选：．
10．【答案】
【分析】设椭圆的另一个焦点为，由椭圆的定义可得，即，可得，运用三点共线取得最值，解不等式可得的范围，由离心率公式，可得所求范围．
【解答】解：椭圆的一个焦点，
另一个焦点为，
由椭圆的定义可得，
即，
可得，
由，
可得，
解得，
又，可得
，，
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】求得椭圆的离心率可判断；
设直线的方程为，，，，，联立方程组，利用弦长公式求得，，进而可求的最大值，最小值，可判断；
求得可判断；
求得变换后的轨迹方程判断．
【解答】解：由椭圆，可得，，所以，，
所以椭圆的离心率为，故正确；
可得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，，
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，，，
联立，消去，可得，整理得，
所以，，
所以
，
同理可得，
，当时，，且，
所以的最小值为，最大值为，故正确；
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，此时，，
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得，
当直线，的斜率不为0时，
为定值，故正确；
若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则方程为，故不是圆，故错误．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得，，，结合椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：因为椭圆，则，，，
由椭圆的定义可知，，故错误；
由椭圆离心率公式可得，故正确；
因为设点到轴的距离为，显然，
则△面积的最大值为，故正确；
线段的中点为，则以线段为直径的圆的方程为，
其圆心为，半径，
且圆的圆心为，半径，
则两圆的圆心距为，
即两圆外切，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质．
【解答】解：对于，由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上，
由．
所以椭圆的离心率，故正确；
对于，根据椭圆的定义，△的周长为，故错误；
对于，如图：
取为椭圆的上顶点，则，
所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故错误；
对于，如图：
当时，设，，
则，
即，所以，
所以，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】对于，由△是正三角形，可得，然后结合椭圆的性质求出，即可判断；
对于，设，，由可知，则，所以，然后利用二次函数的知识即可判断；
对于，设，则可得，然后结合的范围即可判断；
对于，当的倾斜角为时，可得直线的方程为，直线的方程为，然后求出两直线的交点坐标为，即可判断直线与直线的垂直平分，然后可得△的周长即可判断．
【解答】解：对于，由于△是正三角形，所以，
又因为，且，
所以，即，
又因为，所以，
解得，所以，
所以离心率，故正确；
对于，设，，
由可知，则，
所以，
所以当时，取得最大值，最大值为4，故错误；
对于，设，因为，，
则，，
所以，
由知，椭圆的方程为，所以，
所以，
因为，所以的取值范围是，，故正确；
对于，当的倾斜角为时，因为，，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，
即两直线的交点坐标为，为线段的中点，
所以直线与直线的垂直平分，
所以，
所以△的周长，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可．
【解答】解：已知椭圆方程为，
则，
即，
所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号，
故的最大值为．
故答案为：．
16．【答案】．
【分析】根据椭圆的方程及定义可得，，则可化为，根据可求出的最小值，从而得到的最大值．
【解答】解：由椭圆的定义知，，
则，
因为，，，
所以当或5时，有最小值为5，故的最大值为．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】联立直线与椭圆方程得，，由结合得、，代入中可得解．
【解答】解：设，，，，，，
由已知得直线方程，
联立直线与椭圆得，
整理得，
所以，，
又因为，所以，即，，，
所以，即，
所以，
所以，
整理得，又因为，所以，
两边除以得，解得或（舍，所以．
故答案为：．
18．【答案】．
【分析】先求切线，的方程，代入点坐标，进而求得直线的方程，求得，两点的坐标，然后求得△面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值．
【解答】解：先求在圆上一点的切线方程，
设圆的方程为，圆心为，半径为，
设，是圆上的一点，则，
设是圆在，处的切线方程上任意一点，则，
即，，②，
①②并整理得，
即圆在，处的切线方程为，
根据题意，设，，，，，，
是圆的切线且切点为，则的方程为，
同理的方程为，
又由、交于点，则有，，
则直线的方程为（1），
要使，，围成三角形，则不是椭圆的顶点，所以，，
由（1）可得的坐标为，的坐标为，
所以，
又由点是椭圆上的动点（非顶点），则有，
则有，即，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，
即△面积的最小值为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，列出关于，，的方程组，求得，的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线的斜率为，得到直线的方程为，联立方程组，结合△，求得的值，即可得到的方程．
【解答】解：（1）由椭圆经过点，且的离心率，
可得，且，解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）解：若斜率不存在，则，与椭圆相交，不符合题意，故斜率存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，
△，
因为直线与椭圆相切，所以△，
整理得，解得，
所以的方程为，即．
20．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为．把点代入椭圆方程可得，再利用即可得出；
（2）焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，由于椭圆经过两个点和，代入椭圆方程解出即可；
（3）设椭圆方程为，把已知点的坐标代入可求，，进而可求椭圆方程．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为．
把点代入椭圆方程可得，解得．
又，．
椭圆的方程为．
（2）焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，
椭圆经过两个点和，
，解得．
椭圆的标准方程为；
（3）设椭圆方程为，
因为椭圆经过点，和点，，
所以，解得，，
故椭圆方程为．
21．【答案】（1）；
（2），，．
【分析】（1）利用菱形的面积和椭圆的性质列方程组即可得出；
（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出；
【解答】解：（1）由已知可得，解得，
故椭圆的方程为；
（2）如图，
当直线的斜率不存在时，设，，，，
，即，
又，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，
联立，得，
△，即，
，，，
，，
则，
又
，
，即，由，则，
，
由，则，且，
所以，且，则；
综上，的取值范围是，，．
22．【答案】（1）；
（2）或．
【分析】（1）根据题意可得，，，可求出，，，得到椭圆的方程；
（2）根据题意设直线，点，，，，则点，，，，写出直线方程和直线方程，联立可得点坐标，求出点到直线的距离和弦长，表示出△的面积，可得的方程并解出．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，，解得，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）如图，
由已知，点，直线斜率存在且不为0，所以设直线，点，，，，
则点，，，，
联立直线和椭圆，，得，
所以，，
直线方程为，直线方程为，
联立直线方程和直线方程，解得，
所以，
，所以点，
故点到直线的距离，，
所以△的面积为，解得（负根舍去），
所以，直线的方程为或．
23．【答案】（1）；
（2）存在；或．
【分析】（1）根据椭圆的基本性质来确定方程参数；
（2）利用直线与椭圆方程联立得到相关点的坐标关系，再结合等边三角形的性质建立等式求解直线方程．
【解答】解：（1）已知椭圆的一个焦点，短轴长为，
则，所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）直线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于，两点，
当斜率不存在时，由通径公式可得，
此时到距离为1，故不存在等边三角形；
当斜率为0时，易得不存在等边三角形；
当斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
设中点为，，又，，，，
由可得，，
△恒成立，
根据韦达定理可得，
由中点坐标公式可得，
由于在直线上，所以，
直线的斜率为，所以，
，
因为△是等边三角形，所以，则，
解得，即，
则在上存在点使得△是等边三角形，
直线的方程为或．
24．【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由椭圆过点可求出，由离心率为及椭圆中，可求得，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）先由条件得到，的坐标，再得到过的直线方程，代入双曲线得到，的坐标，进而得到以为直径的圆的方程，再利用点既在圆上，又在椭圆上，化简整理即可求出的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆过点，
所以，即，
因为椭圆的离心率为，所以，
又因为椭圆中，代入可得，
解得，所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）如图所示，因为关于轴的对称点为，，所以，
因为，所以，所以，
所以过点与轴平行的直线为，
将直线代入椭圆方程，
可得，即，
所以，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
因为点在圆上，所以，
即，
又因为点在椭圆上，所以，即，
代入可得，
化简后可得，解得或（舍，
所以．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
A
C
C
A
A
B
A
题号
11
12
13
14
答案
ABC
BCD
AD
ACD