高考数学一轮复习考点讲与练专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了辅助角公式等内容，欢迎下载使用。

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
常用结论
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
►考点01 公式的直接应用——给角求值/化简

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【例1】（2024秋•福建期末）
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由诱导公式有，利用两角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
【例2】（2025春•盐城月考）
A．1B．C．D．2
【答案】
【分析】由已知结合和差角公式及诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
【例3】（2025•琼海模拟）
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解．
【解答】解：原式
．
故选：．
【例4】（2024秋•海伦市期末）
A．B．0C．D．
【答案】
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案．
【解答】解：因为，，
所以．
故选：．
【例5】（2025春•仓山区月考）的值等于
A．B．C．D．1
【答案】
【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
►考点02 给值求值——已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值

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【例6】（2025•十堰模拟）已知，，则
A．1B．2C．D．
【答案】
【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为，
又，
所以，
则，
故，，即，，
所以．
故选：．
【例7】（2025•瑶海区模拟）已知，为锐角，，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出，，再由角的变换及两角和的正余弦公式求解即可．
【解答】解：因为为锐角，，
所以，
因为，为锐角，且，
又，
可得，
，
可得．
故选：．
【例8】（2025•鼓楼区模拟）已知，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据，，运用两角和与差的正弦公式加以计算，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得，，
所以，
两式消去，可得．
故选：．
【例9】（2025•河北模拟）若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，化简得到与的关系，再根据正切函数定义求出的值，从而确定答案．
【解答】解：由题意可得，
可得，
所以．
故选：．
【例10】（2025•江苏模拟）已知，则
A．5B．C．D．
【答案】
【分析】由已知结合和差角公式进行化简，然后结合同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
即，
所以，
则．
故选：．
►考点03 三角恒等式的证明

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【例11】（2024秋•西湖区期末）已知，为锐角，．
（1）求证：；
（2）的值．
【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可；
（2）由（1）求出的值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为，为锐角，且，
又，
所以，
所以，即，
即（证毕）；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以．
【例12】（2025春•青羊区月考）（1）证明：．
（2）化简并求值．
【答案】（1）证明见析；
（2）．
【分析】（1）将等式右边按两角和（差公式展开，再由商数关系化简即可；
（2）由商数关系可得，再代入，根据两角差的余弦公式及特殊三角函数值化简即可．
【解答】解：（1）证明：左
右；
（2）因为
．
【例13】（2023春•松江区期中）（1）已知，求的值；
（2）证明恒等式：．
【答案】（1）；（2）证明过程见解析．
【分析】（1）直接把已知等式两边平方求解的值；
（2）把等式左边分子展开两角和的正弦，即可证明结论．
【解答】解：（1）由，两边平方得，
；
证明：（2）．
【例14】（2024秋•荣县期中）已知．
（1）求证：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据题意，结合两角和与差的正弦公式，联立方程，即可求解；
（2）因为，根据题意求得，由（1）和两角差的正切公式，列出方程，即可求解．
【解答】（1）证明：因为，，
联立方程组，可得，
所以．
（2）解：因为，
可得，
又因为，
可得，
因为，
所以，
所以，
即，
解得．
【例15】（2024春•烟台期末）（1）化简：；
（2）证明：．
【分析】（1）原式，化简即可得出．
（2）配角：，将左边分式的分子展开后通分合并，结合两角差的正弦公式，化简整理即得原不等式成立．
【解答】解：（1）原式．
（2）
，
原等式成立．
►考点04 与其他知识点的综合应用（如三角函数性质、解三角形、向量等）

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【例16】（2025•会宁县三模）函数的最小值和最小正周期分别为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的平方关系、二倍角的余弦公式化简得，进而根据余弦函数的性质算出答案．
【解答】解：由题意得
，
根据余弦函数的性质，可知的最小正周期，
当时，即时，取最小值．
故选：．
【例17】（2025•江苏一模）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】根据题意，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，可得，然后利用正弦函数的性质建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得，
求得，由，
结合上只有一个零点，可得．
故选：．
【例18】（2025•雨花区模拟）已知向量，，，，，．
（1）求函数的单调递增区间和对称中心；
（2）在锐角△中，内角，，的对边分别为，，，若，（A），求的取值范围．
【答案】（1）递增区间是；对称中心为．
（2）．
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算法则，结合三角恒等变换公式化简得，然后根据正弦函数的单调性与对称性列式，进而算出的递增区间和对称中心；
（2）由（A），结合为锐角算出，然后根据正弦定理与三角恒等变换公式化简，得到关于的表达式，运用二次函数的性质，结合的取值范围算出的取值范围，可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，
令，，解得，
可得函数的单调递增区间为，
设，，可得，，
所以函数图象的对称中心为．
（2）由（1）得，即，
结合，可得，故，解得，
所以
，
在锐角△中，，则，解得，，
所以，可得，所以．
综上所述，的取值范围是．
【例19】（2025春•船山区期中）已知向量．
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）由向量共线的坐标运算列式求解值；
（2）由平面向量数量积的坐标运算求得，再由已知可得，，，的值，然后利用两角和的正弦求得，进一步得答案．
【解答】解：（1）因为，
又，则，所以，即，
所以，；
（2）依题意有，
因为，即，且，
所以，则，
因为，即，且，
所以，则．
所以，
所以．
所以．
【例20】（2025•江西模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，求；
（2）若，△的面积为，求角的大小．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，设，，运用勾股定理列式解出，进而根据余弦定理列式算出的值；
（2）由三角形的面积公式与余弦定理，求出，进而算出，结合求出角的大小．
【解答】解：（1）根据，设，，
由勾股定理得，即，解得，
所以，，，
根据，可知为中点，
所以，可得，
在△中，由余弦定理得；
（2）根据，解得，
因为，且，
所以，代入，化简得，
所以，即，，
结合，可得，即．
步骤1：分析所求角是否可表示为已知特殊角的和或差．
步骤2：选择对应公式展开，注意符号对应（余弦公式符号与正弦公式符号不同）．
步骤3：代入特殊角的三角函数值计算，化简结果．
注意事项：
熟记特殊角（）的三角函数值，避免符号错误．
角的组合可能需逆向思考，如，．
1.确定目标角与已知角的关系：
将目标角表示为已知角的和或差（如求，若已知等）．
2.计算所需中间量：
利用同角三角函数基本关系（，）求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响（如时，为负）．
3.代入和差公式计算：
严格遵循公式结构，避免展开时符号混淆．
1.从左边到右边（或反之）：
利用和差公式展开左边，通过化简、合并同类项推导至右边．
例：证明，直接由正切和角公式正向推导．
2.两边向中间靠拢：
若左右两边结构差异较大，分别化简两边至相同形式（如都化为正弦和余弦的表达式）．
3.“1”的灵活替换：
如，用于构造正切和差公式（如）．
注意事项：
证明时避免跳步，每一步变形需有公式支撑，尤其注意分母不为零的条件（如正切公式中）．
1.与三角函数性质结合：
求的周期或最值时，先利用和差公式化简为单一三角函数，再分析性质．
2.与解三角形结合：
在中，利用，将角转化为和差关系（如），再用和差公式展开结合正弦定理、余弦定理解题．
3.与向量结合：
若向量，，则，利用数量积公式结合和差公式求解夹角．