第40讲　机械振动——2027届高三物理一轮复习讲义（含答案）

这是一份第40讲　机械振动——2027届高三物理一轮复习讲义（含答案），文件包含专题08圆与相似三角形四边形综合原卷版pdf、专题08圆与相似三角形四边形综合解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
一、简谐运动
1．定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向 平衡位置 ，这样的运动就是简谐运动。
2．平衡位置：物体在振动过程中 回复力 为零的位置。
3．回复力
(1)定义：使物体返回到 平衡位置 的力。
(2)方向：总是指向 平衡位置 。
(3)性质：属于 效果 力。
(4)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的 合力 或某个力的 分力 。
4．描述简谐运动的物理量
5.简谐运动的两种模型的比较
二、简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝_－kx__，其中“－”表示回复力方向与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝_Asin(ωt＋φ)__，ωt＋φ为 相位 ，φ为 初相 ，ω为圆频率，ω与周期T的关系为ω＝ eq \f(2π,T) 。
2．简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的 位移 随时间变化的规律，是一条正弦曲线。
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动。
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于 驱动力 的频率，与物体的固有频率 无关 。
2．共振
(1)概念：当驱动力的频率等于物体的 固有频率 时，物体做受迫振动的振幅达到 最大 的现象。
(2)共振的条件：驱动力的频率等于物体的 固有频率 。
(3)共振的特征：共振时 振幅 最大。
(4)共振曲线(如图所示)。
f＝f0时，A＝ Am ，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅 越小 。
1．简谐运动是匀变速运动。( × )
2．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。( √ )
3．振幅等于振子运动轨迹的长度。( × )
4．简谐运动的回复力可以是恒力。( × )
5．弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。( √ )
6．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。( × )
7．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。( √ )
8．简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。( × )
简谐运动的基本特征及应用
(能力考点·深度研析)
简谐运动的五个特征
1．受力特征：回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，与x的方向相反。
2．运动特征：靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小。
3．能量特征：振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。
4．周期性特征：质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)。
5．对称性特征
(1)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
(3)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(4)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(5)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
►考向1 简谐运动中各物理量的分析
下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动，与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图甲所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的重力势能一直增大
B．x从0.20 m到0.30 m时，木棒加速度方向竖直向下，逐渐增大
C．木棒的重力大小为eq \f(F1－F2,2)
D．木棒实际的运动是简谐运动
►考向2 简谐运动的周期性和对称性
如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为( )
A．3 s、6 cm B．4 s、6 cm
C．4 s、9 cm D．2 s、8 cm
►考向3 简谐运动的对称性的综合应用
如图所示，一轻弹簧上端与质量为m的物体A相连，下端与地面上质量为2m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，现对A施加一向上的恒力F而使A从静止开始向上运动，弹簧始终处在弹性限度以内，重力加速度取g。为了保证运动中B始终不离开地面，则F最大不超过( )
A．mg B．eq \f(3,2)mg
C．eq \f(5,2)mg D．3mg
简谐运动的公式和图像
(能力考点·深度研析)
1．简谐运动的振动方程和图像
(1)从平衡位置开始计时：x＝Asin ωt，如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时：x＝Acs ωt，如图乙所示。
(3)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
2．图像信息
(1)确定振动质点在任一时刻的位移：图中t1、t2时刻的位移分别为x1＝7 cm，x2＝－5 cm。
(2)确定振动的振幅、周期和频率：图中的振幅A＝10 cm。周期T＝0.2 s，频率f＝eq \f(1,T)＝5 Hz，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期。
(3)确定质点的振动方向：图中的t1、t3时刻，质点向正方向运动；t2时刻，质点向负方向运动。
(4)确定质点加速度的大小和方向：由于回复力总是指向平衡位置，所以加速度在图像上总是指向t轴，图中t1时刻加速度a1为负，t2时刻加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。
►考向1 简谐运动公式的应用
►考向2 简谐运动的图像
(2024·河北卷)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x－t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为( )
A．0.2 rad/s,1.0 m B．0.2 rad/s,1.25 m
C．1.26 rad/s,1.0 m D．1.26 rad/s,1.25 m
【跟踪训练】
(简谐运动的公式和图像)如图所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下列说法不正确的是( )
A．t＝1 s到t＝2 s内，弹簧振子的动能不断减小
B．该弹簧振子的振动方程为x＝－10sin eq \f(π,2)t cm
C．t＝3 s时，弹簧振子的加速度沿x轴负方向
D．t＝0到t＝10 s弹簧振子的路程为100 cm
单摆及其周期公式
(基础考点·自主探究)
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝eq \f(mv\\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(v\\al(2,max),l)。
2．周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的理解
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
说明：在不同星球表面：g′＝eq \f(GM,R2)，M为星球的质量，R为星球的半径。
3．等效摆长及等效重力加速度
有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝2πeq \r(\f(l′,g′))，其中g′和l′的意义如下：
(1)l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋Lcs α。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中靠近A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。
(2)g′——等效重力加速度一般情况下，g′＝eq \f(F,m)，F为单摆摆球相对于摆动圆弧的圆心静止时，摆线或圆弧轨道对摆球的作用力，如图丙中g′＝eq \f(mgsin α,m)＝gsin α。如图丁中g′＝eq \f(F,m)＝eq \f(mg＋Eq,m)。
【跟踪训练】
(单摆、振动图像)(2024·甘肃卷)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
(类单摆模型)如图所示，“杆线摆”可以绕着固定轴OO′来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动。轻杆水平，杆和线长均为L，重力加速度为g，摆角很小时，“杆线摆”的周期为( )
A．2πeq \r(\f(\r(3)L,g)) B．2πeq \r(\f(L,g))
C．2πeq \r(\f(2L,g)) D．2πeq \r(\f(2\r(3)L,3g))
(单摆周期公式与万有引力定律的综合应用)在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律。法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比为单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系。已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为( )
A．T＝2πreq \r(\f(GM,l)) B．T＝2πreq \r(\f(l,GM))
C．T＝eq \f(2π,r)eq \r(\f(GM,l)) D．T＝2πleq \r(\f(r,GM))
简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
(基础考点·自主探究)
【跟踪训练】
(对受迫振动和共振的理解)飞力士棒(Flexi－bar)是德国物理治疗师发明的一种康复器材，它由一根PVC软杆、两端的负重头和中间的握柄组成，棒的固有频率为4.5 Hz，如图所示。下列说法正确的是( )
A．用力越大，棒振动的越快
B．增大手驱动的频率，棒的振幅一定变大
C．增大手驱动的频率，棒的振动频率可能减小
D．双手驱动该棒每分钟振动270次，则棒的振幅最大
(共振曲线)(多选)如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动时的共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)，重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是(π2≈10)( )
A．此单摆的固有周期为2 s
B．此单摆的摆长约为2 m
C．若仅摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若仅摆长增大，共振曲线的峰将向左移
提能训练 练案[40]
基础巩固练
题组一 简谐运动的特征与图像
1．(2024·福建卷)某简谐振动的y－t图像如图所示，则以下说法正确的是( )
A．振幅为2 cm
B．频率为2.5 Hz
C．0.1 s时速度为0
D．0.2 s时加速度方向竖直向下
2．如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则( )
A．该振子振动周期是2 s，振幅是6 cm
B．该振子振动频率是2 Hz
C．小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
3．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动，可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( )
A．0.5 s B．0.75 s
C．1.0 s D．1.5 s
题组二 单摆 受迫振动和共振
4．如图所示，房顶上固定一根长2.5 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点)。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球从最左端运动到最右端所用的最短时间为( )
A．2.0π s B．0.4π s
C．0.6π s D．1.2π s
5．共振筛由偏心轮、筛子、弹簧等组成，偏心轮转动过程给筛子一个驱动力，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期，已知12 V电压下偏心轮的转速为30 r/min，则下列说法中正确的是( )
A．电压为12 V时，筛子实际振动的频率是0.8 Hz
B．电压从12 V开始减小，筛子有可能会共振
C．保持12 V电压不变，减小筛子的质量，筛子有可能会共振
D．若只改变电压，筛子的固有周期不变，仍为1.25 s
6．(2025·台州八校联盟联考)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂着a、b、c、d四个摆。当a摆振动的时候，其余各摆在a摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b摆的振动图像如图乙。下列说法正确的是( )
A．稳定时b摆的振幅最大
B．稳定时d摆的周期最小
C．由图乙可以得到b摆的固有周期
D．由图乙可以得到a摆的固有周期
能力提升练
7.如图所示，倾角为30°的光滑劈形木块固定在地面上，现将一长度为l的轻绳一端固定在O′点，另一端系有质量为m的小球，初始状态下小球静止在斜面上的O点，现将小球沿斜面拉开倾角θ(θ很小)后由静止释放，小球运动到最低点时的速度为v，不计空气阻力，小球的运动与单摆运动相似，已知重力加速度为g，则小球从最高点第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球运动的周期为2πeq \r(\f(l,g))
B．重力做功的平均功率为eq \f(mv2,π)eq \r(\f(g,2l))
C．重力的冲量大小为mv
D．小球运动到最低点时重力的瞬时功率为mgv
8．将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行(图甲)，让秋千以小摆角(小于5°)自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的加速度a与时间t的关系图，如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．秋千从摆动到停下的过程可看作受迫振动
B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力
C．秋千摆动的周期为t2－t1
D．该地的重力加速度g＝eq \f(4π2L,t3－t12)
9.如图所示是一座水平固定放置的弧形槽，其底面是矩形平面，上表面ABCD是半径R＝10 m的光滑圆弧面，直边AD＝BC＝1.57 m，圆弧边AB和CD平行且等长为0.5 m，B、C是弧面最低点且切线水平。现有一个可看作质点的小球，以沿AD方向的初速度v从A点开始沿弧面运动，恰好能运动到C点。重力加速度g＝10 m/s2，则v的大小约为( )
A．0.5 m/s B．1.0 m/s
C．1.5 m/s D．2.0 m/s
10. (多选)(2025·湖北十堰市检测)如图所示，质量为1.44 kg的小球(视为质点)在B、C两点间做简谐运动，O点是它振动的平衡位置。若从小球经过O点开始计时，在t1＝0.1 s时刻小球第一次经过O、B两点间的M点(图中未画出)，在t2＝0.5 s时刻小球第二次经过M点，已知弹簧振子的周期T＝2πeq \r(\f(m,k))，其中m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数，取π2＝10，则下列说法正确的是( )
A．弹簧振子的周期为1.2 s
B．弹簧的劲度系数为80 N/m
C．在t3＝1.3 s时刻，小球第四次经过M点
D．O、M两点间的距离为5 cm
11．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左匀加速运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A、B、C、D，用刻度尺测出A、B间的距离为x1；C、D间的距离为x2。已知单摆的摆长为L，重力加速度为g，则此次实验中测得的物体的加速度为( )
A．eq \f(x2－x1g,π2L) B．eq \f(x2－x1g,2π2L)
C．eq \f(x2－x1g,4π2L) D．eq \f(x2－x1g,8π2L)
12．(2025·河北保定联考)如图甲所示，质量为m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．(t1＋0.25)s～(t1＋0.5)s时间内，物体A的速度与加速度方向相反
B．物体A在任意一个1.25 s内通过的路程均为50 cm
C．物体A的振动方程为y＝0.1sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))cm
D．物体B对水平面的最大压力为6mg
13.如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力。已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g。下列说法正确的是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(弹性势能Ep＝\f(1,2)kx2))( )
A．该简谐运动的振幅为2x1
B．在任意eq \f(1,4)周期内物块通过的路程一定等于x1
C．物块在A位置时所受的回复力大小为kx1
D．物块到O位置时的动能为eq \f(1,2)kxeq \\al(2,1)－mgx1
物理量
定义
意义
位移
(x)
由_平衡位置__指向质点_所在位置__的有向线段
描述质点振动中某时刻的位置相对于_平衡位置__的位移
振幅
(A)
振动物体离开平衡位置的_最大距离__
描述振动的_强弱__和能量
周期
(T)
振动物体完成一次_全振动__所需时间
描述振动的_快慢__，两者互为倒数：T＝ eq \f(1,f) 。
频率
(f)
振动物体_单位时间__内完成全振动的次数
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦和_空气阻力__
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力
(3)最大摆角小于5°
回复力
弹簧的_弹力__提供
摆球_重力__沿与摆线垂直方向的分力
平衡位置
弹簧处于_原长__处
_最低__点
周期
与_振幅__无关
T＝ 2πeq \r(\f(L,g))
能量转化
弹性势能与动能的相互转化，_机械能__守恒
重力势能与动能的相互转化，_机械能__守恒
振动类型
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力
受驱动力
振动周期
或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动等
共振筛、声音的共鸣等