安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

这是一份安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题，文件包含安徽省芜湖一中2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题原卷docx、安徽省芜湖一中2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
时间：120分钟；满分：150分
第I卷
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若AB=(−1,2,3)，BC=(1,−1,−5)，则|AC|=( )
A. 5B. 10C. 5D. 10
【答案】A
解：∵AB=(−1,2,3)，BC=(1,−1,−5)，
∴AC=AB+BC=(0,1,−2)，
则|AC|= 02+12+(−2)2= 5．
2.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=23OA，BN=NC，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. 12a+12b−12c
C. −23a+23b+12cD. −23a+12b+12c
【答案】D
解：由题知，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=23OA，BN=NC，
如图，
所以ON=12OB+12OC，
所以MN=MO+ON=−23OA+12(OB+OC)=−23a+12b+12c，
3.过P(0,2)点作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y−14=0距离的最小值为( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
【答案】C
【解答】解：过点(0,2)作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，
直线x+my−4=0过定点M(4,0)，
点P(0,2)，M(4,0)的中点N(2,1)，
∵PQ垂直直线x+my−4=0，
∴点Q在以点N(2,1)为圆心，
以|PN|= (2−0)2+(1−2)2= 5为半径的圆上，
其圆的标准方程为：(x−2)2+(y−1)2=5，
圆心N(2,1)到直线x+2y−14=0点距离：
d=|2+2−14| 5=2 5．
∴Q到直线x+2y−14=0的距离最小值为：2 5− 5= 5．
故选：C．
4.已知等差数列{an}满足a1+a4+a19=6，则a3+a13=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
解：∵a1+a4+a19=3a1+21d=3a8=6，∴a8=2，a3+a13=2a8=4．
故选B．
5.若直线l经过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(0,−5)到它的距离相等，则l的方程为( )
A. 4x−y−2=0B. 4x−y+2=0
C. x=1或4x−y−2=0D. 4x−y+2=0或x=1
【答案】C 解：根据题意，分情况讨论可得：
(1)当两个点A(2,3)，B(0,−5)在所求直线的异侧时，
即过线段AB的中点(1,−1)．
此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为x=1；
(2)当A(2,3)，B(0,−5)在所求直线同侧时，
直线AB与所求的直线平行，
又因为kAB=3−(−5)2−0=4，
所以所求的直线斜率为kl=kAB=4，
∴直线方程为y−2=4(x−1)，
∴化简得：4x−y−2=0，
综上，满足条件的直线为4x−y−2=0或x=1，
6.圆x2+y2−ax−2y+1=0关于直线x−y−1=0对称的圆的方程是x2+y2−4x+3=0，则a的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C 由于圆x2+y2−ax−2y+1= 0的圆心为M(a2,1)，圆x2+y2− 4x+3=0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x−y−1=0对称，故有1−0a2−2×1=−1，解得a=2．
7.如图，F1、F2是椭圆C1：x2a2+y2b2=1与双曲线C2：x22−y2=1的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C1的离心率是( )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 62
【答案】C
【解析】解：由题知|F1F2|=2 3，
∵|AF2|−|AF1|=2 2，|AF2|+|AF1|=2a，
∴|AF2|=a+ 2，|AF1|=a− 2.
在RtΔF1AF2中，∠F1AF2=90∘，
∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即(a− 2)2+(a+ 2)2=(2 3)2，
∴a=2，∴e=ca= 32.
故选：C
8.已知曲线E:x|x|−y|y|=2，则下列结论中错误的是( )
A. 曲线E与直线y=x无公共点
B. 曲线E上的点到直线y=x的最大距离是 2
C. 曲线E关于直线y=−x对称
D. 曲线E与圆x2+y2=3有三个公共点
【答案】D
【解析】解：对于A选项，联立y=xx|x|−y|y|=2，
将y=x代入x|x|−y|y|=2，得x|x|−x|x|=0≠2，所以曲线E与直线y=x无公共点，A选项正确;
对于B选项，曲线E上的点到直线y=x的最大距离是 2，即圆弧x2+y2=2(x≥0,y≤0)的半径，所以B选项正确.
对于C选项，点(x,y)满足x|x|−y|y|=1直线y=−x对称的对称点是(−y,−x)，将点(−y,−x)代入x|x|−y|y|=1
得−y|−y|−(−x)|−x|=1，整理得x|x|−y|y|=1，所以曲线E关于直线y=−x对称，C选项正确;
曲线E:x|x|−y|y|=2，
当x310 ，则 10x−3>0 ，可得 csa,b>0 ，
若 a,b 共线，则 1−3=1x=x9 ，解得 x=−3310 时， a,b 不共线，
∴ 为锐角，故D正确；
10.已知曲线C:x2m2+2+y2m=1(m∈R)，则下列结论正确的是( )
A. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为2 m
B. 若mm对任意的m恒成立，
故曲线C不可能表示一个圆，选项C错误;
若曲线C是椭圆，则m>0，
因为m2+2>m，
所以椭圆C:x2m2+2+y2m=1的焦点在x轴上，
故其长轴长为2 m2+2，选项A错误;
若m=1，则曲线C为椭圆，方程为x23+y2=1，焦点坐标为± 2,0，
当过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为2 3；
当过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为x=ny+ 2，与椭圆C的两个交点分别为Ax1,y1,Bx2,y2，
由x23+y2=1x=ny+ 2，可得n2+3y2+2 2ny−1=0，
则有Δ=8n2+4n2+3=12n2+1>0y1+y2=−2 2nn2+3y1y2=−1n2+3,
AB= 1+n2y1−y2= 1+n2· y1+y22−4y1y2
= 1+n2· −2 2nn2+32−4×−1n2+3
= 1+n2·2 3n2+1n2+3=2 3·n2+1n2+3=2 31−2n2+3⩾2 33，
当n=0时，上式不等式可取等号，即ABmin=2 33，
综上，可知椭圆C:x23+y2=1中过焦点的最短弦长为2 33．
选项D正确．
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 平面FCC1⊥平面BEP
B. 直线BE与GC1所成角的余弦值为14
C. 平面BED1与平面BCC1B1夹角的余弦值为 66
D. 点P到直线CD的距离的最小值为1
【答案】AC
解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则E(1,0,0)，B(2,2,0)，F(2,1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
所以EB=(1,2,0)，CC1=(0,0,2)，CF=(2,−1,0)，
所以EB⋅CC1=0，EB⋅CF=0，所以EB⊥CF，EB⊥CC1，
又CF∩CC1=C，CF，CC1⊂平面FCC1，
所以EB⊥平面FCC1，又EB⊂平面BEP，
所以平面FCC1⊥平面BEP，故A正确;
因为G(1,2,0)，所以GC1=(−1,0,2)，
所以cs=GC1⋅EB|GC1||EB|=−1 1+4× 1+4=15，
所以直线BE与GC1所成角的余弦值为15，故B错误；
因为D1(0,0,2)，所以ED1=(−1,0,2)，设平面BED1的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅EB=x+2y=0,n⋅ED1=−x+2z=0,
令x=2，解得y=−1，z=1，所以n=(2,−1,1)，
又易得平面BCC1B1的一个法向量为DC=(0,2,0)，
设平面BED1与平面BCC1B1的夹角为θ，
所以csθ=|cs|=n⋅DC|n||DC|=2 4+1+1×2= 66，
即平面BED1与平面BCC1B1夹角的余弦值为 66，故C正确;
设FP=λFD1=(−2λ,−λ,2λ)(0≤λ≤1)，
所以DP=DF+FP=(2−2λ,1−λ,2λ)，
所以cs=DP⋅DC|DP||DC|=1−λ (2−2λ)2+(1−λ)2+(2λ)2=1−λ 9λ2−10λ+5，
所以点P到直线CD的距离d= DP2−DP2cs = 8λ2−8λ+4= 8(λ−12)2+2≥ 2，
当且仅当λ=12时，等号成立，所以点P到直线CD的距离的最小值为 2，D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点(−1,2)且与圆(x−1)2+y2=4相切的直线方程为__________．
【答案】x=−1或y=2
解：当x=−1，y=2时，(x−1)2+y2=−1−12+22=8，所以点(−1,2)在圆外，
由标准方程可知，圆心为(1,0)，半径为2，
当所求切线斜率不存在时，方程为x=−1，
圆心到该直线的距离为d=2和半径相等，所以x=−1是所求切线；
当所求切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y−2=k(x+1)，
即kx−y+k+2=0，圆心到直线的距离d=k+k+2 k2+1=2，解得k=0，所以切线方程为y=2，
综上所述，切线方程为x=−1或y=2；
13.已知正项数列an中，a1=1，a2= 3，an+12−an2=an2−an−12n≥2，则数列1an+an+1的前60项和为_________．
【答案】5
解：由an+12−an2=an2−an−12(n⩾2)，得an+12+an−12=2an2，
所以数列an2是首项为a12=1，公差为a22−a12=3−1=2的等差数列，
所以an2=1+2(n−1)=2n−1，
又因为an>0，所以an= 2n−1，
所以1an+an+1=1 2n−1+ 2n+1=12 2n+1− 2n−1，
所以数列1an+an+1的前n项和为Sn =1a1+a2+1a2+a3+…+1an+an+1=12 3−1+12 5− 3+12 7− 5+…+12 2n+1− 2n−1=12 2n+1−1，
令n=60，则S60=12 2×60+1−1=5．
故答案为5．
14.如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC= 2，现将ΔBCD沿对角线BD折成二面角C−BD−A，使AC⊥BC，则异面直线AB和CD所成角为___________.
【答案】600
【解析】解：取AB中点M，连接CM.
∵AC⊥BC，AB=2，BC= 2∴AC= 2=BC，∴CM⊥AB.
取BD中点H，∴MH//AD.∵AD⊥AB，∴MH⊥AB.
分别以M为原点，AB， MH， MC所在直线分别为x， y， z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0,1)，D(−1, 2,0)，
则AB=(2,0,0)，CD=(−1, 2,−1)，
故cs=AB⋅CD|AB|⋅|CD||=−22×2=−12，
又因为两异面直线的夹角范围是(0∘,90∘],
故异面直线AB和CD所成角为为60∘，故答案为60∘，
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，且∠APB=∠APC=∠BPC=π3,PA=3,PB=PC=2，M是PD的中点．
(1)若BD=mPA+nPB+pPC，求m+n+p的值；
(2)求线段BM的长．
【答案】解：(1)BD=BA+BC=(PA−PB)+(PC−PB)=PA−2PB+PC，
∴m+n+p=0；
(2)BM=PM−PB=12PD−PB
=12(PC+CD)−PB=12(PC+PA−PB)−PB
=12(PC+PA)−32PB，
∴BM2=[12(PC+PA)−32PB]2
=14(PC2+PA2+2PC·PA)−32PB·PC−32PA·PB+94PB2
=14(4+9+2×2×3×csπ3)−32×2×2×csπ3−32×3×2×csπ3+9
=194−3−92+9
=254．∴BM=52．
16.(本小题15分)
已知斜率k=−12且过点A5,−4的直线与直线：x−2y−5=0相交于点C．
(1)求以点C为圆心且过点B4,2的圆C的标准方程；
(2)求过点Q−3,1且与(1)中的圆C相切的直线方程．
【答案】解：(1)l1：y+4=−12(x−5)即x+2y+3=0，l2：x−2y−5=0；
由x+2y+3=0x−2y−5=0，得x=1y=−2，即C(1,−2)．
因为B(4,2)，所以|CB|=5；
所以圆C的方程为：(x−1)2+(y+2)2=25；
(2)因为点Q(−3,1)在圆C上，设过Q点圆的切线方程为l，
当l斜率不存在的时候，x=−3符合题意，
当l斜率存在，可设为k，
则l的方程为y−1=k(x+3)即kx−y+3k+1=0，
点C(1,−2)到直线l的距离为d=|4k+3| k2+1=5，
即k=43，
即所求直线的方程为4x−3y+15=0，
所以过Q点圆C的切线方程为方程4x−3y+15=0或x=−3．
17.(本小题15分)
如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．
(I)求证：A1E⊥平面BCDE；
(II)求二面角E−A1D−B的余弦值；
(III)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BP？若存在，求出BPBD的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：(I)证明：因为DE⊥AB，
所以BE⊥DE．
又因为BE⊥A1D，DE∩A1D=D，DE,A1D⊂平面A1DE，
所以BE⊥平面A1DE．
因为A1E⊂平面A1DE，
所以A1E⊥BE．
又因为A1E⊥DE，BE∩DE=E，BE,DE⊂平面BCDE，
所以A1E⊥平面BCDE．
(II)解：因为A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，
所以以E为原点，分别以EB，ED，EA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(0, 3,0)，A1(0,0,1)．
所以BA1=(−1,0,1)，BD=(−1, 3,0)．
设平面A1BD的法向量n=(x,y,z)，
由n⋅BA1=−x+z=0n⋅BD=−x+ 3y=0，令y=1，得n=( 3,1, 3).
因为BE⊥平面A1DE，所以平面A1DE的法向量EB=(1,0,0)，
所以cs=n⋅EB|n|⋅|EB|= 3 7= 217．
因为所求二面角为锐角，
所以二面角E−A1D−B的余弦值为 217．
(III)假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BP．
设P(x1,y1,z1)，BP=λBD(0≤λ≤1)，
则(x1−1,y1,z1)=λ(−1, 3,0)．
所以P(1−λ, 3λ,0)．
所以EA1=(0,0,1)，EP=(1−λ, 3λ,0)．
设平面A1EP的法向量m=(a,b,c)，
由m⋅EA1=c=0m⋅EP=(1−λ)a+ 3λb=0，得c=0(1−λ)a=− 3λb,
令a= 3λ，得m=( 3λ,λ−1,0).
因为平面A1EP⊥平面A1BP，
所以m⋅n=3λ+λ−1=0，解得λ=14∈[0,1]，
所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BP，且BPBD=14．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，其四个顶点构成的四边形面积为2 2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点，AP//OM,BP//ON.
①证明：kOMkON为定值；
②ΔOMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为12⋅2a⋅2b=2 2，且e=ca= 22，
所以a= 2，b=c=1，椭圆的方程是x22+y2=1
(2)①由题意可得A(− 2,0)，B( 2,0)，设P(x0,y0)，可得x022+y02=1，
即x02+2y02=2，则kAPkBP=y0x0− 2⋅y0x0+ 2=y02x02−2=−12
因为AP//OM，BP//ON，则kAPkBP=kOMkON=−12
②易知直线l的斜率存在，设直线l:y=kx+n，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立直线y=kx+n和x2+2y2=2，可得(1+2k2)x2+4knx+2n2−2=0，
可得∴x1+x2=−4kn1+2k2，x1x2=2n2−21+2k2，
y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+nk(x1+x2)+n2，
由kOM⋅kON=y1y2x1x2=k2+−4k2n22n2−2+n2(2k2+1)2n2−2=−12，
可得n2=k2+12
由弦长公式可得，|MN|= 1+k2⋅|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2⋅ (−4kn1+2k2)2−4(2n2−21+2k2)= 1+k21+2k2⋅ 16k2n2−8(n2−1)(2k2+1)=2 1+k2 2k2+1
点(0,0)到直线l的距离为d=|n| k2+1== 12+k2 k2+1，
所以S△OMN=12d|MN|= 22，
综上可知，△OMN的面积为定值 22.
19.(本小题17分)
“m−外观数列”(设m各位上的数字均不为0)是指以下特点的整数序列：它以正整数m开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．
比如11−外观数列为：
第一项：11，
第二项：21(描述第一项为2个1)，
第三项：1211(描述第二项为1个2，1个1)，
第四项：111221(描述第三项为1个1，1个2，2个1)，
第五项：312211(描述第四项3个1，2个2，1个1)．
(1)求“31−外观数列”的第三项和第五项;
(2)若从“m−外观数列”(1≤m≤999)中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率;
(3)证明：当m是六位数时，“m−外观数列”从首项开始最多连续4项单调递减．
【答案】【解答】解：(1)第三项为111321，第五项为132113111221；
(2) ①m为一位数时，第2项为两位数，不符合；
②m为两位数时，即m为aa时，第二项为2a，当a大于2时第二项小于第一项，此时有7个符合。当m由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合；
③m为三位数时，即m为aaa时，第二项为3a，第二项小于第一项，此时有9个符合。当m由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合．
综上，总共有16个数列符合，在所有数列中含0的数有9+9+162=180个，故总数为999−180=819个，故第二项小于第一项的概率为16819．
(3)证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第i项为ai．
①若m只有一个数字串，即m=a1=aaaaaa，则a2=6a。若a≠6，则a3为4位数，a3>a2;若a=6，则a3=26，a4=1216>a3，两种都不存在连续4项单调递减．
②若m只有两个数字串，即m=a1=a⋯ap个b⋯bq个(p+q=6,a≠b)，则a2=paqb;
若p≠a，则a2至少三个数字串，a3至少是6位数，a3>a2，不存在连续4项单调递减;
若p=a，此时a2=aaqb，同理q=a或q=b，否则a3>a2;
若q=b，则a+b=6，a2=aabb;当a=2，b=4时，a3=2224，a4=3214>a3;
当a=4，b=2时，a3=2422，a4=121422>a3，两种都不存在连续4项单调递减;
若q=a，则2a=6，a=3，a2=333b，a3=331b;
若b≠1，则a4>a3，不符合题意;
若b=1，则a4=2321，a5=12131211>a4，此时a1>a2>a3>a4a2，不存在连续4项单调递减；
当p=a时，同理q=a或q=b，r=b或r=c；
若q=a，r=b，则a2=aaabbc，2a+b=6，a3=3a2blc，同理a=3或a=2，又a=3时，b=0，矛盾，
若a=2，b=2，与a≠b矛盾。若q=a，r=c，则a2=aaabcc，
2a+c=6，a3=3alb2c，同理a=3或a=1，又a=3时，c=0，矛盾，若a=1，c=4，a3=311b24，则a4>a3，不存在连续4项单调递减。同理可得q=b，r=b，和q=b，r=c不存在连续4项单调递减．
④若m有四个以上数字串，则a2>a1，不存在连续4项单调递减.所以当m是六位数时，“m−外观数列”从首项开始最多连续4项单调递减．