山西省长治市2022-2023学年高一下学期期中数学试题(无答案)

高一数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列命题中真命题的个数是（    ）

（1）温度、速度、位移、功都是向量       （2）零向量没有方向

（3）向量的模一定是正数                 （4）直角坐标平面上的轴、轴都是向量

A．0         B．1            C．2             D．3

2．已知两个单位向量，的夹角是，则（    ）

A．1          B．             C．2            D．

3．设，（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（    ）

A．           B．            C．           D．

4．下列说法正确的是（    ）

A．直四棱柱是长方体

B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体

D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分

5．在中，为BC的中点，，，与AD交于点，，则（    ）

A．            B．           C．              D．

6．“升”和“斗”是旧时量粮食的器具，如图所示为“升”，是一个无盖的正四棱台，据记载：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤．该“升”的容积约是（约定：“上口”指上底边长；“下口”指下底边长．）（    ）

A．         B．        C．           D．

7．已知向量，，满足，，，则的最小值是（    ）

A．             B．             C．         D．

8．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，称此平面坐标系xOy为斜坐标系．若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，若向量，，则下列结论正确的是（    ）

A．                          B．

C．         D．向量与可作为该平面的一个基底

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．如图所示，C，D是线段AB的两个三等分点，则下列关系式中正确的是（    ）

A．      B．     C．    D．

10．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A．的实部为                               B．的虚部为

C．复数在复平面内对应的点位于第四象限         D．的共轭复数为

11．如图所示，一个平面图形ABCD的直观图为，其中，，则下列说法中正确的是（    ）

A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形

B．该平面图形的面积是8

C．该平面图形绕着直线AC旋转半周形成的几何体的体积是

D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为

12．已知对任意角，均有等式．设的内角A，B，C满足，面积满足．记a，b，c分别为角A，B，C的对边，则下列式子中一定成立的是（    ）

A．                B．

C．               D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．向量在向量上的投影向量________．

14．已知在复平面内，向量对应的复数是，对应的复数是，则向量对应的复数是________．

15．已知中，角A，B，C所对的边分别为，，，，，那么面积的取值范围是________．

16．如图所示，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后将余下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥．若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为（单位：），且，则该球的半径（单位：）的取值范围是_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知复数，（，为虚数单位）．

（1）若，求；

（2）若是关于的实系数方程的一个复数根，求．

18．（12分）

已知平面直角坐标系中，向量，．

（1）若，且，求向量的坐标；

（2）若与的夹角为_______，求实数的取值范围．

请在如下两个条件中任选一个，将问题补充完整，并求解（如果两个条件都选则按第①个的答题情况给分）：①锐角；②钝角．

19．（12分）

一条河南北两岸平行．如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为．设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向．

（1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；

（2）当，时，游船航行到北岸的实际航程是多少?

20．（12分）

中，已知角A，B，C的对边分别为，，，，，，．

（1）若，，求AD的长度；

（2）若AD为角平分线，且，求的面积．

21．（12分）

中，，，，，分别在边AB，AC上，且，．

（1）求CD与BE所成锐角的余弦值；

（2）在线段DE上是否存在一点，使．若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）

南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为．

（1）求图中四分之一圆柱体的体积；

（2）在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）；

（3）四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点在棱上，设．过点作一个与正方体底面AC平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；

（4）如果令，求出八分之一“牟合方盖”的体积．