安徽省芜湖市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份安徽省芜湖市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共7页。试卷主要包含了已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟。
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校高一年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生、女生应分别抽取的人数为
A.75；75B.90；60C.60；90D.100；50
2.在中，，，则向量在向量上的投影向量为
A.B.C. D.
3.下列四个命题，真命题为
A.两两相交的三条直线确定一个平面
B.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
C.若直线a，b与直线c所成角相等，则
D.若两条平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直
4.在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是原点，则向量对应的复数为
A.B.C.D.
5.在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为
A.B.C. D.
6.在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是
A.一班成绩比二班成绩集中B.一班成绩的上四分位数是80
C.一班有同学的成绩超过140分D.一班的平均分高于二班的平均分
7.某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D（如图所示）.现测得，，，在点C，D测得塔顶A的仰角分别为45°，60°，则塔高约为（精确到0.1m，参考数据：）
A.B.C.D.
8.在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中A和B是正确选项，C和D是错误选项，甲，乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则
A.事件M与事件N相互独立B.事件M与事件Y互为对立事件
C.事件X与事件Y相互独立D.事件N与事件Y为互斥事件
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数，则下列说法正确的是
A.B.
C.是纯虚数D.z在复平面内对应的点在第二象限
10.安徽师范大学位于安徽省芜湖市，是安徽省人民政府与中华人民共和国教育部共建高校、国家“中西部高校基础能力建设工程”项目高校.在该校建校96周年之际，为回馈师生，学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”，为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴。为调查该活动中同学们的参与情况，调查部门认为该活动大部分同学参与标志为连续调查10次，每次未参与的人数不超过7人.在过去10次中，甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下，一定符合该活动大部分同学参与标志的是
A.甲组：中位数为2，极差为5B.乙组：总体平均数为2，总体方差为3
C.丙组：总体平均数为1，总体方差大于0D.丁组：总体平均数为2，众数为2
11.已知正方体的体积为8，E是线段（不含端点）上的动点，下列说法正确的是
A.不存在点E，使得直线平面
B.对任意点E，直线都不垂直于平面
C.过，，E的平面截该正方体所得的截面面积为
D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是_______.
13.底面半径为1，母线长为的圆锥的外接球的表面积为_______.
14.在中，，，点P在直线上，若的面积为4，则的最小值是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知向量，，其中，.
（1）求；
（2）求.
16.（15分）
马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内，居皖南旅游带中部，风景奇特，文化底蕴深厚，素有“皖南张家界，江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平，对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷，根据所得评分，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a的值；
（2）景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品，由于纪念品数量有限，只对评分排在前13%的游客赠送，求收到纪念品的游客分数不低于多少?
（3）若从评分在的游客中随机抽出两位游客，求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，G分别为线段，的中点，F为线段上的点.
（1）若，平面平面，求线段的长度．
（2）证明：平面平面；
（备注：用空间向量解答不给分）
18.（17分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求A；
（2）若D为上一点，平分，且，，求的面积.
19.（17分）
如图，在梯形中，，，．把沿翻折，使得二面角的平面角为，M，N分别是和中点.
（1）若，E是线段的中点，动点F在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点F的轨迹的长度.
（2）若，P，Q分别为线段，上异于端点的点，满足，记分别与，所成角为，，若，求的取值范围.
（3）若，求二面角的正切值.
2023-2024学年第二学期芜湖市中学教学质量监控
高一年级数学试题卷答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.）
12.13.14.
四、解答题
15.解：（1）由于，，因此；
（2），所以.
16.解：（1）由，解得；
（2）设收到纪念品的游客评分不低于x分
因为，对应的频率分别为0.15，0.1
所以，解得
故收到纪念品的游客评分不低于88.
（3）有人，分别记为a，b
有人，分别记为1，2，3，4，5，6
记事件A为“在评分在中随机抽两人，至少一人评分在”，则
所以
（或，则.
17.解：（1）由题知，由，得
由平面平面，平面平面，平面平面
所以，又E为线段的中点，得F为线段上的中点
所以
（2）由平面，平面，所以
又底面是正方形，所以
因为，，平面，所以平面
又平面，所以
因为，E为线段的中点，所以
又，，平面，得平面.
又平面，平面平面.
18.解：（1）因为
由正弦定理得
化简得
又因为
所以
由于，所以
则，即
（2）因为
所以，即
由余弦定理知.即
所以，解得或（舍去）
所以.
19.解：（1）在梯形中，易得四边形是正方形，则在三棱锥中有，，，，平面.所以平面，二面角的平面角即为.
分别取，的中点为F，O，连接，，则，平面，平面，所以平面，同理平面，由于，，平面，故平面平面，平面，故点F的轨迹为三角形，因此点F的轨迹长度为.
（2）在线段取点R使得，则，.由于平面，平面，所以，即，易得，，且.若，则，即，即，又，得.
（3）作于点S，作于点T，连.
由，得是边长为的等边三角形，则S为的中点，且.由S为的中点，易得.由平面，平面，得，又，，得平面，又，得，又，，得平面，则即为二面角的平面角，故其正切值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
A
C
B
D
题号
9
10
11
答案
BC
AB
BCD