河南省许昌市2026届高三下学期第三次质量检测数学试题（Word版附答案）

这是一份河南省许昌市2026届高三下学期第三次质量检测数学试题（Word版附答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2. 若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
3. 已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A. 9B. 6C. D.
【答案】D
4. 在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
6. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 函数是奇函数D. 函数是偶函数
【答案】C
8. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 的展开式中的系数为
B. 一组数据2，4，6，5，，4，3的中位数一定是4
C. 一组数据的线性回归方程为，若，则
D. 对随机事件，，若，，则事件与相互独立
【答案】ABD
10. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数上单调递增
D. 函数在上所有零点之和为，则的取值范围是
【答案】BC
11. 有一款弹球游戏，在如图所示的矩形球台上进行，游戏开始时，弹球从点发射，玩家可以自由控制发射角度，但不能沿边框发射，弹球发射后沿直线运动，碰撞到球台的边框后被反弹（入射角=反射角），反弹后继续沿直线运动，经过若干次反弹后，到达的中点，一轮游戏结束.若弹球大小忽略不计，则（ ）
A. 若经过一次反弹到达点，则碰撞点是某边框的一个三等分点
B. 若经过两次反弹到达点，则首次碰撞点是某边框的一个四等分点
C. 若前两次碰撞点分别在、上，则只经过三次反弹不可能到达点
D. 若经过三次反弹到达点，且首次碰撞点在上，则该点是的一个五等分点
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________.
【答案】##1.5
13. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，为抛物线上一点，若为锐角，，则________.
【答案】
14. 已知函数的定义域为，，，若，则不等式的解集为__________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀.
（1）若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）；
（2）从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望.
附：若随机变量，则，，.
解（1）因为，所以，，
所以，
则，
所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人.
（2）因为，且，
所以，
依题意，
所以，，
，，
故随机变量的分布列为：
所以随机变量的期望.
16. 记为等差数列的前项和.已知且.
（1）求的通项公式；
（2）设函数，，求数列的前项和.
解（1）设数列的公差为，由可知
，则
又，令可得
联立解得，，则
（2）当，时，
，当，时，成立，
所以
，则，
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解（1）平面平面，平面平面 ，，且平面，则平面，
因平面，则，又，则，
因平面，则平面，
又平面，故平面平面.
（2）由平面，平面平面，平面，则
故为的中点，取的中点，连接，，
则平面，因平面，则，
，平面，所以平面
故可以为坐标原点，，所在直线为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则，故可取，
设与平面所成角为，则.
（3）由（1）知，平面，因平面，则，即为直角三角形，
又也为直角三角形，则三棱锥外接球的球心为线段的中点.
，即 ，在平面外，在平面内，则平面，
故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半.
故，
而，故.
18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，.
（ⅰ）若点坐标为，求直线的方程；
（ⅱ）若，，求的值.
解（1）由题知，解得，
所以的方程为.
（2）（i）因为，又 ，由对称性知，
又，所以，
由，消并整理得到，解得或，
当时，，所以，
则，所以直线的方程为，即.
（ii）设，，则，
又，则，解得，，
因为在椭圆上，则，即，
又，则，
易知，化简得，则，
又因为，
又，则，解得，，
因为在椭圆上，则，即，
又，则，
易知，化简得，得到，
故.
19. 已知函数，.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由.
解（1）当时，，，
则为增函数，又，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）（ⅰ）即，
当时，若，则，，且，不等式不成立，
，
当时，令，，
令，则，在上为增函数，，
，，，
，又且，
则在上有且仅有一个零点，
当时，，，在上为增函数，
当时，，，在上为减函数，
则函数在处取得最小值，，
又，则此时必有，所以，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点，
设点为函数图象上的点，则关于原点对称的点为，
，
设函数，
，为偶函数，
当时，，
，
，则，所以函数为增函数，，
，
即方程在上有唯一解，0
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