安徽师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含解析（word版）

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1.本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
4.考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题: 共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 若向量 OA=1,−2,OB=1,−1 ，则 AB= ( )
A. −2,3 B. 0,1 C. −1,2 D. 2,−3
【答案】B
【解析】
【详解】 AB=OB−OA=1,−1−1,−2=1−1,−1−−2=0,1
2. 已知 a,b,c 分别为 VABC 的三个内角 A,B,C 的对边,若 a=23,b=22,A=60∘ ,则角 B= ( )
A. 45∘ 或 135∘ B. 135∘ C. 60∘ D. 45∘
【答案】D
【解析】
【详解】在 ✓ABC 中, a=23,b=22,A=60∘ ,
由正弦定理得 sinB=bsinAa=22×sin60∘23=22 ,
由 a>b ,得 A>B ,所以 B=45∘ .
3. 复数 z=3−4ii3 的虚部为( )
A. −4i B. -3i C. -3 D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】由复数乘法运算, 结合虚部概念即可求解.
【详解】因为 z=3−4ii3=−3−4ii=−4−3i ,
所以复数 z=3−4ii3 的虚部为 -3 .
4. 下列命题中正确的是 ( )
A. 若直线 a,b 和平面 α 满足 a//b,a//α,b 不在平面 α 内,则 b//α
B. 若直线 a 和平面 α 满足 a//α ，那么 a 与 α 内的任何直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 若 a,b 是两条直线,且 a//b ,那么 a 平行于经过 b 的任何平面
【答案】A
【解析】
【详解】选项 A: 过直线 a 作平面 β ,设 α∩β=c ,
又 ∵a//α,∴a//c, 又 ∵a//b,∴b//c
又 ∵b⊄α 且 c⊂α,∴b//α . 因此 A 正确.
选项 B: 如果直线 a 和平面 α 满足 a//α ,那么 a 与 α 内的任何直线平行或异面,故 B 错误;
选项 C: 平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交, 故 C 错误;
选项 D: 如果 a,b 是两条直线,且 a//b ,那么 a 平行于经过 b 但不经过 a 的任何平面,故 D 错误.
5. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 A 地出发，向河对岸航行. 已知船的速度 v1 的大小为 v1=8 km/h ，水流速度 v2 的大小为 v2=2 km/h ，船的速度与水流速度的合速度为 v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是( )
A. 船头方向与水流方向垂直
B. csv1,v2=−14
C. v=217 km/h
D. 该船到达对岸所需时间为 3 分钟
【答案】B
【解析】
【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断 C; 求解直角三角形可得判断 A; 结合诱导公式求得 csv1,v2 判断 B ; 求出船到达对岸的时间判断 D .
【详解】解: 如图,

A′ 是河对岸一点,且 AA′ 与河岸垂直,那么当这艘船实际沿 AA′ 方向行驶时船的航程最短,
v=v1+v2,v=v12−v22=82−22=215 ,故 C 错误;
设船头方向与 AA′ 的夹角为 θ ,则 sinθ=28=14 ,则船头方向与水流方向不垂直,故 A 错误;
csv1,v2=csπ2+θ=−sinθ=−14 ，故 B 正确；
该船到达对岸的时间为 t=400215×1000×60=4155 分钟,故 D 错误.
故选: B.
6. 如图,按斜二测画法所得水平放置的平面四边形 ABCD 的直观图为梯形 A′B′C′D′ 其中 A′B′//C′D′ , A′B′⊥B′C′,A′B′=4,D′C′=2 ，以原四边形 ABCD 的边 AD 为轴旋转一周得到的几何体表面积为( )
A. 123π+20π B. 56π C. 36πD. 11223π
【答案】B
【解析】
【详解】由题意， A′B′//C′D′,A′B′⊥B′C′,A′B′=4,D′C′=2 ,
∴A′D′=222=22 ,
如图，原四边形 ABCD 中， AB//CD,AB⊥AD,AB=4,DC=2,AD=2A′D′=42 ，
∴ 直角梯形 ABCD 以边 AD 为轴旋转一周得到的几何体为圆台,故其表面积为:
S=πCD2+πAB2+πCD+ABBC=4π+16π+6π×422+22=56π.
7. 已知向量 AC=1,2,AD=2,1 ，向量 AB 在 AC 上的投影向量的坐标为 −2,−4,AB 在 AD 上的投影向量的坐标为 4,2 ，则 AB= ( )
A. 20 B. 102 C. 10 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】设 AB=x,y ,借助投影向量定义计算可得 x+2y=−10,2x+y=10 ,解出即可得 AB ,再利用模长定义计算即可得.
【详解】设 AB=x,y ,由向量 AB 在 AC 上的投影向量的坐标为 −2,−4 ,
则 AB⋅ACAC⋅ACAC=x+2y12+22⋅AC12+22=x+2y5⋅AC=x+2y5,2x+2y5 ,
故 x+2y5=−2 ,即 x+2y=−10 ;
由 AB 在 AD 上的投影向量的坐标为 4,2 ,
则 AB⋅ADAD⋅ADAD=2x+y22+12⋅AD22+12=2x+y5⋅AD=22x+y5,2x+y5 ,
故 2x+y5=2 ,即 2x+y=10 ;
即有 x+2y=−102x+y=10 ,解得 x=10y=−10 ,则 AB=10,−10 ,
则 AB=102+−102=102 .
8. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， E ， F 分别为棱 PD ， PC 上的点， PEED=43 ，若
BF// 平面 AEC ,则 PFFC= ( )
A. 13 B. 25 C. 12 D. 23
【答案】A
【解析】
【分析】由线面平行的性质定理, 和线线平行, 线段对应成比例, 即可求解.
【详解】

连接 BD ,与 AC 交于点 O ,连接 DF ,交 CE 于 G ,连接 OG ,
由于 BF// 平面 AEC,BF⊂ 平面 BDF ,平面 BDF∩ 平面 AEC=OG ,
所以 BF//OG ,由于 O 是 BD 的中点,
所以 OBOD=GFGD=1 ,
过 F 作 FH//CE ,交 PD 于 H ,则 EDEH=DGGF=1 ,
因为 PEED=43 ,所以 PHHE=13 ,
所以 PFFC=PHHE=13 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 若 a=b ,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反
B. 向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量, 其终点必相同
D. 若 a 与 b 同向,且 a>b ,则 a>b
【答案】BC
【解析】
【详解】A: 向量的模相等只能说明长度相等, 但方向可以任意, 不一定相同或相反, 错;
B: 向量 AB 和 BA 的长度都等于线段 AB 的长度,因此相等,对;
C: 两个相等的向量具有相同的长度和方向, 若起点相同, 则终点必然重合, 对;
D: 由向量的性质知, 向量不能比较大小, 错.
10. 下列关于非零复数 z1、z2 的结论正确的有( )
A. 已知 z1⋅z2∈R ,则 z1、z2 不一定为共轭复数
B. 若 z1=z2 ,则 z12=z22
C. 若 z=m+1+m−1im∈R 为纯虚数,则 z=2
D. z1 在复平面内对应的点为 Z1 ,且满足 1≤z1−11+i≤2 ,则点 Z1 所在的区域的面积为 3π
【答案】ACD
【解析】
【分析】举例说明结合共轭复数的概念和复数的乘法公式计算即可判断 AB ; 根据复数的有关概念建立关于 m 的方程组,结合复数的几何意义计算即可判断 C ; 根据复数乘、除法运算,结合复数的几何意义计算即可求解.
【详解】对于 A 选项,不妨取 z1=1−i,z2=2+2i ,则 z1z2=1−i2+2i=4 ,
但 z1、z2 不互为共轭复数,故 A 正确;
对于 B 选项，不妨取 z1=1−i,z2=1+i ，则 z1=z2=2 ，
但 z12=1−i2=−2i,z22=1+i2=2i ,即 z12≠z22 ,故 B 错误;
对于 C 选项,由题意知 m+1=0m−1≠0 ,解得 m=−1 ,得 z=−2i ,所以 z=2 ,故 C 正确;
对于 D 选项,因为 11+i=1−i1+i1−i=12−12i ,
所以 z1−11+i=z1−12−12i≤2 表示以点 12,−12 为圆心,半径为 2 的圆及其内部,
z1−11+i=z1−12−12i≥1 表示以点 12,−12 为圆心,半径为 1 的圆及其外部,
所以点 Z1 所在的区域如图所示,
故点 Z1 所在的区域的面积为 π×22−12=3π ,故 D 正确.
11. 已知正三棱台 ABC−A1B1C1 ，上底面 A1B1C1 边长为 2，下底面 ABC 边长为 6，侧棱长为 4，点 P 在侧面 BCC1B1 内(包含边界)运动，且 AP=27,Q 为 CC1 上一点，且 CQ=3QC1 ，则下列说法正确的是( )
A. 正三棱台 ABC−A1B1C1 的高为 463
B. 高为 463 ，底面半径为 34 的圆柱可以放进该棱台内
C. 点 P 的轨迹长度为 23π
D. 过点 A,B,Q 的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 3π2
【答案】ABD
【解析】
【分析】延长正三棱台侧棱相交于点 O ,分析可知三棱锥 O−ABC 为正四面体,对于 A : 根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解; 对于 B ,根据三棱台 ABC−A1B1C1 的高及上底面内切圆的半径即可判断; 由 AP=27 得到 HP=2 ，进而根据等边三角形 OBC 的内切圆半径为 3 求得点 P 的轨迹，再求轨迹长度判断 C ; 设正四面体 OABC 的内切球的半径为 R ,利用等体积法得到 R=62 ,再结合题意可知过点 A,B , Q 的平面正好过该内切球的球心,进而得到截面面积即可判断 D .
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点 O ,由题意可知: OA=OB=OC ,
在等腰梯形 BCC1B1 中,因为 BC=6,B1C1=2,BB1=CC1=4 ,则 ∠B1BC=∠C1CB=60∘ .
即 △OBC 为等边三角形,可知三棱锥 O−ABC 为正四面体,且 OB1=2 .
对于 A : 设 H 为等边 △OBC 的中心,
由正四面体的性质可知: AH⊥ 侧面 OBC ,且 AH=62−632=26 ,
即 O 点到底面 ABC 的距离为 26 ，
又因为 OB1=2,BB1=4 ,所以正三棱台 ABC−A1B1C1 的高为 23×26=463 ,故 A 正确; 对于 B ,设 △A1B1C1 的内切圆的半径为 r ,则根据等面积法有: S△A1B1C1=34×22=12×6×r ,解得 r=33,
因为正三棱台 ABC−A1B1C1 的高为 463 ， △A1B1C1 的内切圆的半径为 33 ，且 33>34 ，
所以高为 463 、底面半径为 34 的圆柱可以放进该棱台内,故 B 正确；
对于 C ,由 A 选项知, AH⊥ 侧面 OBC ,且 AH=62−632=26 ,
因为点 P 在侧面 BCC1B1 内(包含边界)运动，且 AP=27
所以 PH=AP2−AH2=272−262=2 ,
因为等边三角形 OBC 的内切圆的半径为 3 ，又 OD1=13OD=3 ，
D1H=OH−OD1=23−3=3,
所以,点 P 在侧面 BCC1B1 内的轨迹为弧 EG⏜ 和 MN⏜ ,
而 HG=HM=2,HD=3 ,故 GM=2DG=2 ,故 △HGM 为等边三角形,
所以 ∠EHG=∠NHM=π3 ,所以点 P 的轨迹长度为 13×2π×2=4π3 ,故 C 错误;

对于 D ,设正四面体 OABC 的内切球的半径为 R ,
由等体积法可得 13S△ABC×26=4×13S△ABC⋅R ,解得 R=62 ,
因为 2R