高考数学第一轮复习复习第6节　对数与对数函数（讲义）

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1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=lgax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
1.对数
2.对数函数的图象与性质
3.指数函数与对数函数的关系
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
1.换底公式及其推论
(1)lgab·lgba=1,即lgab=1lgba(a,b均大于0且不等于1);
(2)lgambn=nmlgab;
(3)lgab·lgbc·lgcd=lgad.
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,
故01.(多选题)下列各式正确的是( BD )
A.lga6lga3=lga2
B.lg 2+lg 5=1
C.(ln x)2=2ln x
D.lg5x3=35lg x
解析:A选项,由换底公式,可得lga6lga3=lg36=1+lg32,故A错误;B选项,lg 2+lg 5=lg (2×5)=1,故B正确;C选项,(ln x)2=ln x×ln x≠2ln x,故C错误;D选项,lg5x3=lg x35=35lg x,故D正确.
2.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a=lg52,b=lg83,c=12,则下列判断正确的是( C )
A.cC.a解析:a=lg523.(必修第一册P131练习T1改编)函数f(x)=ln(x-1)的定义域是( D )
A.(1,+∞)B.(2,+∞)
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
解析:要使函数f(x)=ln(x-1)有意义,只需ln(x-1)≥0,x-1>0,即x-1≥1,x-1>0,解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞).
4.(必修第一册P140习题T4改编)已知函数y=lga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是 (填序号).
①a>1,c>1;②a>1,01;④0解析:由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以00,即lgac>0,所以0答案:④
5.化简2lg 5+lg 4-5lg52的结果为 .
解析:因为2lg 5+lg 4=2lg 5+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2.
又5lg52=2,
所以2lg 5+lg 4-5lg52=2-2=0.
答案:0
对数式的化简与求值
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alg34=2,则4-a等于( B )
A.116B.19C.18D.16
解析:法一 因为alg34=2,所以lg34a=2,则有4a=32=9,所以4-a=14a=19.
法二 因为alg34=2,所以-alg34=-2,所以lg34-a=-2,所以4-a=3-2=132=19.
法三 因为alg34=2,所以a2=1lg34=lg43,
所以4a2=3,两边同时平方得4a=9,
所以4-a=14a=19.
法四 因为alg34=2,所以a=2lg34=lg39lg34=lg49,所以4-a=14a=19.
法五 令4-a=t(t>0),两边同时取对数得lg34-a=lg3t,即alg34=-lg3t=lg31t.因为alg34=2,所以lg31t=2,所以1t=32=9,所以t=19,即4-a=19.
法六 令4-a=t(t>0),所以-a=lg4t,
即a=-lg4t=lg41t.由alg34=2,
得a=2lg34=lg39lg34=lg49,所以lg41t=lg49,
所以1t=9,得t=19,即4-a=19.
2.若2a=3b=6,则1a+1b等于( D )
A.2B.3C.12D.1
解析:法一 因为2a=3b=6,所以a=lg26,1a=lg62,b=lg36,1b=lg63,则1a+1b=lg62+lg63=lg66=1.
法二 因为2a=6,所以2=61a,
因为3b=6,所以3=61b,所以2×3=61a·61b,所以6=61a+1b,所以1a+1b=1.故选D.
3.设a=lg36,b=lg520,则lg215等于( D )
A.a+b-3(a-1)(b-1)B.a+b-2(a-1)(b-1)
C.a+2b-3(a-1)(b-1)D.2a+b-3(a-1)(b-1)
解析:因为a=lg36=1+lg32,b=1+2lg52,
所以lg23=1a-1,lg25=2b-1,
则lg215=lg23+lg25
=1a-1+2b-1
=2a+b-3(a-1)(b-1).
4.计算:(1-lg63)2+lg62·lg618lg64= .
解析:原式=(lg62)2+lg62·lg618lg64
=lg62·(lg62+lg618)lg64=2lg622lg62=1.
答案:1
(1)利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法:
①“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和;
②“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数.
(2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.
对数函数的图象及应用
[例1] (1)已知函数f(x)=lga(x+b)的图象如图,则ab等于( )
A.-6B.-8C.6D.8
(2)若不等式4x解析:(1)f(x)=lga(x+b)过(0,2)和(-3,0),
故2=lgab,0=lga(b-3)⇒a2=b,b-3=1,
因为a>0,且a≠1,
所以a=2,b=4,故ab=8.故选D.
(2)若不等式4x解得0答案:(1)D (2)(0,22)
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,数形结合求解.
[针对训练]
1.已知f(x)=a-x,g(x)=lgax,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是( )
解析:因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,
所以f(x)=a-x与g(x)=lgax在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.
2.(2022·广东广州调研)设x1,x2,x3均为实数,且e-x1=ln x1,e-x2=ln(x2+1),e-x3=lg x3,则( )
A.x1C.x2解析:画出函数y=(1e)x,y=ln x,y=ln(x+1),y=lg x的大致图象,如图所示.
数形结合知x2 对数函数的性质及应用
比较指数式、对数式的大小
[例2] (1)设a=lg23,b=43,c=lg34,则a,b,c的大小关系为( )
A.bC.a(2)(2022·云南昆明月考)设a=lg63,b=lg126,c=lg2412,则( )
A.bC.a解析:(1)因为a=lg23>lg2243=43=b,
b=43=lg3343>lg34=c,
所以a,b,c的大小关系为c(2)因为a,b,c都是正数,
所以1a=lg36=1+lg32,
1b=lg612=1+lg62,
1c=lg1224=1+lg122,
因为lg32=lg2lg3,
lg62=lg2lg6,
lg122=lg2lg12,且lg 3所以lg32>lg62>lg122,
即1a>1b>1c,
所以a比较对数式大小的常见类型及解题方法
解对数不等式
[例3] 设函数f(x)=lg2x,x>0,lg12(-x),x<0.若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
解析:由题意得a>0,lg2a>lg12a或a<0,lg12(-a)>lg2(-a),
解得a>1或-1对数不等式的两种类型及求解方法
对数型复合函数的单调性
[例4] 求函数f(x)=lga(2x2-3x-2)的单调区间.
解:由2x2-3x-2>0得函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<-12}.
当a>1时,y=lgat为增函数,t=2x2-3x-2在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-12)上单调递减,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-12)上单调递减.
当0所以f(x)在(2,+∞)上单调递减,在
(-∞,-12)上单调递增.
综上可知,当a>1时,f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,-12);
当0与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.
[针对训练]
1.a=lg13π,b=lg3π,c=lg4π,则( )
A.aC.a解析:由已知a=lg13π0,c=lg4π=1lgπ4>0,因为lgπ31lgπ4,即b>c.
综合得a2.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(lg2x)>2的解集为( )
A.(2,+∞) B.(0,12)∪(2,+∞)
C.(0,22)∪(2,+∞)D.(2,+∞)
解析:f(x)是R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,
所以f(lg2x)>2=f(1)⇔f(|lg2x|)>f(1)⇔|lg2x|>1,
即lg2x>1或lg2x<-1,
解得x>2或03.已知函数f(x)=lg2(2x-1),函数f(x)的单调递增区间是 ;若x∈[1,92],则函数f(x)的值域是 .
解析:因为函数f(x)=lg2(2x-1)的定义域为(12,+∞).
令t=2x-1,易知t=2x-1在(12,+∞)上单调递增,而y=lg2t在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)的单调递增区间是(12,+∞).
因为函数f(x)=lg2(2x-1)在[1,92]上是增函数,所以f(1)≤f(x)≤f(92),
所以0≤f(x)≤3,故所求函数的值域为[0,3].
答案:(12,+∞) [0,3]
[例1] 直线y=kx(k>0)与对数函数y=lgax(a>1)的图象相交于A,B两点,经过点A的线段CD垂直于y轴,垂足为C.若四边形OCBD为平行四边形,且S四边形OCBD=4,则实数k,a的值分别为( )
A.k=1,a=2B.k=12,a=2
C.k=2,a=2D.k=1,a=4
解析:依据题意,画出直线y=kx(k>0)与对数函数y=lgax(a>1)的图象,
如图所示,设A(x1,lgax1),B(x2,lgax2),
因为CD⊥y轴,可得C(0,lgax1),
因为四边形OCBD为平行四边形,所以A为CD的中点,所以D(2x1,lgax1),所以x2=2x1,
由O,A,B均在直线y=kx(k>0)上,可得lga2x12x1=lgax1x1,
解得x1=2,x2=4,OC=lgax1=lga2,
CD=x2=4,
因为S四边形OCBD=4lga2=4,
所以a=2,k=lg222=12.故选B.
[例2] (多选题)已知函数f(x)=ln 2x+12x-1,下列说法正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)在(12,+∞)上单调递减
D.f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
解析:f(x)=ln 2x+12x-1,令2x+12x-1>0,
解得x>12或x<-12,
所以f(x)的定义域为(-∞,-12)∪(12,+∞).
又f(-x)=ln -2x+1-2x-1=ln 2x-12x+1
=ln(2x+12x-1)-1=-ln 2x+12x-1=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确,B错误.
又f(x)=ln 2x+12x-1=ln(1+22x-1),
令t=1+22x-1,t>0且t≠1,所以y=ln t,
又t=1+22x-1在(12,+∞)上单调递减,且y=ln t为增函数,
所以f(x)在(12,+∞)上单调递减,故C正确;
所以y=ln t的值域是(-∞,0)∪(0,+∞),故D正确.故选ACD.概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=lgaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数
性质
对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=lgaN,
lga1=0,lgaa=1,algaN=N
运算
法则
lga(MN)=lgaM+lgaN
a>0,
且a≠1,
M>0,N>0
lgaMN=lgaM-lgaN
lgaMn=nlgaM(n∈R)
换底
公式
lgab=lgcblgca(a>0,且a≠1;b>0;
c>0,且c≠1)
a>1
0图象
性质
定义域为(0,+∞)
值域为R
过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0;
当0当x>1时,y<0;
当00
在区间(0,+∞)上是增函数
在区间(0,+∞)上是减函数
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同
可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
类型
求解方法
lgax>
lgab
借助y=lgax的单调性求解
如果a的取值不确定,需分a>1与0lgax>
b
需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=lgax的单调性求解