2025届霞浦县高考压轴卷数学试卷含解析

这是一份2025届霞浦县高考压轴卷数学试卷含解析，共5页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，若集合，，则下列结论正确的是，已知集合，则，已知，已知抛物线，已知，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）
A．若m⊥α，n//α，则m⊥nB．若m//α，n//α，则m//n
C．若l⊥α，l//β，则α⊥βD．若α//β，lβ，且l//α，则l//β
3．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
4．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）
A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值
B．10年来全球新增装机容量连年攀升
C．10年来中国新增装机容量平均超过
D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过
5．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知（i为虚数单位，），则ab等于（ ）
A．2B．-2C．D．
8．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．5
9．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝_______．
14．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______
15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.
16．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．
18．（12分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值．
19．（12分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.
（1）求和的值；
（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．
21．（12分）设点，动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点，设，，求证：为定值.
22．（10分）记抛物线的焦点为，点在抛物线上，且直线的斜率为1，当直线过点时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，直线与交于点，，求直线的斜率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在中，因为，
所以，因为，
所以，，
结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，
所以，即，所以，
因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，
所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
2．B
【解析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.
【详解】
A．若，则在中存在一条直线，使得，则，又，那么，故正确；
B．若，则或相交或异面，故不正确；
C．若，则存在，使，又，则，故正确．
D．若，且，则或，又由，故正确．
故选：B
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
3．B
【解析】
求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解.
【详解】
解：，
一条渐近线
，
故选：B
利用的关系求双曲线的离心率，是基础题.
4．D
【解析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.
【详解】
中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.
故选：D
本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．D
【解析】
由题意，分析即得解
【详解】
由题意，故，
故选：D
本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
由题意和交集的运算直接求出.
【详解】
∵ 集合，
∴.
故选:C.
本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.
7．A
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．
【详解】
，
，得，．
．
故选：．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．
8．C
【解析】
由,再运用三点共线时和最小，即可求解.
【详解】
.
故选：C
本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．
9．B
【解析】
利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.
【详解】
由题意，，解得.
故选：B.
本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.
10．D
【解析】
分别解出集合然后求并集.
【详解】
解：，
故选：D
考查集合的并集运算，基础题.
11．D
【解析】
取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时， 最小，由 ，故，即可求解.
【详解】
取中点，过作面，如图：
则，故，
而对固定的点，当时， 最小．
此时由面，可知为等腰直角三角形，，
故.
故选：D
本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
12．D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．3
【解析】
双曲线的焦点在轴上，渐近线为，结合渐近线方程为可求.
【详解】
因为双曲线(a＞0)的渐近线为，且一条渐近线方程为，
所以.
故答案为：.
本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
14．
【解析】
先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求.
【详解】
解：的渐近线是
因为在渐近线上，所以
，
故答案为：
考查双曲线的离心率的求法，是基础题.
15．
【解析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。
【详解】
八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。
∴从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。
故答案为：。
本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。
16．
【解析】
设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率.
【详解】
设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点，
故，所以此点取自内的概率是．
故答案为：
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最小值为9，.
【解析】
（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；
（Ⅱ）设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同理求得点的横坐标，于是可得，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值.
【详解】
（Ⅰ）∵椭圆：，
长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，
∴，
又∵椭圆的离心率是，∴，，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，
联立得，
∴，，
∴．
过且与直线垂直的直线设为，
联立得，
∴，故，
∴，
面积．
令，则，，
令，则，即时，面积最小，
即当时，面积的最小值为9，
此时直线的方程为．
本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.
18．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）取BC的中点O，则，由是等边三角形，得，从而得到平面，由此能证明
（2）以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.
【详解】
（1）取BC的中点O，连接，，
由于与是等边三角形，所以有，，
且，
所以平面，平面，所以．
（2）设，是全等的等边三角形，
所以，
又，由余弦定理可得，
在中，有，
所以以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
所以二面角的余弦值为,
即二面角的余弦值为．
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.
19．（1），.（2），
【解析】
（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示和，再由公式或将组合数进行化简，得出最终结果.
【详解】
解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，
它们的范数依次为1，1，1，1，故，.
（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，
共有个，每个的范数为1；所以
，
.
因为，①
，②
得，，
所以.
解法1：因为，
所以.
.
解法2：得，.
又因为，所以
.
本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.
20．（1）；（2）①；②.
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；
（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．
【详解】
（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，
又由右准线方程为，得到，
解得，所以
所以，椭圆的方程为
（2）①设，而，则，
∵ ， ∴
因为点都在椭圆上，所以
，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，
所以
②由原点到直线的距离为，得，化简得：
联立直线的方程与椭圆的方程：，得
设，则，且
，
所以
的面积
，
因为在为单调减函数，
并且当时，，当时，，
所以的面积的范围为．
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
21．（1）；（2）见解析．
【解析】
（1）已知点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得曲线的方程；
（2）设直线方程为，，则，设，由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得，，由，，用横坐标表示出，然后计算，并代入，可得结论．
【详解】
（1）设动圆圆心，由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，解得．
∴曲线的方程为；
（2）证明：设直线方程为，，则，设，
由得，①，
则，，②，
由，，得
，，
整理得，，
∴，代入②得：
．
本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，直线方程代入抛物线（或圆锥曲线）方程得一元二次方程，应用韦达定理得，，代入题中其他条件所求式子中化简变形．
22．（1）（2）0
【解析】
（1）根据题意，设直线，与联立，得，再由弦长公式，求解.
（2）设，根据直线的斜率为1，则，得到，再由，所以线段中点的纵坐标为，然后直线的方程与直线的方程 联立解得交点H的纵坐标，说明直线轴，直线的斜率为0.
【详解】
（1）依题意，，则直线，
联立得；
设，
则，
解得，故抛物线的方程为.
（2），
因为直线的斜率为1，则，所以，
因为，所以线段中点的纵坐标为.
直线的方程为，即 ①
直线的方程为，即 ②
联立①②解得即点的纵坐标为，即直线轴，
故直线的斜率为0.
如果直线的斜率不存在，结论也显然成立，
综上所述，直线的斜率为0.
本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
累计装机容量
158.1
197.2
237.8
282.9
318.7
370.5
434.3
489.2
542.7
594.1
新增装机容量
39.1
40.6
45.1
35.8
51.8
63.8
54.9
53.5
51.4