2025-2026学年下学期浙江省宁波镇海中学高三数学5月高考模拟试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期浙江省宁波镇海中学高三数学5月高考模拟试卷含答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 A=y∣y=−x2,B={x∣x>2} ,则下列说法正确的是
A. A∩B=B B. A∪B=R C. ∁RA∪B=B D. ∁RB∩A=A
2. 已知 α,β,γ 是空间中三个不同的平面, a,b,c 是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是
A. 若 a⊥b,b⊥c ,则 a//c B. 若 α⊥β,β⊥γ ,则 α//γ
C. 若 a⊥α,a⊥β ,则 α//β D. 若 a//α,a//β ,则 α//β
3. 图中是抛物形拱桥，当水面在 l 时，拱顶部离水面 1 m ，水面宽 2 m ，水面下降 1 m 后，水面的宽约为 (其中 2≈1.414 ,精确到 0.1 m )
A. 1.4 m B. 2.8 m C. 4.2 m D. 5.7 m

第 3 题图
某函数的图像如图所示, 则该函数解析式可能为

第 4 题图
A. x−1ex B. x2−1ex C. exx+1 D. x2−1ex
5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合, 且内切球的半径为 1 , 则圆锥的体积为
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
6. 在 □ABC 中,角 A,B,C 为三个内角,则 “ 1+sinAcsA=1+sinBcsB ” 是 “ A=B ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1 的左右焦点分别为 F1,F2 ,直线 y=3 与双曲线的右支交于点 P 且 ∠F1PF2=π2 , PF2 的中点记为 Q ,且 OQ=3 ,则双曲线 C 的离心率为
A. 3 B. 3+32 C. 23 D. 3+1
8. 已知函数 fx=ex−x+1,gx=klnx,ℎx=kx−k ,在区间 k 上恒有 fx≥ℎx≥gx ,求 k 的取值范围
A. 0,e2−1 B. 0,e2−1 C. (0,e−1] D. 0,e−1
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. χ2 独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的上四分位数是 8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非 0 的直线上,则 R2=1
D. 已知父亲身高为 172 cm ，儿子身高的观测值为 176 cm ，儿子身高预测值为 173 cm ，则儿子身高的残差为 3 cm
10. 已知平面内的三个非零向量 a、b、c 满足 b⋅b−a=b2 ,且 a−b=b−c=c−a=2 ,则下列说法正确的是
A. a⊥b B. a−b⋅b−c=−2
C. a⋅c 的最小值为 1 D. a⋅c 的最大值为 3
11. 已知无穷数列 an 前 n 项和为 Sn ,若存在 i,j∈{1,2,⋯,n} ,当 i≠j 时, Si=Sj ,则称 an 为“绝对数列”. 则下列选项正确的是
A. 已知数列 an=2n−5n∈N∗ ,则数列 an 为“绝对数列”
B. 若数列 an 和 bn 均为“绝对数列”，则 an+bn 为“绝对数列”
C. 若等比数列 an 为“绝对数列”,则公比为 -1
D. 存在两个公差均不为 0 的等差数列 an 和 bn ，使得数列 an,bn,an+bn 和 anbn 均为“绝对数列”
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 复数 z=1+i1+i2 ，则 z= _____.
13. 已知实数 a,b 满足 ab+5=3a+2b ，且 a>2 ，则 a+b 的最小值为_____.
14. 甲有 2 个白球和 1 个黑球, 乙有 3 个白球, 甲乙两人每次交换 1 个球, 经过 5 次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角 □ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 ccsA+3csinA=b+a .
(1)求 C 的大小；
(2)若 CE 平分 ∠ACB 交 AB 于点 E ，求 AEBE 的取值范围.
16. 如图,已知平行四边形 ABCD,AB=4,BC=6,∠ABC=π3,E 是线段 BC 上的点,且 2BE=EC,F 为线段 AD 中点,现将 □ABE 沿 AE 翻折至 □AB1E ,使得 BB1=2 .
(1)若点 M 在线段 B1C 上，且 B1M=3MC ，证明: FM// 平面 AB1E ；
(2)求直线 DB1 与平面 AB1E 所成角的正弦值.

17. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=−50 ,当 n≥2 时满足 nSn−n+1Sn−1=n3−n .
(1)求 Sn ；
(2)令 bn=Snn ，记 Tn 为 bn 的前 n 项和，当 n 为何值时， Tn 取最小值.
18. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=4x 上点 Pt2,2t 处的切线与双曲线 x2−y2=1 相交于不同的两点 A,B .
(1)若 P 为 AB 中点，求实数 t 的值；
(2)若 01 与 Γ2:xy=mm>0 交于点 A .
(1)当 a=e 时，求曲线 Γ1 在 0,1 的切线方程；
(2)若直线 OA 与 Γ1 相切于点 A ,求 am 的值；
(2)若直线 OA 与 Γ1 交于另一点 B ，且 OB≥2OA ，求 am 的取值范围.
数学模拟练习解析
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 A=y∣y=−x2,B={x∣x>2} ,则下列说法正确的是
A. A∩B=B B. A∪B=R C. CRA∪B=B D. CRB∩A=A
【答案】D
A=(−∞,0] ,故 A∩B=⌀,A∪B=(−∞,0]∪2,+∞ ,
CRA=0,+∞,CRB=(−∞,2],CRB∩A=(−∞,0]=A,CRA∪B=0,+∞ .
故选择: D
2. 已知 α,β,γ 是空间中三个不同的平面, a,b,c 是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是
A. 若 a⊥b,b⊥c ,则 a//c B. 若 α⊥β,β⊥γ ,则 α//γ
C. 若 a⊥α,a⊥β ,则 α//β D. 若 a//α,a//β ,则 α//β
【答案】C
A 项: 取 a,b,c 两两垂直,故 A 错;
B 项: 开门模型 B 错;
C 项: 即 α 与 β 的法向量平行,故 α//β ,故C正确;
D 项: 取 α∩β=m,a//m 即可,故D错.
故选择: C
3. 图中是抛物形拱桥，当水面在 l 时，拱顶部离水面 1m ，水面宽 2m ，水面下降 1m 后，水面的宽约为(其中 2≈1.414 ,精确到 0.1 m )
A. 1.4m B. 2.8m C. 4.2m D. 5.7m


【答案】B
如图建系,即抛物线 y=ax2 过 1,−1 ,知 a=−1 ,故 y=−x2 ,在 y=−x2 中,令 y=−2⇒x=2 ,水面宽 22≈2.8 .
故选择: B
4. 某函数的图像如图所示, 则该函数解析式可能为

A. x−1ex B. x2−1ex C. exx+1 D. x2−1ex
【答案】B
考虑 fx 有 2 个零点,排除 AC,考虑 x→+∞ 时 fx→0+ ,排除 D.
故选择: B
5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合, 且内切球的半径为 1 , 则圆锥的体积为
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
【答案】C
考虑主视图, 即等腰三角形的内切圆与外接圆圆心重合, 故圆锥轴载面为正三角形, 内切圆半径为 1,则边长为 23 ,高为 3,所以 V=13πr2⋅ℎ=13π32⋅3=3π .
故选择: C
6. 在 △ABC 中,角 A,B,C 为三个内角,则 n1+sinAcsA=1+sinBncsB 是 “ A=B ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
考虑 fx=1+sinxcsx 为 csx,sinx 到 0,−1 的斜率, x∈0,π ,知 fx 在 0,π2 与 π2,π 上均递增, f0=1,fπ=−1 得大致图象,故为充要条件.
故选择: C
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1 的左右焦点分别为 F1,F2 ,直线 y=3 与双曲线的右支交于点 P 且 ∠F1PF2=π2 , PF2 的中点记为 Q ,且 OQ=3 ,则双曲线 C 的离心率为
A. 3 B. 3+32 C. 23 D. 3+1
【答案】D
OQ=3⇒F1P=6 ,故 F2P=6−2a,S△PF1F2=b2tan45∘=122c⋅3⇒b2=3c ①,

36+6−2a2=4c2⇒9+a2−6a+9=c22 ,
由②c2−a2=18−6a由①c2−a2=b2=3c⇒c=6−2a ,
故 b2=c2−a2=c2−6−c22=3c ,
解得 c=23,a=3−3 ,所以 e=ca=3+1 .
故选择: D
8. 已知函数 fx=ex−x+1,gx=klnx,ℎx=kx−k ,在区间 k 上恒有 fx≥ℎx≥gx ,求 k 的取值范围
A. 0,e2−1 B. (0,e2−1] C. (0,e−1] D. 0,e−1
【答案】A
gx−ℎx=klnx−x+1≤0 ,而 lnx≤x−1 ,故 k≥0 .
fx≥ℎx 即 ex−x+1≥kx−1,x∈(0,1] 时,左 ≥0≥ 右,
只需 x∈1+∞ 时, k≤ex−x+1x−1min→记为αxαx=exx−1−1=e⋅ex−1x−1−1≥e2−1
(熟知 ett 在 t>0 时最小值为 e ), x=2 取等,故 k∈0,e2−1 .
故选择: A
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. χ2 独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的上四分位数是 8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非 0 的直线上,则 R2=1
D. 已知父亲身高为 172 cm ，儿子身高的观测值为 176 cm ，儿子身高预测值为 173 cm ，则儿子身高的残差为 3 cm
【答案】ACD
A 项: 在普查中, 已掌握了总体的全部信息, 变量之间的关系是确定的, 无需进行假设检验, A 正确;
B 项: 10 个数据 10×75%=7.5 ,取第 8 位即 5 是上四分位数, B 错;
C 项: 此时线性关系完美,预测值与观测值完全一致, R2=1,C 对;
D 项: 残差=观测值-预测值=3, D 对.
故选择:ACD
10. 已知平面内的三个非零向量 a 、 b 、 c 满足 b⋅b−a=b2 ，且 a−b=b−c=c−a=2 ，则下列说法正确的是
A. a⊥b B. a−b⋅b−c=−2
C. a⋅c 的最小值为 1 D. a⋅c 的最大值为 3

【答案】ABD
条件即 bb−a−b2=bb−a−b=0⇒a⋅b=0 ,故 A 正确; 从 OA=a,OB=b,OC=c ,故 AB=BC=CA=2 ，
正三角形 ABC 中， OA⊥OB ， O 轨迹为圆.
对 B: 即 BA⋅CB=−BA⋅BC=−BABCcs60∘=−2 ,故 B 正确;
对 CD ,即 OA⋅OC ,由极化恒等式, OA⋅OC=OM2−CM2=OM2−1,M 为 AC 中点, OM∈0,2 ,故 a⋅c∈−1,3 ,故 D 正确.
故选择: ABD
11. 已知无穷数列 an 前 n 项和为 Sn ,若存在 i,j∈{1,2,⋯,n} ,当 i≠j 时, Si=Sj ,则称 an 为 “绝对数列”. 则下列选项正确的是
A. 已知数列 an=2n−5n∈N∗ ,则数列 an 为 “绝对数列”
B. 若数列 an 和 bn 均为 “绝对数列”,则 an+bn 为 “绝对数列”
C. 若等比数列 an 为 “绝对数列”,则公比为-1
D. 存在两个公差均不为 0 的等差数列 an 和 bn ,使得数列 an,bn,an+bn 和 anbn 均为 “绝对数列” 【答案】AD
A 项: Sn=n2−4n 对称轴为 2,于是取 i=1,j=3,S1=S3 ,故 A 对;
B 项: 由 A 取 an=2n−5 再取 bn=7−2n 满足条件, an+bn=2 不为绝对数列,故 B 错;
C 项: 考虑 S1=S2,a1=a1+a1q1,a1≠0⇒q+1=1,q=0 或-2,
q=−2 时, a1=1,a2=−2,S1=1,S2=−1 满足条件,故C错;
D 项: 取 an=bn=3−n ,验 an 与 bn : 前 n 项和 Sn=−12n2+52n 对称轴 52,S1=S4 满足,
验 an+bn:an+bn=6−2n,Sn=−n2+5n,S1=S4 ,
验 anbn:anbn=3−n2 ,序列为 41014,前 n 项和 S1=4,S2=5,S3=5,S4=6,S2=S3 满足.
故选择: AD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 复数 z=1+i1+i2 ，则 z= _____.
【答案】 3
性质 z1z2=z1z2,z=1+i×1+i2=1+1⋅1+12=3 .
故答案为: 3
13. 已知实数 a,b 满足 ab+5=3a+2b ,且 a>2 ,则 a+b 的最小值为_____.
【答案】7
ab−3a−2b=−5⇒a−2b−3=1≤a+b−522 ,
解得 a+b≥7,a=3,b=4 取等.
故答案为: 7
14. 甲有 2 个白球和 1 个黑球, 乙有 3 个白球, 甲乙两人每次交换 1 个球, 经过 5 次交换后, 黑球仍然在甲手中的概率为_____.
【答案】 122243
记 n 次交换后黑球仍在甲手中的概率为 Pn ,则 P0=1 ,
Pn=23Pn−1+131−Pn−1⇒Pn=13Pn−1+13,
Pn−12=13Pn−1−12,Pn=P0−1213n+12=1213n+1 ,故 P5=122243 .
故答案为: 122243
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 ccsA+3csinA=b+a .
(1)求 C 的大小；
(2)若 CE 平分 ∠ACB 交 AB 于点 E ，求 AEBE 的取值范围.
(1)由射影定理: b=ccsA+acsC ,
故 ccsA+3csinA=ccsA+acsC+a⇒3csinA=acsc+a ,
由正弦定理 3sinCsinA=sinAcsC+sinA,A∈0,π,sinA>0 ,
故 3sinC=csC+1,3sinC−csC=2sinC−π6=1,sinC−π6=12 ,
钝角三角形 C∈0,π2 ，故 C−π6∈−π6,π3 ，于是 C−π6=π6,C=π3 .

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