山西长治市上党区第一中学校2025_2026学年高二下学期期中考试数学试题 [含答案]

这是一份山西长治市上党区第一中学校2025_2026学年高二下学期期中考试数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列两个变量中,具有相关关系的是
A．正方体的体积棱长
B．匀速行驶的汽车的行驶距离与时间
C．人的身高与体重
D．人的身高与视力
2．，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（ ）
A．10B．20C．30D．40
4．某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（ ）
A．120分，75B．120分，20C．115分，65D．115分，140
5．如图，正方体中，的中点为N，则异面直线与CN所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
6．年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．下列结论正确的是（ ）
A．如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1
B．命题的“，”否定是“，”
C．一组数据从小到大排列为4、6、7、8、10、m、16、18、19、20，若该组数据的60%分位数是14，则
D．残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
8．已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A．B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为D．展开式中的有理项有6项
10．某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ）
A．该学生的眼睛近视的概率为0.69
B．该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8
C．如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3
D．如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为
11．已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（ ）
A．B．为偶函数C．D．
三、填空题
12．已知函数，则__________.
13．如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－则点M的轨迹方程为________．
14．一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种.
四、解答题
15．随着新冠肺炎疫情的阴霾逐渐消散，国内旅游行业迎来了发展机遇．飞机出行是国民旅游的重要交通方式，但由于天气，航空管制等原因，会出现飞机晚点的情况．某机场工作人员调查飞机晚点时间x（单位：）与旅客投诉次数y的相关数据如下表，调查发现，x与y有着极强的线性相关关系
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若某航班飞机晚点，试估算旅客的投诉次数．
参考公式：．
16．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？
(2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
17．某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起.
(1)从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率；
(2)从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望.
18．已知函数，其中.
(1)当时，求在处的切线；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围.
19．为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立.
(1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值；
(2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望；
(3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明：
x
10
20
30
40
50
y
1
3
4
5
7
男教师
女教师
总计
优秀
20
15
35
非优秀
10
5
15
总计
30
20
50
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
答案
1．C
【详解】对于A，正方体体积与棱长是确定的函数关系，A不是；
对于B，匀速行驶的汽车的行驶距离与时间是确定的函数关系，B不是；
对于C，人的身高会影响体重，但不是唯一因素，它们具有相关关系，C是；
对于D，人的身高与视力无任何关系，不具有相关性，D不是.
2．A
【详解】由有意义，得，解得或，
则或，，而，
所以.
故选：A
3．B
【详解】令得，解得，
二项式的展开式的通项公式为且，
所以当时，；当时，，
所以二项式展开式的常数项为.
故选：B
4．D
【详解】因为某AI公司有男性30人，女性10人，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，
所以该公司的平均成绩为分，
该公司成绩的方差为.
5．D
【详解】
连接交于点，由正方体可知，
则与所成的角为异面直线与所成的角.
由图可知，则，
，
设正方体的棱长为，
，，
则，
则异面直线与所成的角余弦值为.
6．D
【详解】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，
则，
，
则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率
，
故选：D.
7．C
【详解】A：如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值就接近于1，故A错误；
B：由全称命题的否定为特称命题，则“，”否定是“，”，故B错误；
C：由题设，则，故C正确；
D：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故D错误.
8．D
【详解】函数定义域为，令，
两边乘整理得： ，
设，求导得 ，故在R上单调递增，
由，
可得：，
故原函数恰有两个零点，等价于方程在上恰有两个不同实根，
令，求导： ​
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
因此的最小值为，
且，；时，，
故方程有两个不同实根，需满足，即​，
故的取值范围是.
9．ABD
【详解】由题设，二项式展开式通项为，，
由，且，则，
所以，可得，
所以，A对，则，，
令，则，故常数项为，B对，
令，则，故含的项的系数为，C错，
令，则，故共有6项，D对.
10．AC
【详解】对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确；
对于：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故错误；
对于：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故正确；
对于：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故错误.
故选：AC.
11．ACD
【详解】选项A：令代入已知等式：，得，故，故A正确.
选项B：令代入已知等式：，
已知，对任意：若，可得；
若，在原函数关系式中令，
得，
再令，得. 因为，所以，即，
此时也有. 等式仍成立. 因此是奇函数，不是偶函数，故B错误.
选项C：由为偶函数，得，令，即，
说明关于直线对称.
推导得：，
，
因此，故C正确.
选项D：由，得，故周期.
计算一个周期内的函数值：
，，，，
即一个周期和为.
已知，因此，故D正确.
12．5
【详解】对求导得，所以，
解得，所以，.
13．
【详解】设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（－5，0）．
所以直线AM的斜率kAM＝ （x≠－5），
同理，直线BM的斜率kBM＝ （x≠5）．
由已知有·＝ （x≠±5），
化简，得点M的轨迹方程为
故
14．
【详解】由，可得，
所以.
不妨设，则，还有一个数为，
显然，，
对于任意取值，都有如下情况，
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法.
因为，所以一共有种.
故答案为.
15．(1)
(2)11次．
【详解】（1），
，
，
，
，
所以y关于x的线性回归方程是．
（2）当时，，
所以旅客的投诉次数约为11次．
16．(1)不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.
(2)分布列见解析，
【详解】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关.
根据表中数据，计算得到
根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.
（2）的可能取值为.
; ; ;
的分布列为：
数学期望.
17．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由正态分布可知，甲生产线生产的这种零件是优等品的概率为
，
乙生产线生产的这种零件是优等品的概率为
从这批混合零件中随机抽取一件是甲生产线生产的概率为，是乙生产线生产的概率为，
由全概率公式可得，从这批混合零件中随机抽取一件，该零件是优等品的概率是
（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，且
所以的分布列为
所以
18．(1)
(2)时，在单调递增，在单调递减；
时，在，单调递增，在单调递减；
时，在上单调递增；
时，在，单调递增，在单调递减；
(3)
【详解】（1）当时，，则，
又，则，
切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，
∴，
若，则，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
若，令，则或，
当，即时，或，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增；
当，即时，或，，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上：
时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在，上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增；
时，在，上单调递增，在上单调递减；
（3），
令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点，
所以，则 ， ，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且时，时，，大致图象如下，
要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即，
所以a的取值范围是.
19．(1)处取得最大值，.
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况：
情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为.
情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为.
所以.
对于二次函数，图象开口向下，对称轴为，
所以在处取得最大值，.
（2）已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，.
当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则
；
当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为，
第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为，
第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为，
所以，
当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为，
第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为，
第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为，
所以，
当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则，
所以.
（3）已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为.
那么第次是甲投篮有两种情况：
第次是甲投篮且没投进，概率为.
第次是乙投篮且投进，概率为.
所以.
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，即.
当为奇数时，，，单调递增，，且.
当为偶数时，，，单调递减,，且.
综上，.
0
1
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1
2
3
4
P