高考数学一轮复习考点讲与练专题22 三角函数的图象与性质同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题22 三角函数的图象与性质同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了函数为偶函数的一个充分条件是，不等式的解集为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2024•商城县一模）函数为偶函数的一个充分条件是
A．B．C．D．
2．（2025•湖北模拟）不等式的解集为
A．B．
C．D．
3．（2025•浙江模拟）若函数的最小正周期为，其图象的一条对称轴的方程为，则函数在，上的零点个数为
A．1B．2C．3D．4
4．（2025春•大连月考）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
5．（2025•苏州三模）设函数，若在，内恰有3个零点，则的取值不可以为
A．0B．C．D．
6．（2025•亳州二模）若函数，，的部分图象如图所示，则下列结论错误的为
A．实数有且仅有一个值
B．实数有且仅有一个值
C．的单调递增区间为
D．若，则
7．（2025•辽宁二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为
A．B．C．D．
8．（2025•河南模拟）已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则
A．B．0C．D．
9．（2024•西区模拟）已知函数（其中在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．
10．（2024•蓟州区二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是
A．
B．的单调减区间为
C．图象的一条对称轴方程为
D．点是图象的一个对称中心
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•武功县模拟）已知函数，若其图象距离y轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（ ）
A．
B．将f（x）图象上所有点向右平移个单位长度可得函数y＝﹣2cs2x的图象
C．f（x）在区间有3个零点
D．f（x）在区间的最小值为
（多选）12．（2025春•聊城月考）已知函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
（多选）13．（2025•朝阳区模拟）已知函数，则
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．在区间上有4个零点
D．的值域为
（多选）14．（2025春•淄博月考）已知函数的图象横坐标变为原来的倍后得到，再将的图像向右平移个单位，得到，则下列说法正确的是
A．函数的解析式为
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．若关于的方程在上有1个实数根，则，
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•虹口区月考）若函数在是单调的，则的最大值为 ．
16．（2025春•萍乡期中）若函数在区间，上恰有5个零点，则的取值范围为 ．
17．（2025•山东模拟）已知函数，当时，取得最值，且当时，单调递增，则在，上的零点个数为 ．
18．（2025•碑林区模拟）设函数，若函数恰有三个不同的零点，分别为，，，则的值为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•信州区月考）已知为常数）．
（1）求的递增区间；
（2）求的最大值及取得最大值时的集合；
（3）若时，的最小值为4，求的值．
20．（2024秋•通辽期末）已知函数．
（1）求的最小正周期、对称中心和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时的值．
21．（2025春•黑龙江月考）已知函数的图像如图．
（1）根据图像，求的对称中心；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
22．（2025春•驻马店月考）已知函数．
（1）求函数的最大值和最小值．
（2）求函数的单调递增区间．
（3）若将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的新函数图象关于轴对称，求的最小正值．
23．（2025春•安徽月考）在2025年春晚的舞台设计中，有一个“灵蛇”造型的灯光图案，其形状可以近似看作由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+c的图象组成，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，下面是该函数的部分图象．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）＝Asin（ωx+φ）+c的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，若g（x）＝a﹣1在x∈[0，π2]时有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
24．（2025春•南阳期中）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在区间(−π4，−π12)上的单调性；
（Ⅲ）若函数y=f(x+π4)+1在区间[0，b]（b＞0）上恰有2个零点，求b的取值范围．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】先将结论等价化简，再根据充分与必要条件概念求解．
【解答】解：数为偶函数的等价条件为：，，即为：，，
函数为偶函数的一个充分条件是：，
故选：．
2．【答案】
【分析】根据余弦函数的图象即可求解．
【解答】解：不等式，得，
根据余弦函数的图象，则．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据三角函数的性质即可求解．
【解答】解：由题，得，又，，得，，
因为，所以，令，得，，即，，
当，，0，1时，，得在，上有4个零点．
故选：．
4．【答案】
【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可．
【解答】解：因为，所以，
因为函数在区间上恰好有3个零点，
所以，解得，所以的取值范围是．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据正弦函数的性质解方程，结合题意建立关于的不等式，然后对各项中值逐一检验，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意，即，
可得在，上的零点依次满足、、、、，
当，时，，，
当时，，，，根据、、均在区间内，可知项符合题意；
当时，，，，根据、、均在区间内，可知项符合题意；
当时，，，，只有、在区间内，可知项不符合题意；
当时，，，，根据、、均在区间内，可知项符合题意．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据的最小值求出，结合点位于的图象上算出，然后根据，运用函数的周期性算出，可得，从而判断出、两项的正误；然后根据正弦函数的单调性与对称性对、两项加以验证，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据的最小值为，可得，
因为图象经过点，该点位于单调递增区间，即，
所以结合，可得，选项正确；
的图象经过，可得，
即，解得，
设函数最小正周期为，根据图象可得，即，解得，
结合，可知只有满足要求，所以选项正确；
因此，令，
解得，
可知的单调递增区间为，，选项不正确；
当时，，
当时，，可知的图象关于直线对称，
根据，可得，
所以，选项正确．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据三角函数图象的变换法则，可得，结合题意利用正弦函数的性质建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：将的图像先向右平移个单位长度，可得的图象，
然后将的图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，可得的图象．
所以，
当时，，，
若在上有两个零点，则此两个零点满足，．
所以，解得，即，．
故选：．
8．【答案】
【分析】先根据图象确定解析式，再求即可求值．
【解答】解：由题图可知，，所以，又，，所以，
所以，由五点作图法知，
当时，，，又，所以，所以，
所以点，的坐标为，因为，所以，
即，又，解得，所以，
将的图象向左平移1个单位长度，
得到的图象对应的函数为，
所以．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据，分别在时与的情况下，计算出的取值范围，根据正弦函数的性质建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：当时，，
所以，解得．
当时，，
因为，所以，可得，解得．
综上所述，，即的取值范围为，．
故选：．
10．【答案】
【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合，得，得，即可判断；根据三角函数的性质可判断、、．
【解答】解：由题可知，所以，解得，所以，
又在的图象上，所以，
所以，所以，又，所以，
所以，故正确；
令，解得，
所以的单调减区间为，，故正确；
令，解得，，
当时，，故正确；
令，解得，，令，，则，故错误．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】ABD
【分析】根据三角函数的周期公式求出ω，然后将点代入函数表达式，算出φ值，可得，从而判断出A项的正误；根据函数图象的平移变换判断出B项的正误；根据正弦函数的单调性与零点判断出C、D两项的正误，进而可得本题答案．
【解答】解：根据题意，f（x）的最小正周期T＝4[﹣（﹣）]＝π，可得，解得ω＝2，
对于A，由f（x）的一个对称中心为，
可得，即，
结合，取k＝0，可得，所以A正确；
对于B，根据A项的分析可得，
将f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，
可得f（x﹣）＝2sin[（2x﹣）﹣]＝2sin（2x﹣）＝﹣2cs2x的图象，所以B正确；
当x∈时，2x﹣∈（，），
结合正弦函数的性质，可知f（x）有两个零点与，所以C错误；
当x∈时，2x﹣∈[，]，
由正弦函数的单调性，可知f（x）在区间先增后减，
结合f（﹣π）＝﹣1，，可得f（x）的最小值为，所以D正确．
故选：ABD．
12．【答案】
【分析】根据题意求出函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：函数相邻两个最高点之间的距离为，
函数的周期为，正确；
，，，
是奇函数，正确；
当时，，的图象不关于直线对称，错误；
，，，
在上单调递增，正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】根据函数的周期性进行验证，可知的周期不是，从而可得项的正误；根据三角函数的诱导公式证出，从而可得的图象关于点对称，判断出项的正误；根据二倍角的三角函数公式与特殊角的三角函数值解方程，可判断出项的正误；运用导数研究函数的单调性，求出在区间，上的值域，进而判断出项的正误．
【解答】解：对于，根据，
可知，所以的周期不是，项不正确；
对于，由，
可得，所以的图象关于点对称，项正确；
对于，即，可得，
即或，在区间上的根为与，
因此，在区间上只有2个零点，可知项不正确；
对于，先求在区间，上求的值域，
由，
当，或，时，；当，时，，
所以在，、，上是增函数，在，上是减函数，
可得的最小值为，最大值为，
所以在区间，上的值域是，，
根据，可知在上的值域就是在，上的值域，
所以的值域为，可知项正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】由图象的变换得到函数的解析式即可判断选项；由正弦函数的对称性，单调性即可判断选项，；方程在上有1个实数根，转化为与的图象有一个交点，画图求解即可判断选项．
【解答】解：对于选项，函数的图象横坐标变为原来的倍后，
得到，将的图象向右平移个单位，
得到，故选项错误；
对于选项，当时，，
所以直线是函数图象的一条对称轴，故选项正确；
对于选项，由，
得，
当时，，
所以在区间上单调递增，故选项正确；
对于选项，方程在上有1个实数根，
所以与的图象有一个交点，
由，所以，作出图象，
由图可知：，，故选项正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】根据三角函数的周期性算出，结合余弦函数的单调性建立关于的不等式组，解出的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：根据在是单调的，可知的周期满足：，
即，结合为正数，解得．
当时，，
结合题意或，其中、均为整数，
解得或，可知的最大值为．
故答案为：．
16．【答案】，．
【分析】根据题意，的零点满足，当，时，该方程有5个实数根，结合余弦函数的图象建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：函数的零点满足，当，时，，．
结合余弦函数的性质，可知：
若在区间，上恰有5个零点，则这5个零点满足、、、、．
所以，解得，即的取值范围为，．
故答案为：，．
17．【答案】4．
【分析】根据性质得到时，取得最小值，且，结合，得到方程组，求出，，从而，故或或，求出零点，得到零点个数．
【解答】解：当时，取得最值，且当时，单调递增，
故当时，取得最小值，设的最小正周期为，
则，解得，
故，解得，又，
故，，
又，
所以①，②，
联立①②，得，，
故，
，，则，
故或或，
解得，或，或，或，
故在，上的零点个数为4．
故答案为：4．
18．【答案】．
【分析】研究函数在，上单调性，然后将函数恰有三个不同的零点，转化为与有三个不同交点的问题求解，再结合图象的对称性求解．
【解答】解：由，得，，
因为在，上单调递增，在，上单调递减，在，单调递增，
由得，得，
所以在，上单调递增，在，单调递减，在，上单调递增，且，是的对称轴，
所以，，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2），；
（3）4．
【分析】（1）根据正弦函数的单调区间进行求解，可得的递增区间；
（2）利用正弦函数最值及其相应的值，列式求出的最大值及取得最大值时的集合；
（3）根据的取值范围，结合的最小值为4，推导出关于的方程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）令，，
解得，，所以的递增区间；
（2）由正弦函数的性质，可知当时，
即，，时，取得最大值，
所以的最大值为，相应的的集合为；
（3）当时，，则，
当时，即时，，可得．
20．【答案】（1）；中心为；；
（2）时，最小值为．
【分析】（1）利用辅助角公式，二倍角公式进行化简，对应的性质求解即可．
（2）利用整体法的思想，利用的最值进行求解即可．
【解答】解：（1），
则的最小正周期为．
根据的性质，可令，得，
则的对称中心为；
令，解得．
因此，的单调递减区间为；
（2）由于，则，根据三角函数的性质，
当，即时，取得最小值，最小值为．
21．【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）根据图象先确定周期，可得，再根据五点法作图，确定，再求函数的对称中心；（2）求出在上的值域即可．
【解答】解：（1）根据函数的图象，
得，，所以，，
由五点法作图，可得，，故，
令，求得，，则对称中心为，；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象，
把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，
由在上有解，即在上有解，
因为，，，
所以的取值范围为，．
22．【答案】（1）最大值为2，最小值为；
（2），，；
（3）．
【分析】（1）根据诱导公式化简得，进而求出函数的最大值和最小值；
（2）由正弦函数的单调性，解关于的不等式，即可求出的单调递增区间；
（3）求出平移后的函数，根据三角函数的奇偶性，结合诱导公式建立关于的等式，进而求出的最小正值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以的最大值为2，最小值为；
（2）令，可得，
所以的单调递增区间是，，；
（3）的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
若该图象关于轴对称，则，，
取，可得，解得的最小正值等于．
23．【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据图象中函数的最值、对称性，可得函数解析式；
（Ⅱ）由函数图象变换可得新函数解析式，根据函数与方程的关系，利用数形结合的思想，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设最小正周期为，根据题图可知：
得，解得，
由，得，所以，
所以，
由，得，
所以，结合，得，
所以；
（Ⅱ）将函数的图象向右移个单位，
得，
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
得，
要使在时有两个不同的实数解，
需在上有两个互异实根，
即的图象与直线在上有两个不同的交点，
如图，画出函数的部分图象与直线，
因为，所以，
由图可知，，解得，
故实数的取值范围是．
24．【答案】；
（Ⅱ）的单调递增区间为，的单调递减区间为；
（Ⅲ）．
【分析】由最值确定，的取值，由两个最值点的距离确定周期，求出，代入特殊点可求出，从而求出解析式；
（Ⅱ）代入，求出整体的范围，依据正弦函数单调区间求出的具体范围，确定单调性；
（Ⅲ）化简函数求出函数的第二零点和第三零点，可确定的范围．
【解答】解：由图象可知，解得：，
又由于，所以，
由图象及五点法作图可知：，所以，
因为，所以，所以；
（Ⅱ）由知，，
因为，所以，
当时，即时，单调递增，
当时，即时，单调递减，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为；
（Ⅲ），函数在区间，上恰有2个零点，
等价于在区间，上恰有2个零点，
时，，令，
则图象的第二个零点为，即，
第三个零点为，即，所以．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
D
C
C
A
A
C
D
题号
11
12
13
14
答案
ABD
ABD
BD
BCD