安徽省临泉田家炳实验中学2026届高三下学期4月期中数学试题 [含答案]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是复数的共轭复数，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. 1C. D.
4. 98除的余数是（ ）
A. 1B. 9C. 3D. 6
5. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星．假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件在有4颗卫星稳定运行（成功入轨后）的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆C：的右焦点为，过点的直线与直线垂直，且与椭圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为锐角，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，抛物线上有一点，点P到原点的距离为4，到准线l的距离为，过点P的直线与x轴交于点A，与抛物线C交于另一点B，且P为线段AB的中点，F是抛物线C的焦点，M是PO的中点，N是抛物线弧PO上的动点，则（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
11. 已知，为自然对数的底数，若，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的导数为，函数的“牛顿数列”满足，若，则__________．
13. 在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____.
14. 如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱台中，垂直于底面，上、下底面均为正方形，，，分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
16. 已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求证.
17. 已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）若，证明函数有两个零点．
18. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，虚轴的一个端点到渐近线的距离为．双曲线C的右焦点为F，点M在C上，且轴，过点M与C相切的直线l与x轴交于点P．
（1）求双曲线C的方程．
（2）若点M在x轴上方，求以线段MP为直径的圆的一般方程．
（3）过点P的直线交双曲线C于D，E两点（点D在双曲线的左支上，且不为左顶点），G为线段PF的中点，直线GE与MF交于点H，求证：直线DH与x轴平行．
19. 在一次试验中，事件发生的概率为，若以表示本次试验中事件发生的情况，且仅取（表示事件发生，表示事件不发生）两个值，则这样的分布称为两点分布.在次这样的独立重复试验中，如果每一次试验都服从两点分布，且每一次试验中目标事件成功发生的概率恒为，以表示需要试验的次数，那么目标事件成功发生次所需要进行的试验次数会服从Pascal分布，记为（参考极限运算：）
（1）某商场有两个相同且透明的抽奖箱，每个箱子里有个球，每次抽奖就随机从两个箱子中不放回地抽出个球，假设在箱子里的球没有被取完之前，每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的，求当把一个箱子里的球全部取完时，另一个箱子里仅剩个球的概率；
（2）求服从Pascal分布的的分布列；
（3）若满足，证明.
数学
考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：解出集合、后，利用交集定义即可得.
解答过程：由，可得，解得，即，
由，故.
2. 已知是复数的共轭复数，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由，得，
所以，
则.
3. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. 1C. D.
答案：D
解析：
思路：由对称性得到即可求解.
解答过程：依题意，．
故选：D
4. 98除的余数是（ ）
A. 1B. 9C. 3D. 6
答案：A
解析：
思路：将转化为，写出其二项展开式，即可求解.
解答过程：，故98除的余数是1．
故选：A
5. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：由函数的奇偶性及零点逐个排查即可.
解答过程：因为，所以函数是奇函数，排除选项A；
因为，当时，，排除选项D；
由知函数在时的第一个零点为，且，由图中所标的单位长度可知，选项B正确，选项C错误．
故选：B．
6. 2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星．假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件在有4颗卫星稳定运行（成功入轨后）的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由独立重复试验概率及条件概率计算公式即可求解.
解答过程：设事件A为5颗卫星都成功入轨，事件B为有4颗卫星稳定运行，
在有4颗卫星稳定运行的条件下，5颗卫星都成功入轨的概率，即，
于是．
故选：A．
7. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，将三棱锥补形成长方体，利用长方体与该三棱锥的相同的外接球求解.
解答过程：
设棱的中点分别为，连接，
构造长方体，则长方体外接球的表面积
即为三棱锥外接球的表面积．依题意，，
设长方体外接球的半径为R，则，
所以其外接球的表面积．
故选：B
8. 已知椭圆C：的右焦点为，过点的直线与直线垂直，且与椭圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：
如图所示，因为，所以，
直线与直线垂直，所以有，得，
又因为直线过点，所以直线的方程为，
则直线的方程与椭圆方程联立得，
由于直线与椭圆相切，则，
由于，因此上式化简得，两边同时除以再展开化简得，
解得或，
由于椭圆的离心率满足，因此舍去，保留，
则，故C正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为锐角，若，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：AC
解析：
思路：根据结合题干式子可求出，根据同角三角关系可求出，可判断A；利用可判断B；根据齐次式转换可判断C；利用同角三角关系求出，结合辅助角公式可判断D.
解答过程：由，得，解得，
因为为锐角，所以，所以，
所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，又为锐角，解得，
，
故D错误.
10. 如图，抛物线上有一点，点P到原点的距离为4，到准线l的距离为，过点P的直线与x轴交于点A，与抛物线C交于另一点B，且P为线段AB的中点，F是抛物线C的焦点，M是PO的中点，N是抛物线弧PO上的动点，则（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
答案：BD
解析：
思路：由题意得到，求得，再结合抛物线的基本性质逐个判断即可.
解答过程：依题意，得消去p，整理得，解得（舍去） 或，所以，选项A错误；
抛物线C的方程为，得，因为P为线段AB的中点，点A的纵坐标为0，所以点B的纵坐标为，可得点B的横坐标为8，
于是，所以，选项B正确；
，由题图可知，，选项C错误；
，，选项D正确．
故选：BD．
11. 已知，为自然对数的底数，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：
思路：由，得 ， ，即 .令，利用单调性即可求解.
解答过程：由，得 ， ，即 .令，
则，由，得，由得，
则函数在上单调递减，在 上单调递增，
因为，由，得，
当时，，得；当时，，有，
因此，即，选项B正确；
当时，，选项A错误；
因为，，所以 ，得 ，选项C正确；
若，则 ，又，得，即，
令，则，由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，与矛盾，所以，选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的导数为，函数的“牛顿数列”满足，若，则__________．
答案：
解析：
思路：求，根据题意得，然后用迭代法求解即可.
解答过程：因为，所以，所以，
则.
因为，所以．
故
13. 在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____.
答案：
解析：
思路：过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可．
解答过程：如图，过点B作于点P，连接，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，即就是与截面所成的角，
，因为， ，
所以，整理得，得．
14. 如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为__________．
答案：
解析：
思路：首先根据向量坐标求出数量积的表达式，然后利用辅助角公式将其化简为只含有一个三角函数的形式，最后根据三角函数的性质以及给定的角的范围求出最大值.
解答过程：如图，建立平面直角坐标系，设，
则
，
其中，．因为，所以当时，取得最大值，最大值为．
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱台中，垂直于底面，上、下底面均为正方形，，，分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：
思路：（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
（1）在四棱台中，垂直于底面，连接，则，
，由是的中点，得，
而，则四边形是平行四边形，，
又，，因此，
同理，而平面，
所以平面.
（2）依题意，直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然二面角的平面角为锐角，设其大小为，
则，
所以二面角的余弦值为.
16. 已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求证.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
解析：
思路：（1）由正弦定理得到，推出，进而可求证；
（2）由（1）得到，再结合余弦定理，及基本不等式即可求证；
（3）由(2)知，即，故，再结合二倍角公式化简即可证明．
（1）由及，
得，
由正弦定理得，即，
所以，
则或（舍去），
所以，即，
所以．
（2）由（1）知，，所以，
由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，
所以，
整理得；
（3）由(2)知，
则，
所以
即．
17. 已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）若，证明函数有两个零点．
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）通过，讨论导数符号，进而可求解；
（3）求导确定函数单调性，确定相应最值，进而可求证；
（1）因为，所以．
因为，所以．
所以曲线）在处的切线方程为，即．
（2）对求导，得．
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，令，得，
所以是函数的单调递减区间，
因为在上单调递减，所以，
得，解得，
所以实数a的取值范围是．
（3）令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
．
因为，所以．
因为，所以在上有唯一零点．
又，因为，所以，
则，
所以在上有唯一零点．
综上，函数有两个零点．
18. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，虚轴的一个端点到渐近线的距离为．双曲线C的右焦点为F，点M在C上，且轴，过点M与C相切的直线l与x轴交于点P．
（1）求双曲线C的方程．
（2）若点M在x轴上方，求以线段MP为直径的圆的一般方程．
（3）过点P的直线交双曲线C于D，E两点（点D在双曲线的左支上，且不为左顶点），G为线段PF的中点，直线GE与MF交于点H，求证：直线DH与x轴平行．
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）依题意，再由虚轴的顶点到渐近线的距离求出，即可求出，从而得解；
（2）首先求出点坐标，设，联立直线与双曲线方程，由得到，再由点在直线上，得到，即可求出、的值，从而求出点坐标，即可得解；
（3）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出点的坐标，即可得解.
（1）双曲线的渐近线方程为，
由一条渐近线的方程为，得,
由虚轴的一个端点到渐近线的距离为，不妨设一个端点为，则,
所以，
则双曲线的方程为．
（2）由（1）知点，因为点M在C上，且轴，所以．
设，与双曲线联立，
得．因为直线l与双曲线C相切，
所以，整理得①，
又直线过点，得②，
由①②得，所以直线l的方程为，
所以点的坐标为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
即．
（3）如图，设直线的方程为，，
将代入，
整理得，则，
得，得，
直线的方程为，令，得，
而，
所以，即直线与轴平行．
19. 在一次试验中，事件发生的概率为，若以表示本次试验中事件发生的情况，且仅取（表示事件发生，表示事件不发生）两个值，则这样的分布称为两点分布.在次这样的独立重复试验中，如果每一次试验都服从两点分布，且每一次试验中目标事件成功发生的概率恒为，以表示需要试验的次数，那么目标事件成功发生次所需要进行的试验次数会服从Pascal分布，记为（参考极限运算：）
（1）某商场有两个相同且透明的抽奖箱，每个箱子里有个球，每次抽奖就随机从两个箱子中不放回地抽出个球，假设在箱子里的球没有被取完之前，每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的，求当把一个箱子里的球全部取完时，另一个箱子里仅剩个球的概率；
（2）求服从Pascal分布的的分布列；
（3）若满足，证明.
答案：（1）
（2）分布列见解析 （3）证明见解析
解析：
思路：（1）理解概率模型新定义，结合独立重复试验概率计算公式即可求解；
（2）结合新定义得到，进而可求分布列；
（3）由（2）得出的概率分布，进而求出期望.
（1）因为两个箱子是相同且透明的，不妨分别设为一号箱与二号箱，
记事件为“球来自一号箱”，事件为“球来自二号箱”，
则取一次球后的结果是事件或者事件发生，
又因为每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的，所以，
当一号箱中的球被全部取完时，即已经发生了次事件，
当二号箱中还剩个球时，即已经发生了次事件，
因此总共做了次独立重复试验，并且第次一定是事件发生，
即最后一次取的球一定来自一号箱，否则最后一次取出的球来自其中某个箱子的概率将会不同.
故前次取球中发生了次事件，次事件，最后一次是事件发生，
即，
而对于两个箱子而言，也是需要选择的，因此最终把一个箱子里的球全部取完而另一个箱子里仅剩个球的概率为.
（2）不妨记“试验成功”为事件，“试验失败”为事件，
由（1）情况可知Pascal分布所做的试验满足总共做了次独立重复试验，
事件发生了次，事件发生了次，且第次一定是事件发生，
故，
即其分布列为
（3）若，由（2）知，
，
对于，设，，
构造，两式作差得
，
设，构造，
两式作差得，
即，
故，
所以当时，，即.