2026年江苏省连云港市灌南县九年级中考适应性考试（一）数学 试卷（含解析）

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九年级数学试题
（满分分值：150分 考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1. 中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A. 2026B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. 2025江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈，苏超新赛季连云港队揭幕战4月11日在连云港市体育中心体育场打响，据统计，比赛现场观众人数达29000人，29000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：29000=2.9×104．
3. “堑堵”是古代数学名词，指一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体图形，即两底面为直角三角形的三棱柱．如图水平放置的“堑堵”的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从正面观看立体图形即可得到．
【详解】解：从正面观看水平放置的“堑堵”的主视图为．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，完全平方公式即可求解．
【详解】解：选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项正确，符合题意；
故选：．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法运算，完全平方公式的综合，掌握其运算方法是解题的关键．
5. 为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（ ）
A. 分享的书籍数量的众数是6本
B. 分享的书籍数量的平均数是3本
C. 分享的书籍数量的中位数是4本
D. 分享的书籍数量的方差是2.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义，依次计算各统计量，判断选项正误即可．
【详解】解：总人数为，总书籍数量为：，
众数：书籍数量为5本的人数最多，为6人，∴众数为5本，A错误；
平均数：本，∴平均数为4本，B错误；
中位数：20个数据从小到大排列，中位数为第10、第11个数据的平均数，前个数据不超过3本，接下来5个数据为4本，即第8~12个数据均为4本，∴第10、11个数据都是4，中位数为本，C正确；
方差：
，
∴方差为，D错误．
6. 如图，在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆心角等于圆周角的一半，进行解答，即可．
【详解】解：∵，
∴．
7. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组．
【详解】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文，
根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得，
根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得，
∴所列方程组为，对应选项A．
8. 如图，分别经过原点和点的动直线，，其夹角，点是中点，连接，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，则点在的外接圆上运动，在轴上截取，则，当取最小值时，取最小值，连接交于点，此时的长度最小．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，
∴点在的外接圆上运动，
在轴上截取，连接，
∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当取最小值时，取最小值，
连接交于点，
则，当点与点重合时，取得最小值，
此时长度的最小值为，
∵在中，，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作于点，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
此时，
∴的最小值是．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若分式有意义，则应满足的条件是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
根据分式有意义的条件是分母不为零，即可求解．
【详解】解：由分式有意义的条件，分母，
解得．
故答案为：．
10. 因式分解： ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法可对原式进行因式分解．
【详解】解：．
11. 点P在第____象限．
【答案】二
【解析】
【分析】根据平方的非负性判断点纵坐标的符号，结合横坐标的符号，根据象限内点的坐标特征判断点所在象限．
【详解】解：由点可知，点的横坐标为，可得，
∵对任意实数，都有，
∴，即点的纵坐标为正，
∵平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于，
∴点在第二象限．
12. 2026年中国国产工具已形成规模化落地态势，小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵共有3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”，
∴小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是．
13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到且，代入计算解答即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4m×−1>0m≠0
∴且．
14. 六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等，在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正六边形的性质可得各边长为，每个内角为，再根据等腰三角形的性质可求得，，进而证明四边形是平行四边形，并解直角三角形，求得的长度，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵正六边形，
∴，，
∴，同理，
∴，
∴，
∴，同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，，
同理可得，
∴．
15. 在如图所示的“赵爽弦图”中，若正方形与正方形的面积之比为，直角三角形中，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两个正方形的面积比，得出两个正方形的边长比为，设正方形的边长分别为和3，在中，根据勾股定理和边长差求出 ，利用等腰三角形的外角性质，构造出等于的角，即，在中，利用三角函数的定义求出的值．
【详解】解：∵
它们的边长比为
设正方形的边长为，正方形的边长为3
在中，，则
由勾股定理：，即
联立，可得方程组：
y−x=3x2+y2=17
解得
在中，，
如图，在上取一点P，使得，则为等腰三角形，
∴
因此，
设，则，
在中，根据勾股定理：
，
代入，
得12+4−t2=t2
展开并化简：
解得：，
因此：，，
在中，
．
16. 设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解．
【详解】解：由题意得：
又∵， ，
∴，
∴W的最小值为．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算绝对值项，接着计算零次幂项，然后计算算术平方根项，最后将三个项的结果按照加减运算法则进行计算，得到最终结果．
【详解】−2+π−10−16=2+1−4=−1 ．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值．
【详解】解：
，
当时，．
19. 解不等式组：．
【答案】无解
【解析】
【分析】先将不等式组拆解为两个独立的一元一次不等式，分别求解每个不等式的解集，最后取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为无解．
20. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______．
（2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率；
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率，从而得出答案．
【小问1详解】
解：抽到数学家韦达的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
列表如下：
共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是中国数学家的情况有2种，
．
故两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为．
21. 2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日．为进一步加强安全教育工作，提升中小学生安全防范意识和自我保护能力，某校采取自愿报名的方式，组织了安全教育知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：其中B组共有12个成绩，从高到低分别为：
89，88，88，87，86，85，85，84，84，83，81，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组的平均分为________分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为________，本次被抽取的所有成绩的中位数为________分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
【答案】（1）85 （2）40，82
（3）估计本次竞赛的获奖人数为125名
【解析】
【分析】（1）平均数，直接套用公式即可；
（2）总量部分量该部分的占比，利用这个公式求出样本总量；中位数是指将数列从低到高依次排列，最中间两位数的平均数；
（3）总数某部分在样本中的占比某部分在总数中的数量，利用该等量关系式求解．
【小问1详解】
解：直接利用平均数公式计算可得：，
∴B组12个成绩的平均数为85分．
【小问2详解】
解：
∴本次被抽取的所有成绩的个数为40，
∴成绩从低到到排列，中位数为第20和第21位学生成绩的平均数，
∵组人数为40×25%+20%=18 人，
∴中位数为：分
【小问3详解】
解：用总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比可得：（名），
答：估计本次竞赛的获奖人数为125名．
22. 国家非常重视学校体育工作，坚持“健康第一”的教育理念，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校响应号召，计划举行阳光体育活动，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是48，且购买的总费用不能超过240元；则最多可以购买多少根跳绳？
【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元
（2）最多可以购买24根跳绳
【解析】
【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，然后根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”列出二元一次方程组，即可解答；
（2）设购买m根跳绳，则购买个毽子，然后根据（1）中所求的结果和“购买的总费用不能超过240元”列出一元一次不等式，即可解答．
【小问1详解】
解：设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意得：2x+5y=324x+3y=36，解得．
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元．
【小问2详解】
解：设购买m根跳绳，则购买个毽子，
依题意得：6m+448−m≤240 ，
解得．
所以最多可以购买24根跳绳．
23. 如图①，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线，线段就是它的一条对角线．
（1）求证：；
（2）下列条件能够判定四边形是筝形的有________．（将所有正确的序号填在横线上）
①且；②且；
③且；④且．
（3）如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内部找一点P，连接，，使折线恰好将筝形的面积分为相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）②③④
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明是的垂直平分线即可得出结论；
（2）根据“筝形”的定义逐个条件进行分析判断即可；
（3）连接，作的垂直平分线交于点，连接，，则折线将筝形的面积分为相等的两部分．
【小问1详解】
证明：∵，
∴点B在的垂直平分线上；
∵，
∴点D在的垂直平分线上；
∴是的垂直平分线，
∴；
【小问2详解】
解：①且，这是平行四边形的判定，平行四边形邻边不一定相等，不能判定为筝形；
②且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，能判定为筝形；；
③∠ABD=∠CBD 且，
∵，，BO=BO ，
∴△ABO≌△CBOASA，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，能判定为筝形；
④且；
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，能判定为筝形。
所以，正确的是②③④；
【小问3详解】
解：如图，折线将筝形的面积分为相等的两部分．
理由：由作图得，点是的中点，
∴，，
∴，
即折线将筝形的面积分为相等的两部分．
24. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，，，以点O为圆心，长为半径作，连接．
（1）求的解析式；
（2）求图中阴影部分面积之和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质“对角线互相平分且垂直”以及勾股定理，求得点的坐标，将点代入到反比例函数即可解出答案；
（2）根据三角函数值求出的度数，套用扇形面积公式解出扇形面积，再利用已知求出菱形的面积，的几何意义求出的面积，用加上菱形的面积，再减去扇形面积即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，连接交为G，
∵四边形是菱形，，．
，．
在中，．
，
将点代入反比例函数，，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，．
，
，
由菱形的性质知：，
，
，
，
如图2，令OE、BF的交点为H，
由菱形知，，
，
，
．
25. 图1是中国社会主义青年团第一次全国代表大会纪念馆广场的主雕塑，将其抽象为如图2所示的平面示意图，四边形，为两个全等的平行四边形基座，基座上方承托着一面团旗，已知，雕塑总高（点到的距离）为，基座上的团旗柱，点在同一水平线上．
（1）求平行四边形基座的高度；
（2）请通过计算说明团旗柱与斜面的位置关系．
（结果精确到．参考数据：）
【答案】（1）
（2）团旗柱与斜面平行
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）过点F作于点P，根据平行线的性质得出，根据三角函数定义得出，求出即可；
（2）过点A作于点Q，求出，解直角三角形得出．根据平行线的性质证明．根据平行四边形的性质得出，根据平行公理得出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：基座由两个全等的平行四边形（，）组成，如图，过点F作于点P．
∴，
∴，
在中，，
解得：，
∴平行四边形基座的高度约为；
【小问2详解】
解：雕塑总高，平行四边形基座的高度为，如图，过点A作于点Q．
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴团旗柱，
∵基座是平行四边形，
∴，
∴，
即团旗柱与斜面平行．
26. 定义：如果二次函数的最小值大于或者等于0，我们就说这个二次函数的值恒大于等于0．
（1）如果二次函数的值恒大于等于0，那么a________0，且________0；（填“”“”“”“”或者“”）
（2）试判断二次函数的值是否恒大于0；
（3）①已知二次函数的值恒大于等于0，
求证：不等式成立（其中a，b，c均为常数）；
②根据①的证明结论，求的最小值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的开口方向以及抛物线与x轴交点的个数问题进行判断即可；
（2）根据a的值和进行判断即可；
（3）①先将二次函数整理得y=3x2−2a+b+cx+a2+b2+c2，再根据判别式的值小于等于0，即可证得结论；②根据①中的结论进行解答即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的值恒大于等于0，
∴该抛物线的开口向上，且与x轴的交点个数为0或1个，
∴，b2−4ac≤0 ；
【小问2详解】
解：二次函数，
，b2−4ac=−32−4×2×2=−7