河南省许昌市2026届高三下学期第三次质量检测数学试卷（含解析）

这是一份河南省许昌市2026届高三下学期第三次质量检测数学试卷（含解析），共10页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将试卷和答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若直线 是双曲线 的一条渐近线，则 （ ）
A. B. 4 C. D.
3. 若集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
4. “事件 相互独立”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 甲、乙、丙、丁共 4 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 4 名的名次．甲和乙去询问成绩，回答
者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4 人的名
次排列可能情况有（ ）
A. 4 种 B. 8 种 C. 种 D. 种
6. 已知函数 的定义域为 ，若函数 是偶函数，函数 是奇函数，
则 在 上的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 4 D. 6
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7. 已知抛物线 ，过 C 的焦点的直线交 C 于 A，B 两点，交圆 于 M，N 两点，
其中 A，M 位于第一象限，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知函数 ，若函数 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设数列 的前 n 项和为 ．下列说法正确的是（）
A. 若 是等差数列，且 ， ，则公差为 2
B. 若 ， ，则数列 是等差数列
C. 若 是等比数列，且 ，公比 ， ，则
D. 若 是等比数列，且 ，则公比为
10. 在棱长为 4 的正方体 中，M，N，P 分别为棱 ， ， 的中点，则（ ）
A. 平面 B. M，N，P， 四点共面
C. D. 三棱锥 的体积为
11. 已知函数 ．下列结论正确的是（）
A. 存在全不为 0 的实数 a，b，使得 是奇函数
B. 当 ， 时， 在区间 上单调递增
C. 当 ， 时，过点 作曲线 的切线，只能作一条
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D. 若 ， ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某篮球运动员近 8 场比赛的得分从低到高依次为 6，9， ， ， ， ， ， ，则这 8 个数据
的上四分位数是____________．
13. 在平行四边形 中， ， ，点 E，F，G，H 分别是边 ， ， ， 的中点，
则 ____________．
14. 已知 ， ， ， ，若 且
，则 ____________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内 、 、物联网等智能设备，精
准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台 摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为
状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智
能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取 200 名 70 岁以上的老人进行
问卷调查，得到如下列联表：
摔倒
智能设备 合计
发生 未发生
使用 8 m 100
未使用 n 68
合计 200
（1）求 m，n 的值，并依据小概率值 的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的
发生？
（2）在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机
抽样方法，从样本中抽取 5 人作进一步调查，再从这 5 人中随机抽取 2 人进行面谈，记这 2 人中未使用智
能设备的人数为 X，求 X 的数学期望及方差．
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附： ，其中 ．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16. 的内角 A，B，C 的对边分别为 ．已知 ，
．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求 的周长．
17. 四棱锥 的底面 为矩形， ， ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设四棱锥 的外接球的球心为 M，且点 M 与点 P 在平面 的同一侧，球 M 的半径为
．
（i）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（ii）已知平面 与平面 的交线为 l，点 Q 在 l 上，设直线 和平面 所成的角为 ，求
的取值范围．
18. 动点 与定点 的距离和 P 到定直线 的距离的比是常数 ，记动点 P 的
轨迹为 C．
（1）求 C 的标准方程；
（2）已知点 ，点 M，N 在 C 上，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ．
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（i）若 ，求 的面积；
（ii）证明：直线 过定点．
19. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）证明： （e 为自然对数的底数）；
（3）已知 ，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小关系，并说明理由．
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2025~2026 学年高三年级质量检测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将试卷和答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1 题答案】
【答案】C
【2 题答案】
【答案】B
【3 题答案】
【答案】D
【4 题答案】
【答案】D
【5 题答案】
【答案】B
【6 题答案】
【答案】C
【7 题答案】
【答案】A
【8 题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
【9 题答案】
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【答案】BC
【10 题答案】
【答案】ACD
【11 题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
【12 题答案】
【答案】 ##
【13 题答案】
【答案】
【14 题答案】
【答案】 或
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15 题答案】
【答案】（1） ， ，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生
（2）X 的期望 ；X 的方差 ．
【16 题答案】
【答案】（1）
（2）
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【18 题答案】
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【19 题答案】
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【答案】（1） 的递增区间是 ， ；递减区间是： ，
．
（2）证明见解析 （3） ，理由见解析
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