安徽师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考查数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考查数学试卷（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若向量，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ）
A．或B．C．D．
3．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若直线和平面满足，，不在平面内，则
B．若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面
5．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直B．
C．D．该船到达对岸所需时间为3分钟
6．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中，，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体表面积为（ ）

A．B．C．D．
7．已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（ ）
A．20B．C．10D．
8．在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反
B．向量的长度与向量的长度相等
C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D．若与同向，且，则
10．下列关于非零复数、的结论正确的有（ ）
A．已知，则、不一定为共轭复数
B．若，则
C．若为纯虚数，则
D．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为3π
11．已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．正三棱台的高为
B．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内
C．点P的轨迹长度为
D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题
12．在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长1cm的正方体），用来展示NaCl晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是______.
13．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________．
14．中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为S，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知向量.
(1)设求；
(2)若 与垂直，求的值.
16．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，若，且.
(1)求角C及边c的值；
(2)求的取值范围.
17．如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且.
(1)证明：平面；
(2)求四棱锥与三棱锥的体积之比.
18．如图在直角梯形中，，，点E为的中点，以A为圆心为半径作圆交于点G，点P为劣弧（包含D，G两点）上的一点，与劣弧、分别交于点F，H．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若向量，求实数x，y的值；
(3)求向量与的夹角的最大值．
19．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B距离的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的的三等分点上.设，，.
(1)用，表示，，；
(2)如果，海里，且，求岛屿C到补给站D的距离；
(3)若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值.
参考答案
1．B
【详解】
2．D
【详解】在中，，
由正弦定理得，
由，得，所以.
3．C
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
4．A
【详解】选项A：过直线作平面，设，
又∵，∴，又∵，∴
又∵且，∴.因此A正确.
选项B：如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行或异面，故B错误；
选项C：平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交，故C错误；
选项D：如果，是两条直线，且，那么平行于经过但不经过的任何平面，故D错误.
5．B
【详解】解：如图，
是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短，
，，故C错误；
设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误；
，故B正确；
该船到达对岸的时间为分钟，故D错误．
故选：B.
6．B
【详解】由题意，，，，，
，
如图，原四边形中，，，，，，
直角梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，故其表面积为：
．

7．B
【详解】设，由向量在上的投影向量的坐标为，
则，
故，即；
由在上的投影向量的坐标为，
则，
故，即；
即有，解得，则，
则.
8．A
【详解】
连接，与交于点，连接，交于G，连接，
由于平面，平面，平面平面，
所以，由于O是的中点，
所以，
过F作，交于H，则，
因为，所以，
所以.
9．BC
【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；
B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对；
C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；
D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.
10．ACD
【详解】对于A选项，不妨取，，则，
但、不互为共轭复数，故A正确；
对于B选项，不妨取，，则，
但，，即，故B错误；
对于C选项，由题意知，解得，得，所以，故C正确；
对于D选项，因为，
所以表示以点为圆心，半径为2的圆及其内部，
表示以点为圆心，半径为1的圆及其外部，
所以点所在的区域如图所示，
故点所在的区域的面积为，故D正确.
11．ABD
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确；
对于B，设的内切圆的半径为，则根据等面积法有：，解得，
因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且，
所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故B正确；
对于C，由A选项知，侧面，且，
因为点在侧面内（包含边界）运动，且
所以，
因为等边三角形的内切圆的半径为， 又，，
所以，点在侧面内的轨迹为弧和，
而,故，故为等边三角形，
所以，所以点的轨迹长度为，故C错误；
对于D，设正四面体的内切球的半径为，
由等体积法可得，解得，
因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球，
又因为，，，
所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确．
12．
【详解】根据图示正八面体的结构，底面为边长为的正方形，
正四棱锥的高为正方体棱长的一半即，
所以正八面体的体积为.
13．
【详解】由题意可得，大三角形为等边三角形，
又因为，且等边三角形，
所以，又因为，所以，
作垂直于直线于，
在直角中，，
所以，，
作垂直于直线于，根据等腰梯形的对称性可得：
，即，
所以大三角形的边长为4，，
以为原点，为轴，垂直于为轴，建立直角坐标系，
则，，
所以，作垂直于直线于，
在三角形中，，
，所以，
平移直线到，则，
所以，作垂直于直线于，
在三角形中，，
，所以，
根据图形关系可得，等腰梯形满足：，，腰长均为，
则，设，则，
因此：问题转化为求点横坐标的范围，
又因为等腰梯形最小横坐标为，最大横坐标为，
且对梯形内任意点，，
因此，即的取值范围是.
14．
【详解】由题
又，
令，
则
则有且时，原式取最小值.
15．(1);
(2).
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴．
（2），
由于与垂直，∴，∴．
16．(1)，
(2).
【详解】（1）由，
根据余弦定理，得，
因为，则.
由，得，
根据正弦定理，得，则.
（2）由正弦定理可得，，
则
.
由，得.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接，
由题可知，且.
则易有与相似，且相似比为1:2，即.
又，则，故，
因为平面，平面，故平面.
（2）设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为，
三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为，
三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，
由题有，
又，故，即，
则，又，
有，
即四棱锥与三棱锥的体积之比为.
18．(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）依题意可得，则，
所以以点为原点，，分别为，轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
显然向量与的夹角等于向量与的夹角，
所以．
（2）由，
又因为，，三点共线，所以，解得，
又，
所以，解得，．
（3）法一：取的中点，则，
所以以为直径的圆与圆外切，
因为圆周角大于圆外角，
所以的最大值为．
法二：设，，
且如（1）所建平面直角坐标系，则，
则，，
所以，
又，则，则，所以，
所以取到最小值0，即向量与的夹角的最大值为．
19．(1)，；
(2)；
(3)12公里.
【详解】（1）依题意，得，因为点为中点，所以，
又在靠近岛屿的的三等分点上所以，
又，，所以，
；
（2）依题意，得，即，
由可得，则，
又，所以，
所以，
所以岛屿到补给站的距离；
（3）由，可得，
即，
可得，即，
设，，由正弦定理知，
而
，所以，
因为，所以，得，
所以当，即时，取得最小值144，