第43讲　电场力的性质——2027届高三物理一轮复习讲义（含答案）

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一、电荷守恒定律
1．两种电荷
毛皮摩擦过的橡胶棒带_负__电，丝绸摩擦过的玻璃棒带_正__电。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，带电的物体能吸引轻小物体。
2．元电荷
最小的电荷量，其值为e＝ 1.60×10－19C 。
其他带电体的电荷量皆为元电荷的_整数__倍。
注意：元电荷不是带电体，也不是点电荷。
3．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体_转移__到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量_保持不变__。
(2)起电方式：_摩擦起电__、_接触起电__、感应起电。
(3)带电实质：物体带电的实质是_得失电子__。
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带 等量同种 电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先 中和 ，余下的电荷再 平均分配 。公式：q1′＝q2′＝eq \f(q1＋q2,2)。
二、库仑定律
1．点电荷
是一种理想化的物理模型，当带电体本身的_形状__和_大小__对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
2．库仑定律
三、电场强度及电场线
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质；
(2)基本性质：对放入其中的电荷有_力的作用__。
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的 静电力 与它的 电荷量 的比值。
(2)定义式：E＝ eq \f(F,q) ，单位：N/C或_V/m__。
(3)矢量性：规定 正电荷 在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向。
3．点电荷的电场：真空中与场源电荷Q相距为r处的电场强度大小为E＝ eq \f(kQ,r2) 。
4．电场线
(1)电场线是为了形象地描述电场而引入的，是假想的、客观不存在的，它有以下特点：
①电场线从_正电荷__或无限远处出发，终止于无限远处或_负电荷__；
②电场线在电场中不相交；
③在同一电场里，电场线_越密__的地方电场强度越大；
④电场线上某点的切线方向表示该点的_电场强度方向__；
⑤沿电场线方向电势逐渐_降低__；
⑥电场线和等势面在相交处_相互垂直__。
(2)几种典型电场的电场线
四、静电的防止与利用
1．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加电场强度为零时，自由电荷不再发生_定向移动__，导体达到静电平衡状态。
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的电场强度_处处为零__。
②导体是一个等势体，导体表面是等势面。
③导体表面处的电场强度方向与导体表面_垂直__。
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上。
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷。
2．尖端放电
导体尖端周围电场使空气_电离__，电离出的与导体尖端电荷符号相反的电荷与尖端的电荷中和，相当于导体从尖端失去电荷。
3．静电屏蔽
处于电场中的封闭金属壳，由于内部电场强度处处为_零__，从而外电场对壳内仪器不会产生影响。
1．只有体积足够小的带电体才能看成点电荷，大的带电体不能看成点电荷。( × )
2．任何带电体的带电荷量都是元电荷的整数倍。( √ )
3．任意两个带电体间的库仑力都可以用库仑定律计算。( × )
4．电场中某点的电场强度与放在该点的电荷所受静电力成正比，与电荷的电荷量成反比。( × )
5．当电场线是直线时，只受静电力的电荷的运动轨迹一定与电场线重合。( × )
6．当电场线是曲线时，初速度为零且只受静电力的电荷的运动轨迹一定与电场线重合。( × )
库仑定律与电荷守恒定律的理解
(基础考点·自主探究)
应用库仑定律的四点提醒
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(3)不能根据公式错误地认为r→0时，静电力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
(4)库仑力的计算方法：将电荷量的绝对值代入公式计算出库仑力的大小，根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引来判断库仑力F是引力还是斥力。
【跟踪训练】
(库仑定律的适用条件)如图所示，将两个质量均为m、壳层的厚度和质量分布均匀的完全相同的金属球壳a和b，固定于绝缘支架上，两球壳球心间的距离l是半径r的3倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么关于a、b之间的万有引力F引和静电力F电的表达式正确的是( )
A．F引＝Geq \f(m2,l2)，F电＝keq \f(Q2,l2)
B．F引keq \f(Q2,l2)
D．F引＝Geq \f(m2,l2)，F电keq \f(Q2,l2)。万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然本题中不满足l≫r，但由于球壳壳层的厚度和质量分布均匀，故两球壳均可看作质量集中于球心的质点，所以可以应用万有引力定律计算a、b间的万有引力，即F引＝Geq \f(m2,l2)。综上所述，C正确。
(库仑定律与电荷守恒定律的综合应用)如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC。若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则eq \f(F1,F2)为( )
A．eq \f(21,10) B．eq \f(21,16)
C．eq \f(19,10) D．eq \f(19,16)
[答案] C
[解析] 设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝eq \f(5kQq,l2)－eq \f(kQq,2l2)＝eq \f(19kQq,4l2)，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝eq \f(2kQq,l2)＋eq \f(2kQq,2l2)＝eq \f(5kQq,2l2)，所以eq \f(F1,F2)＝eq \f(19,10)，故C正确。
静电力作用下的平衡与加速问题
(能力考点·深度研析)
►考向1 库仑力作用下的平衡问题
(2024·新课标卷)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则( )
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
[答案] B
[解析] 如图，分别对两个小球进行受力分析，并将四力平衡问题转化为三力平衡问题。由平衡条件和平行四边形定则知，T1＝eq \f(F库－q1E,sin θ)，T2＝eq \f(F库＋q2E,sin θ)，所以T1mQ，B正确；由最前面两式可得(q1－q2)E＝2F库－(T1＋T2)sin θ，由于已知条件太少，无法比较两球的电荷量，C、D错误。

解决库仑力作用下平衡问题的方法步骤
库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了静电力。具体步骤如下：
eq \x(确定研究对象)→可以根据问题需要，选择“整体法”或“隔离法”
eq \x(受力分析)→多了静电力(F＝eq \f(kq1q2,r2)或F＝qE)
eq \x(列平衡方程)→F合＝0或Fx＝0、Fy＝0
►考向2 “三个自由点电荷平衡”的问题
1．平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
2.
如图所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法错误的是( )
A．若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B．若q1、q3为负电荷，则q2为正电荷
C．q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
D．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
[答案] C
[解析] 根据库仑定律，根据平衡条件，对q2∶keq \f(q1q2,2r2)＝keq \f(q3q2,r2)，解得q1＝4q3，对q3∶keq \f(q3q2,r2)＝keq \f(q3q1,3r2)，解得q1＝9q2，所以q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C错误，符合题意；D正确，不符合题意；三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，即两边的电荷电性相同和中间的电性相反，则q1、q3电性一定相同，q2电性一定与前两者相反，故A、B正确，不符合题意。
►考向3 库仑力作用下的加速问题
如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的小球A、B，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在B上，当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在A上，欲使两小球间的距离保持为2L并相对静止，则外力的大小应为( )
A．eq \f(1,16)F B．eq \f(1,8)F
C．eq \f(1,4)F D．eq \f(1,2)F
[答案] B
[解析] 当方向水平向右、大小为F的力作用在B上，A、B间的距离为L时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝3ma1,\f(kq1q2,L2)＝ma1))
若改用方向水平向左的力作用在A上，两小球间的距离保持为2L并相对静止时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F2＝3ma2,\f(kq1q2,2L2)＝2ma2))
联立可得F2＝eq \f(1,8)F。故B正确，A、C、D错误。
【跟踪训练】
(多选)(2024·云南曲靖市模拟)如图所示，绝缘的斜面体ABC静止于水平面上，∠B＝37°，∠C＝53°，两个可视为质点的带电物体P和Q分别在AB和AC面上静止不动，且P、Q连线水平。AB面和AC面光滑，设斜面体和P、Q的质量分别为M、m1、m2，重力加速度为g，sin 37°＝0.6。下列判断正确的是( )
A．P、Q一定带异种电荷，且Q的电荷量一定等于P的电荷量
B．P、Q的质量之比是eq \f(16,9)
C．水平面对斜面体底部有水平向右的静摩擦力
D．水平面对斜面体的支持力等于(M＋m1＋m2)g
[答案] BD
[解析] 隔离法：P、Q两物体都是三力平衡，且P、Q在水平方向受到的是大小相等的库仑引力，P、Q一定是带异种电荷，电荷量大小关系不能确定，选项A错误；由库仑引力F、重力mg和倾角的关系式F＝mgtan θ可知，P、Q质量之比为eq \f(mP,mQ)＝eq \f(tan 53°,tan 37°)＝eq \f(16,9)，选项B正确；整体法：对由斜面体和P、Q所构成的整体，水平面对斜面体支持力等于总重力，水平面对斜面体没有摩擦力，水平面对斜面体的支持力FN＝(M＋m1＋m2)g，选项C错误，D正确。
电场强度的理解、电场的叠加
(能力考点·深度研析)
1．电场强度的理解
(1)电场强度反映电场本身的性质，由场源和位置决定，与试探电荷无关。
(2)根据定义式E＝eq \f(F,q)，对某一位置E一定，F与q成正比。
2．场强公式的比较
三个公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝\f(F,q)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(适用于任何电场,与检验电荷是否存在无关)),E＝\f(kQ,r2)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(适用于点电荷产生的电场,Q为场源电荷的电荷量)),E＝\f(U,d)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(适用于匀强电场,U为两点间的电势差，d为沿电场,方向上两点间的距离))))
3．电场的叠加
(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和。
(2)运算法则：平行四边形定则。
►考向1 点电荷电场的叠加问题
[答案] (1)q，A、B、C均为正电荷 (2)eq \f(3－\r(3),3)q
[解析] (1)因为M点电场强度竖直向下，则C为正电荷，根据场强的叠加原理，可知A、B两点的电荷在M点的电场强度大小相等，方向相反，则B点电荷电荷量为q，电性与A相同，又N点电场强度竖直向上，可得A处电荷在N点的场强垂直BC沿AN连线向右上，如图所示
可知A处电荷为正电荷，所以A、B、C均为正电荷。
(2)如图所示
由几何关系EA′＝EBC′·tan 30°
即eq \f(kq,AN2)＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kq,BN2)－\f(kqC,CN2)))
其中AN＝eq \r(3)BN＝eq \r(3)CN
解得qC＝eq \f(3－\r(3),3)q。
电场叠加问题的分析思路
电场中某点的实际场强等于几个场源电荷单独存在时产生的电场强度的矢量和。同一直线上的场强的叠加可简化为代数运算；不在同一直线上的两个场强的叠加，用平行四边形定则求合场强。分析电场叠加问题的一般步骤是：
(1)确定研究点的空间位置；
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向。
(3)依次利用平行四边形定则求出电场强度的矢量和。
►考向2 对称法求解电场的叠加问题
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化，例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
(2024·河北卷)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为eq \f(q,2)。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为( )
A．eq \f(2\r(3)kq,a2) B．eq \f(kq,a2)(6＋eq \r(3))
C．eq \f(kq,a2)(3eq \r(3)＋1) D．eq \f(kq,a2)(3＋eq \r(3))
[答案] D
[解析] 设B点处点电荷在M点产生的电场强度为EMB，根据几何关系可知rMB＝eq \f(\r(3),3)a，根据点电荷周围电场强度公式得EMB＝eq \f(3kq,a2)，方向由B指向M，同理，C点处点电荷在M点产生的电场强度大小EMC＝eq \f(3kq,a2)，方向由C指向M，则两点电荷在M点产生的合电场强度大小EM合＝eq \f(3kq,a2)，方向由M指向A；因为B、C杆在M点产生的合电场强度为零，根据矢量的合成可知，杆在M点产生的电场强度大小也为eq \f(3kq,a2)，方向由A指向M；根据对称性可知杆在A点产生的电场强度大小EA＝eq \f(3kq,a2)，方向由M指向A；B点处点电荷在A处产生的电场强度大小EAB＝keq \f(q,a2)，方向由B指向A，C点处点电荷在A处产生的电场强度大小EAC＝keq \f(q,a2)，方向由C指向A，根据矢量的合成可知A点电场强度大小为eq \f(kq,a2)(3＋eq \r(3))，D正确。
►考向3 利用补偿法和等效法求场强
(1)补偿法：题给条件建立的模型A不是一个完整的标准模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型B，并且模型A与模型B恰好组成一个完整的标准模型。这样求解模型A的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B的差值问题。
(2)等效法：一个均匀带电球体或球壳在球外某点产生的电场强度可以等效于位于球心点电荷产生的电场强度。
(2025·山东烟台高三期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
A．eq \f(kq,4R2)－E B．eq \f(kq,8R2)－E
C．eq \f(kq,4R2) D．eq \f(kq,4R2)＋E
[答案] A
[解析] 先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场强度大小为E0＝eq \f(kq,2R2)＝eq \f(kq,4R2)，左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则EQ＝E0－E＝eq \f(kq,4R2)－E，故A正确。
►考向4 利用微元法求解电场强度
微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而化曲为直，将变量、难以确定的量转化为常量、容易求得的量。
如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面内，金属圆环均匀带电，带电荷量为Q，一长为L＝2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电荷量为q(未知)的金属小球(可视为质点)。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P′(图中未画出)是点P关于圆心O对称的点。已知静电力常量为k，重力加速度为g，若取无穷远处为零势面，下列说法正确的是( )
A．O点的场强一定为零
B．P′点场强大小为eq \f(\r(3)kQ,8R2)
C．金属小球的电荷量为q＝eq \f(8mgR2,kQ)
D．剪断细线瞬间，小球的加速度水平向右
[答案] C
[解析] 根据对称性可知，带电荷量为Q的圆环在圆心O点产生的场强为0，带电金属小球在O点产生的场强不为0，所以O点的场强不为零，故A错误；设细线与竖直方向的夹角为θ，由几何关系cs θ＝eq \f(R,L)＝eq \f(1,2)，θ＝60°，由微元法无限划分，设每一极小段圆环带电荷量为Δq，则∑keq \f(Δq,L2)sin θ＝EP，其中∑Δq＝Q，解得EP＝eq \f(\r(3)kQ,2L2)＝eq \f(\r(3)kQ,8R2)，根据对称性可知，带电荷量为Q的圆环在P、P′两点产生的场强大小相等、方向相反，而P′点的场强大小是圆环与带电金属小球在P′点产生的电场强度的叠加，所以EP′≠eq \f(\r(3)kQ,8R2)，故B错误；对小球受力分析如图，则qEP＝mgtan 60°，解得q＝eq \f(8mgR2,kQ)，故C正确；剪断细线瞬间，小球受合外力沿细线方向斜向右下方，则加速度方向斜向右下方，故D错误。

求解电场强度的几种方法的选用技巧
(1)点电荷电场与匀强电场电场强度叠加一般应用合成法。
(2)均匀带电体与点电荷电场强度叠加一般应用对称法。
(3)计算均匀带电体某点产生的电场强度一般应用补偿法或微元法。
【跟踪训练】
(2025·湖南省永州一中开学考)真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m，如图甲所示。在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。忽略A、B间的作用力。下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
[答案] C
[解析] 由A处试探电荷的F－q图线可得，该处的电场强度为E1＝eq \f(F1,q1)＝4×105 N/C，方向沿x轴正方向，同理可得，B处的电场强度为E2＝eq \f(F2,q2)＝0.25×105 N/C，方向沿x轴负方向，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷电场强度公式可得E1＝keq \f(Q,l2)＝4×105 N/C，E2＝keq \f(Q,0.5 m－l2)＝eq \f(1,4)×105 N/C，联立解得l＝0.1 m，故点电荷Q的位置坐标为0.3 m，C正确，D错误。
如图所示，真空中有一个三棱锥O－ABC，三棱锥各边长均为L，在A、B、C三点分别放置电荷量均为eq \r(3)q的正点电荷，静电力常量为k，现在要外加一个匀强电场，使O点的场强为0，则匀强电场的场强大小为( )
A．eq \f(3kq,L2) B．eq \f(2kq,L2)
C．eq \f(3\r(3)kq,L2) D．eq \f(3\r(2)kq,L2)
[答案] D
[解析] 设三棱锥的高与边长的夹角为θ，根据几何关系知，cs θ＝eq \f(\r(6),3)，则三个点电荷在O点的合场强大小为E＝3×eq \f(k·\r(3)q,L2)cs θ＝eq \f(3\r(2)kq,L2)，方向竖直向上，外加一个匀强电场，使O点的场强为0，则外加电场的场强大小为eq \f(3\r(2)kq,L2)，方向竖直向下，D正确。
电场线的理解和应用
(基础考点·自主探究)
1．电场线的应用
2．等量同种和等量异种电荷的电场强度空间分布的比较
3.电场线、带电粒子运动轨迹判断
(1)判断速度方向：带电粒子轨迹的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或场强)的方向：带电粒子所受电场力方向(仅受电场力作用)指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向。
(3)判断电场力做功的正、负及电势能的增、减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
【跟踪训练】
(电场线的应用)如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。由图可知( )
A．P、Q两点的电场强度相同
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．右边的小球带电荷量为－2q
D．两点电荷连线的中点处的电场强度大小为3keq \f(q,r2)
[答案] D
[解析] 电场线的疏密表示电场强度的大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；同理，M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的小球带负电，但是带电荷量小于左边球的带电荷量，故右边的小球带电荷量为－q，故C错误；依据点电荷的电场强度公式E＝keq \f(Q,r2)及叠加原则，则两点电荷连线的中点处的电场强度大小为E合＝keq \f(2q,r2)＋keq \f(q,r2)＝3keq \f(q,r2)，故D正确。
(等量异种点电荷电场的电场线的应用)(多选)如图所示，P、Q为等量异种点电荷，连线中点为O，正方形ABCD的几何中心与O点重合，其中AD边平行PQ连线，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD边的中点。关于P、Q点电荷形成的电场，下列说法正确的是( )
A．E、G两点电场强度相同
B．E、G两点电场强度不相同
C．F、H两点电场强度相同
D．F、H两点电场强度不相同
[答案] AC
[解析] 等量异种点电荷的电场线分布如图所示，结合对称性可知，E、G两点电场强度大小相等，方向相同，F、H两点电场强度大小相等，方向相同，故选项A、C正确。
(等量同种点电荷电场的电场线的应用)(多选)如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B(可视为点电荷)被固定在光滑的绝缘水平面上，P、N是在小球A、B连线的中垂线上的两点，且PO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C(可视为质点)从P点由静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是( )
A．速度先增大，再减小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大
D．加速度先减小，再增大
[答案] AD
[解析] 在A、B连线的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，若P、N相距很远，则小球C沿A、B连线的中垂线运动时，小球C的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点时加速度变为零，速度达到最大；由O点到N点时，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性。如果P、N相距很近，则加速度先减小，再增大，故A、D正确，B、C错误。
(电场线与带电粒子运动轨迹)(2023·全国甲卷)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
[答案] A
[解析] 电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；
电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；
电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见C错误；
电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误。故选A。
静电的应用和防止
(基础考点·自主探究)
(静电平衡状态导体特点)如图所示，在原来不带电的空心金属球壳外面放置一个正电荷。A、B、C三点分别位于球壳外部、球壳实体中和球壳空腔内。当球壳处于静电平衡状态时，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度小于B点的电场强度
B．B点的电场强度小于C点的电场强度
C．由于静电屏蔽，C点的电场强度等于0
D．由于静电感应，球壳内表面感应出电荷
[答案] C
[解析] A点处于点电荷的电场中，所以A点的电场强度不等于零；金属空心导体放在点电荷的电场中，最终处于静电平衡状态，导体内部的场强处处为零，所以B、C两点的电场强度都为零，则EA>EB＝EC，故A、B错误，C正确；处于静电平衡的导体的电场强度处处为零，其内表面不带电，故D错误。
(尖端放电)如图所示，小明同学在坐飞机的时候发现机翼末端边缘有一条条针一样的装置，此装置作用是( )
A．防止闪电击中飞机，起到避雷针的作用
B．加强电磁通讯信号，起到天线的作用
C．通过尖端放电使云层中的电荷消失
D．释放飞机表面的静电
[答案] D
[解析] 飞机在飞行时与大气摩擦在表面产生静电，采用尖端放电的原理释放静电。故选D。
提能训练 练案[43]
基础巩固练
题组一 库仑定律的理解和应用
1．下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于任何电场的计算
B．置于均匀带电空心金属球球心处的点电荷所受静电力为零
C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为eq \f(kQ2,9r2)
D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力
[答案] B
[解析] 库仑定律的适用范围是真空中两个点电荷间的相互作用，故A错误；带电空心金属球的电荷均匀分布在金属球的外表面，球内各点的电场强度均为零，所以置于带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零，故B正确；当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，两者不能看作点电荷，其大小也不可忽略，库仑定律不再适用，故C错误；两点电荷间的静电力是相互作用力，大小相等，方向相反，故D错误。
2.在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示。静电力常量为k。如果保持它们的位置不变，则电荷A受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A．eq \f(2kq2,a2) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－\f(1,2)))eq \f(kq2,a2)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\r(2)))eq \f(kq2,a2) D．eq \f(3kq2,2a2)
[答案] D
[解析] 电荷D对电荷A的静电力大小F1＝keq \f(q2,\r(2)a2)，电荷B和电荷C对电荷A的静电力大小F2＝F3＝keq \f(q2,a2)，根据力的合成法则可知，电荷A所受的静电力大小F＝eq \r(F\\al(2,1)＋\r(2)F22)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kq2,2a2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)kq2,a2)))2)＝eq \f(3kq2,2a2)，故D正确。
3. (2023·海南卷)如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在A、B固定两个电荷量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，试求Q1∶Q2是多少( )
A．2n2∶1 B．4n2∶1
C．2n3∶1 D．4n3∶1
[答案] C
[解析] 对小球受力分析如图所示，轨道的弹力FN指向圆心，由正弦定理有eq \f(FA,sin ∠CPH)＝eq \f(FB,sin ∠CHP)，其中∠CPH＝∠OPB，∠CHP＝∠HPD＝∠APO，其中△APO中eq \f(AP,sinπ－∠POB)＝eq \f(AO,sin∠APO)，同理有eq \f(BP,sin ∠POB)＝eq \f(BO,sin ∠BPO)，其中FA＝keq \f(Q1q,AP2)，FB＝keq \f(Q2q,BP2)，联立有Q1∶Q2＝2n3∶1，故选C。
题组二 电场强度的理解 电场的叠加
4．如图，A、B、C、D是边长为a的菱形的四个顶点，O点为菱形的中心，∠A＝∠C＝60°，在A、D两点分别放有电荷量分别为＋q、－q的点电荷，在C点放了某个未知点电荷Q后，O点的电场强度E＝eq \f(4kq,a2)，设此时B点的电场强度的大小为EB。已知静电力常量为k，下列表达式正确的是( )
A．Q＝＋q，EB＝0 B．Q＝＋2q，EB＝keq \f(q,a2)
C．Q＝＋q，EB＝keq \f(4q,3a2) D．Q＝－2q，EB＝0
[答案] A
[解析] 由点电荷电场强度公式可知，D处点电荷在O点产生的电场强度为E1＝eq \f(kq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2)＝eq \f(4kq,a2)，由电场强度的叠加原理可知，A处点电荷和C处点电荷在O点产生的电场的电场强度大小相等，方向相反，可知，在C处放置的点电荷与A处的点电荷相同，即Q＝＋q，两个正点电荷在B点的合电场强度为E1＝2×eq \f(kq,a2)sin 30°＝eq \f(kq,a2)，方向沿DB方向，D点处点电荷在B点产生的电场强度为E2＝eq \f(kq,a2)，方向沿BD方向，则B点的电场强度为EB＝E1－E2＝0，故A正确。
5．(2022·山东卷)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
A．正电荷，q＝eq \f(QΔL,πR) B．正电荷，q＝eq \f(\r(3)QΔL,πR)
C．负电荷，q＝eq \f(2QΔL,πR) D．负电荷，q＝eq \f(2\r(3)QΔL,πR)
[答案] C
[解析] 在取走A、B处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在O点产生的场强为零，而取走的A、B处的电荷的电荷量qA＝qB＝eq \f(Q,2πR)ΔL，qA、qB在O点产生的合场强为EAB＝eq \f(k\f(Q,2πR)ΔL,R2)＝eq \f(kQΔL,2πR3)，方向为从O指向C，故取走A、B处的电荷之后，剩余部分在O点产生的场强大小为eq \f(kQΔL,2πR3)，方向由C指向O，而点电荷q放在D点后，O点场强为零，故q在O点产生的场强与qA、qB在O点产生的合场强相同，所以q为负电荷，即有keq \f(q,2R2)＝keq \f(QΔL,2πR3)，解得q＝eq \f(2QΔL,πR)，C项正确。
题组三 电场线的理解和应用
6．如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是( )
A．甲带负电，乙带正电
B．甲的电荷量大于乙的电荷量
C．在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点
D．P点的电场强度小于Q点的电场强度
[答案] B
[解析] 根据电场线分布特点，可判断出甲带正电，乙带负电，并且甲的电荷量大于乙的电荷量，A错误，B正确；在P位置静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子在P位置沿电场线的切线由静止加速，不沿电场线运动，C错误；根据电场线的密集程度可以判断出P点的电场强度大于Q点的电场强度，D错误。
7. (多选)一电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的v－t图像如图所示。则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是( )
[答案] CD
[解析] 根据v－t图像可知电荷的加速度逐渐增大，即电荷所受电场力逐渐增大，又根据电场线越密集电场强度越大可知，从A到B电场线逐渐密集，由于题干没说明电荷是带正电还是负电，故电荷所受电场力方向与电场强度方向可能相同、可能相反，综上所述可知，A、B两项错误，C、D两项正确。故选CD。
8．(多选)电场线能直观地反映电场的分布情况。如图是等量异种点电荷形成的电场；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于O对称的两点。则( )
A．E、F两点电场强度相同
B．A、D两点电场强度不同
C．B、O、C三点中，O点电场强度最小
D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
[答案] AC
[解析] 等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A正确；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图甲看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；由题图可知，电子从C点向O点运动过程中，电场强度逐渐减小，则静电力逐渐减小，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐减小，故D错误。
能力提升练
9. (多选)如图，A、B两个点电荷固定在空间，实线为两点电荷电场中的部分电场线，弯曲虚线为一个带电粒子仅在电场力作用下运动的轨迹，a、b为轨迹上两点，下列说法正确的是( )
A．A、B带同种电荷
B．A、B带电荷量的绝对值不相等
C．a点电场强度比在b点电场强度大
D．带电粒子在a点加速度比在b点加速度小
[答案] BD
[解析] 图中电场线起源于A，终止于B，由电场线分布的特征可知两粒子带异种电荷，且A带正电，B带负电，故A错误；由于题图中电场线分布不具有对称性，则两点电荷带电荷量的绝对值不等，故B正确；由于电场线分布的密集程度表示电场的强弱，所以b点的电场强度比a点的电场强度大，故C错误；根据qE＝ma，可知粒子在a点加速度比在b点加速度小，故D正确。
10.真空中电荷量为4q的正点电荷固定在O处，另一质量为m、电荷量为－q的点电荷在库仑力作用下绕O点做匀速圆周运动，半径为R，已知静电力常量为k，不考虑相对论效应及由于电荷运动产生的磁场，则两点电荷附近(非无限远处)电场强度为零的动点的运动速率为( )
A．qeq \r(\f(k,mR)) B．2qeq \r(\f(k,mR))
C．4qeq \r(\f(k,mR)) D．8qeq \r(\f(k,mR))
[答案] C
[解析] 点电荷做圆周运动，库仑力提供向心力，由牛顿第二定律得keq \f(4q·q,R2)＝mω2R，解得ω＝eq \f(2q,R)eq \r(\f(k,mR))，设场强为零的点距离O点为r，则keq \f(4q,r2)＝keq \f(q,r－R2)，解得r＝2R，则电场强度为零的动点的运动速率为v＝ωr＝4qeq \r(\f(k,mR))，C正确，A、B、D错误。
11. (多选)(2025·江西南昌检测)如图所示，两个带等量正电荷的小球A、B(可视为点电荷)被固定在光滑绝缘水平面上。P、N是小球A、B连线的垂直平分线上的点，且PO＝ON。现将一个电荷量很小的带负电的小球C(可视为质点)从P点由静止释放，在小球C向N点运动的过程中，关于小球C的v－t图像中，可能正确的是( )
[答案] AB
[解析] 在AB的垂直平分线上，从无穷远处到O点电场强度先变大后变小，到O点变为零，小球C受力沿A、B连线的垂直平分线。如果P、N相距足够远，小球C从很远处开始向O点运动，加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大，v－t图线的斜率先变大后变小，由O点到很远处，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性，则B项正确；如果P、N相距很近，小球C从P点开始向O点运动，加速度变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大，v－t图线的斜率变小；由O
点到N点，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性，则A项正确。故选AB。
12. (2025·山东菏泽高三阶段练习)如图所示，小球A、C均带正电，B球带负电，A球在绝缘的粗糙水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形。若细线与竖直方向的夹角为60°，mC＝6mB，则A、B、C三球所带电荷量大小之比为( )
A．2∶1∶4 B．1∶2∶4
C.eq \r(2)∶1∶2 D．1∶eq \r(2)∶2
[答案] A
[解析] B、C两球受力如图所示，对C球，由力的平衡条件可得FBC＝eq \f(1,2)FAC＝eq \f(\r(3),3)mCg，对B球，由力的平衡条件可得FT·sin 60°＝FAB·sin 30°＋FCB＝FAB·sin 30°＋eq \f(\r(3),3)mCg，FT·cs 60°＝FAB·cs 30°＋mBg，由题设条件有mB＝eq \f(1,6)mC，联立各式解得FAB＝eq \f(\r(3),6)mCg＝eq \f(1,2)FBC，由FBC＝eq \f(1,2)FAC，FAB＝eq \f(1,2)FBC，以及库仑定律F＝keq \f(q1q2,r2)，可得qA∶qB∶qC＝2∶1∶4，故选A。
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线
分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐减小
O点为零，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′、C与C′的场强
等大同向
等大反向