高考数学一轮复习考点讲与练专题08 函数的奇偶性、周期性同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题08 函数的奇偶性、周期性同步练习（含答案解析），共4页。试卷主要包含了，则的取值范围是，，则，若函数为偶函数，则实数，已知函数，且，则，设是定义域为的奇函数，且等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025•河池二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足（2），则的取值范围是
A．B．C．或D．
2．（2025•银川三模）已知函数，，，是偶函数，则不等式的解集为
A．B．
C．，，D．
3．（2025•浦东新区模拟）设函数是奇函数．若函数，（4），则
A．27B．28C．29D．30
4．（2025•浙江模拟）已知函数为奇函数，则（a）
A．B．C．D．2
5．（2025•广州模拟）若函数为偶函数，则实数
A．1B．C．D．
6．（2025春•番禺区期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于
A．2B．6C．D．0
7．（2025春•河南月考）已知函数，且，则
A．B．C．0D．
8．（2025春•许昌期中）设是定义域为的奇函数，且．若，则
A．B．C．D．
9．（2025•福州模拟）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是
A．B．C．D．
10．（2025•黑龙江模拟）函数与都为奇函数，且对，都有，则（1）（2）
A．2525B．2526C．5049D．5050
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•毕节市模拟）已知函数满足对任意的，，都有，且．下列结论正确的是
A．
B．是偶函数
C．若（2），则（4）
D．若（1），则4是的一个周期
（多选）12．（2025•湖南模拟）若函数满足：对任意，，恒有，则称函数为“类余弦型”函数．已知函数为“类余弦型”，若，且对任意非零实数，．则下列结论正确的是
A．
B．若，则
C．函数为偶函数
D．若有理数，满足，则
（多选）13．（2025•信阳二模）已知函数的定义域和值域均为，，对于任意非零实数、，，函数满足：，且在上单调递减，（1），则下列结论正确的是
A．B．
C．为奇函数D．在定义域内单调递减
（多选）14．（2025•邵阳模拟）已知函数的定义域为，且，，当，时，单调递减，则下列说法正确的是
A．函数的图象关于直线对称
B．函数为奇函数
C．
D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025•吉林四模）若函数是定义域为，的偶函数，则 ．
16．（2025•北京模拟）已知为奇函数，则实数的值是 ．
17．（2025•遵义模拟）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．（用区间表示）
18．（2025•湖北三模）已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025•江苏三模）已知函数．
（1）讨论的奇偶性；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．
20．（2024秋•深圳期末）已知函数是定义在，上的奇函数，且（1）．
（1）求，的值：
（2）试判断函数的单调性，并证明你的结论；
（3）求使成立的实数的取值范围．
21．（2025春•浙江期中）已知为奇函数，且定义域为，．
（1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
（2）若，求的取值范围；
（3）若存在两个不相等的实数，，，使，且．求实数的取值范围．
22．（2024秋•包河区期末）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
23．（2025春•宁波期中）已知是定义在上的函数，对，都有，且满足．
（1）判断函数的奇偶性，并证明之；
（2）证明：；
（3）求（1）（2）的值．
24．（2025春•温州期中）已知函数．
（1）若，求（a）的值；
（2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增；
（3）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据偶函数可将不等式（2）转化为（2），再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围．
【解答】解：由于是偶函数，则恒成立，
不等式（2）可以转化为（2）．
函数在上单调递增，根据偶函数对称性可知，在上单调递减，
所以，解得或．
故选：．
2．【答案】
【分析】先利用函数的奇偶性求参数，再求导函数分类求出函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式即可．
【解答】解：因为为偶函数，所以（1），即，即．
因为，所以，，，即（1）．
当时，，
当时，，，所以，单调递增；
当时，，，所以，单调递增，
综上，在上单调递增．
由（1），即得（1），得，解得．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得（4），由此求出的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数是奇函数，则（4），
又由（4），则，
则．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据题意，假设，结合函数的解析式和奇偶性可得恒成立，变形可得的值，结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数为奇函数，
当时，有，，
则有恒成立，
必有，
故（a）．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据题意，求出的表达式，由函数奇偶性的定义，分析可得关于的恒等式，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
则，
函数为偶函数，
则，即，
变形可得：，必有．
故选：．
6．【答案】
【分析】利用奇函数的性质可求得的值．
【解答】解：根据题意，当时，，则（2），
又因为函数是定义在上的奇函数，则（2）．
故选：．
7．【答案】
【分析】计算得即可得到．
【解答】解：因为，，
又，
所以，
又，所以．
故选：．
8．【答案】
【分析】由函数奇偶性与已知关系，证明是周期函数，利用函数周期性与奇偶性结合已知条件，求函数值即可．
【解答】解：因为是定义域为的奇函数，
所以，
又，
则，
则，故是以2为周期的周期函数，
由，则．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据抽象函数的性质即可求解．
【解答】解：由题，，设（1），（2），
则（3），（4），（5），（6），（7）（1），
所以函数的周期为6，
故（5），（1），
（6），（4），
由，则，即，
由，则，即，
所以，可得，无法确定，
所以（2），无法判断，
综上所述，．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据题意，可得，结合，可得，利用等差数列求和公式，即可求得答案．
【解答】解：因为与都为奇函数，
则，，
又因为，
所以，
所以，即，
所以
，
即，
所以，即，
又，（1），得（1），
所以（2），（3）（1），，，
所以．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据赋值法及抽象函数的奇偶性、周期性一一判定即可．
【解答】解：函数满足对任意的，，都有，
令，则，
因为，所以，故正确；
令，则，恒成立，
所以函数为偶函数，故正确；
（2），令，则（4）（2）（2）（4），故错误；
（1），令，则（1），
所以，，
则为周期函数且4为其一个周期，故正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】对于，根据条件，令，，即可求解；对于，令，结合选项中结果，即可求解；对于，令，得到，即可求解；对于，令，证明出，即可说明对任意、且，有，然后设，，、是非负整数，、为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可求解．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，对任意，，恒有，
不妨设，，则有（1）（1）（1），
即（1）（1），
又因为对任意非零实数，，所以，故正确，
对于，令，得（2）（1）（1），由选项知，
又，，得到，故错误，
对于，令，得到，又，得到，故正确，
对于，因为时，，则，所以，
令，即对任意的正整数有，
则，
所以，对于任意正整数，成立，
对任意的、且，则有成立，
、为有理数，所以可设，，其中、为非负整数，、为正整数，则，，
令，，，则、为正整数，
，，所以，，即，
由选项知，函数为偶函数，，，，故正确，
故选：．
13．【答案】
【分析】利用对恒等式赋值来得到的值，通过赋值得到递推关系求等比数列的和，通过赋值可得到奇函数恒等式，由于定义域是有断点，所以不能确定在定义域内是否单调．
【解答】解：对于任意非零实数、，，函数满足：，
且在上单调递减，（1），
对于，令，则，因，故，故正确；
对于，令，则，
则，即，故是以为首项，2为公比的等比数列，
于是，故错误；
对于，由题意，函数的定义域为，，，
令，则 （1），
将、都取成，可得： （2），
将（2）式代入（1）式，可得，
化简可得，即为奇函数，故正确．
对于，在上单调递减且为奇函数，可得在上单调递减，
但不能判断在定义域上的单调性，例如，故错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】结合已知函数的奇偶性及对称性进行转化，求出函数的周期，然后结合函数周期性，对称性及奇偶性检验各选项即可求解．
【解答】解：，，
关于点中心对称，故错误；
令，
，又，
，故函数为奇函数，故正确；
，即为偶函数，，
，，
是周期为4的函数，
令，得（1），
令，得（1）（3），
令，得（2）（4）．
（1）（2）（3）（4）（1）（1），故正确；
，
而，
故，又当，时，单调递减，且，
，
关于点中心对称，在区间上单调递减，，
即，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】整理可得，根据偶函数性质列式求解即可得结果．
【解答】解：因为，
可知，，均为偶函数，为奇函数，
若函数是定义域为，的偶函数，
则，可得，，所以．
故答案为：．
16．【答案】．
【分析】根据题意，由奇函数的定义可得，变形分析求出的值，验证即可得答案．
【解答】解：根据题意，设，则，
若为奇函数，则，
必有，变形可得或0，
当时，，其定义域为或，
又由，为奇函数，符合题意，
当时，，其定义域为，不是奇函数，不符合题意，
故．
故答案为：．
17．【答案】，．
【分析】根据题意，由函数的解析式分析在，上的解集，结合偶函数的性质，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当时，，即，
当时，不等式即或，解可得，
又由函数是偶函数，当时，不等式的解集为，
综合可得：不等式的解集为，．
故答案为：，．
18．
【分析】由是奇函数得函数图象关于原点对称，由可得与符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果
【解答】解：
①当时，，
结合函数的图象可得，，
（2）时，，
根据奇函数的图象关于原点对称可得，，
不等式的解集为，，．
故答案为：，，．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）当时，是上的偶函数；当
时，是上的奇函数；
当且时，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）．
【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可；
（2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可．
【解答】解：（1）函数的定义域为，且，
当时，，即恒成立，
所以，即，此时，经检验是上的奇函数；
当时，，即恒成立，
所以，即，此时，经检验是上的偶函数；
当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当时，是上的偶函数；当
时，是上的奇函数；
当且时，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数，由，得，而，，
所以，，则是上的奇函数且是上的增函数，
不等式，
即，则，
解，得或；
解，即，得．于是，
所以的取值范围是．
20．【答案】（1），；（2）在，上为增函数，证明见解答；（3），．
【分析】（1）由奇函数的性质可得，结合（1），解方程可得，的值；
（2）在，上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；
（3）由奇函数在，上为增函数，可将不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求取值范围．
【解答】解：（1）函数是定义在，上的奇函数，
且（1），可得即；
又，则，所以，；
（2）在，上为增函数．
证明：设，则
，
由，可得，，
则，即，
所以在，上为增函数；
（3）由为奇函数，
可得即为，
由在，上为增函数，可得，
解得，即的取值范围是，．
21．【答案】（1），证明见解答；
（2）；
（3）．
【分析】（1）结合奇函数的定义可求，任取，，且，利用作差法比较与的大小即可判断；
（2）结合函数的单调性即可求解；
（3）由奇函数定义求出，由存在性问题进行转化，然后结合二次方程根的分布情况即可求解．
【解答】解：（1）因为为奇函数，定义域为，
所以，得，
在定义域上为增函数，证明如下：
任取，，且，
，
则，
所以，在定义域上为增函数．
（2）由（1）可得，
解得，
故的范围为；
（3）因为，
所以，
则，
因为，
由可得，
即，
令，，
则，存在实数，使得，
只需（2）或，
即或，
解得，
故的范围为．
22．【答案】（1）；
（2）单调递减，详见解答过程；
（3）．
【分析】（1）结合奇函数定义即可求解；
（2）任取、，且，利用作差法比较与的大小即可判断；
（3）结合函数的单调性及奇偶性对已知不等式进行转化，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：定义域为的函数是奇函数，
（1）由题意可得，，
可得，
解得；
故在上是递减函数；
（2）单调递减，证明如下：
证明：任取、，且，则，
则，
即，
故是定义在上的递减函数；
（3），，
又是上的奇函数，，
是上的递减函数，，
对任意的恒成立，
设，且，即，
，，，当且仅当即时等号成立，
，
故的范围为．
23．【答案】（1）是定义在的偶函数，理由见解答；（2）证明见解答；（3）4050．
【分析】（1）根据赋值法，偶函数的定义，即可求解；
（2）根据赋值法，点对称的结论，即可证明；
（3）根据周期性，，即可求解．
【解答】解：（1）令，得（2）；再令得，
所以是定义在的偶函数；
（2）证明：令，得；
再令，得，
两式相加得，这里不恒为零，
所以，即，
所以是的一个对称中心，
所以，又，
所以，
所以，所以的周期为8，
即；
（3）由（2）知（3）（1）；（4）；
令，得（3）；
令，，得（3）（1）（4）（3）（3），得到，
所以（2）（4）（2）（2），
（6）（8）（2）（4），，
令，得，
所以（1）（2）
（2）（4）
．
24．【答案】（1）；
（2）详见解答过程；
（3）．
【分析】（1）把代入，结合对数运算性质即可求解；
（2）任取，，且，然后利用作差法判断与的大小即可判断；
（3）结合函数的单调性对已知不等式进行转化，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：（1），
则，
（2）证明：任取，，且，
则
，
，
则，，，
故，即，
在上单调递增；
（3），
由（2）可知，在上单调递增，
，
，
要存在，，使得不等式成立，
只要存在，，使得成立，
，，，，，令，
只要存在，，使得成立，即，
，，函数在，上单调递增，
则，
故的范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
C
C
C
B
B
D
题号
11
12
13
14
答案
ABD
ACD
AC
BC