甘肃陇南市西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份甘肃陇南市西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含解析），共49页。试卷主要包含了 已知为虚数单位，复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.
1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（ ）
A. 不是棱台B. 不是圆台
C. 不是棱锥D. 是棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】根据棱台，圆台，棱锥，棱柱的定义判断即可.
【详解】对A，根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，棱台的上下底面是相似的多边形，且侧棱的延长线交于一点.
选项A中的几何体上下底面不相似，所以不是棱台；
对B，同理，选项B中的几何体上下也不相似，所以不是圆台；
对C，选项C中的几何体符合棱锥定义（有一个多边形底面，其余各面为共顶点的三角形），因此不是棱锥的判断错误；
对D，根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的多面体叫做棱柱.选项D中的几何体符合棱柱的定义，所以是棱柱.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设，由题意得，
所以，
所以解得，所以.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥的母线长等于底面圆直径
B. 圆柱上、下底面任意两点的连线均为母线
C. 圆台的母线与轴平行
D. 球的直径必过球心
【答案】D
【解析】
【分析】A结合圆锥的轴截面的特征即可判断；B由圆柱的母线的定义即可判断；C结合圆台的结构特征即可判断；D由球的结构特征即可判断.
【详解】A若圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的母线长等于底面圆直径，否则圆锥的母线长不等于底面圆直径，故A错误；
B由圆柱的母线的定义可知圆柱上、下底面任意两点的连线不一定是母线，故B错误；
C圆台的母线与轴相交，故C错误；
D由球的结构特征知球的直径必过球心，故D正确.
故选：D.
4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，即可求出．
【详解】由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
则，
故选：B．
5. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可.
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，所以．
因为，
所以，即，
所以．
因为是锐角三角形，，，
所以，即．
因为，
所以，所以．
因为，所以，
所以．
6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解.
【详解】因为，，，
由余弦定理得：，所以.
因为，所以，
又因为，所以为正三角形.
则当为线段的中点时，，即取最小值，
此时；
又因为，，三点共线，所以，
由平面向量基本定理，得，解得.
7. 已知函数在上单调递减，在上单调递增，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数在上单调递减，在上单调递增的条件，得出在时取最小值，可将表示为含的表达式；再结合单调区间和周期性，判断周期的范围，从而确定的取值范围，取满足条件的整数，即可确定的值，最终求出函数表达式，代入求值即可.
【详解】解：由函数在上单调递减，在上单调递增，所以根据正弦函数的性质，
函数在时取最小值，则，代入，解得，.
又，所以，所以当时，，
所以，故.
8. 已知平面向量，，满足，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再根据，，结合数量积的运算律即可得解.
【详解】因为，，，，
所以，
，得，
显然，所以．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ）
A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为
C. 一个梯形的直观图仍然是梯形
D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；
对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例，
如图①，
在中，，其面积，
在其直观图（图②）中，
作，则直观图的面积
，
因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的，
故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确；
对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，
故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；
对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误.
故选：ABC.
10. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. 的实部为3
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.
【详解】由于，
则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；
由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，
故选：ACD.
11. 设分别为△的内角的对边，下列条件中可以判定△一定为等腰三角形的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角关系，结合三角恒等变换及三角形内角的性质，即可判断△是否为等腰三角形.
【详解】A：，即，有或，错误；
B：，即，在三角形中必有，正确；
C：，在三角形中必有，正确；
D：，而，所以，在三角形中必有，正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意可知，
所以.
13. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和余弦定理，求得，得到，设的外接圆半径为，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由，
可得
所以，
由正弦定理得，再由余弦定理得，
因为，所以，
设的外接圆半径为，由为的外心，
则，且，即，
因为，且，
所以，
，
则
，
所以当，即时和面积之差的最大值为.
14. 函数（其中）的部分图象如图所示，则__________.
【答案】
【解析】
【详解】由图易得，该函数的最小正周期满足，则，
由，则，
将代入，可得，
即，因，则，解得，
所以，故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由纯虚数定义直接求得；
（2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得．
【小问1详解】
是纯虚数，
，
．
【小问2详解】
在复平面内对应的点为,，在第四象限，
，
．
即的取值范围为．
16. 如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）．
（1）若，求AD的长度；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解；
（2）由正弦定理、三角形的面积公式及三角恒等变换求解.
【小问1详解】
在中，，，
由正弦定理可得，，
∴.
【小问2详解】
不妨设，则，，，
在中，由正弦定理得，
则，
由于，得，∴，
∴，∴.
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋csC＝1－sin.
(1)求sinC的值；
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【详解】试题分析：
(1)由题意求解三角方程可得 ；
(2)整理题中所给的等式，结合余弦定理可得 .
试题解析：
(1)由已知得sinC＋sin＝1－csC，即sin＝2sin2，
由sin≠0得2cs＋1＝2sin，即sin－cs＝，
两边平方得：sinC＝.
(2)由sin－cs＝＞0得＜＜，即＜C＜π，则由sinC＝得csC＝－，
由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcsC＝8＋2，所以c＝＋1.
点睛：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解；
（2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解.
【小问1详解】
由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
【小问2详解】
由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
19. 已知函数.
（1）求图象的对称轴；
（2）若函数在区间上有两个零点和，求的值；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）由和差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简得函数解析式，由正弦函数的对称轴求得函数的对称轴；
（2）由取值范围，求得范围，由正弦函数图象作出函数在区间上的大致图象，由对称性求得，即可求得结果；
（3）通过取值范围，求得范围，设，即求得的取值范围.通过二次函数开口方向得到函数最大值点，根据题意建立不等式组，解实数的取值范围.
【小问1详解】
令，解得，
即图象的对称轴为直线.
【小问2详解】
由（1）知，，
由，得，作出函数在区间上的大致图象如下.

由函数在区间上有两个零点和，
得，则.
【小问3详解】
设，因为，则，，即.
对任意，不等式恒成立，
等价于：对任意，不等式恒成立.
令，其图象为开口向上的抛物线，故其在区间上的最大值在端点处取得，所以要使在区间上恒成立，只需，
即，解得，即实数的取值范围是.