广西壮族自治区钦州市2026届九年级初中学科素养第二次测试数学试卷(含答案)

这是一份广西壮族自治区钦州市2026届九年级初中学科素养第二次测试数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了若式子有意义，则x的取值范围是，若，面积比为，则与的周长比为，下列计算正确的是，二次函数图象的对称轴是，一元二次方程的根的情况等内容，欢迎下载使用。
数学
（考试时间：120分钟，满分120分）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．）
1．下列各数中，是有理数的是
A．B．C．D．
2．2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1400000000000斤，迈上了新台阶，亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为
A．B．C．D．
3．下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是
A．B．C．D．
4．若式子有意义，则x的取值范围是
A．B．C．D．
5．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则
A．B．C．D．
6．若，面积比为，则与的周长比为
A．B．C．D．
7．下列计算正确的是
A．B．C．D．
8．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是
A．B．C．D．
9．二次函数图象的对称轴是
A．B．C．D．
10．一元二次方程的根的情况
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
11．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为
A．B．C．D．
12．如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．若分式有意义，则的取值范围是_____________．
14．分解因式：_____________．
15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的全面积为_____________．
16．如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分8分）
（1）计算：
（2）解不等式：
18．（本题满分10分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
（1）表格中的值为_____________；
（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加乒乓球活动的学生人数；
（3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由．
19．（本题满分10分）如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
20．（本题满分10分）为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本．
（1）求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价；
（2）某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？
21．（本题满分10分）综合与实践
图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，）
（1）求的度数；
（2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值；
（3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的左视图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？
22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长；
（3）当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围．
23．（本题满分12分）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点．
（1）如图1，若点与点重合，，求证：；
（2）如图2，点，都在的延长线上，连接．
①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法）
②证明：；
（3）在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明．
2026年钦州市初中学科素养第二次测试
数学参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（1）解：原式2分
．4分
（2）解：1分
2分
．4分
18．解：（1）10；3分
（2）（人），5分
答：估计该校参加乒乓球活动的学生人数约为180人；6分
（3）选择乙，理由：8分
从折线统计图可以发现，随着周数的增加，乙同学投篮的命中次数也在增加．10分
（答案不唯一）．
19．解：（1）连接，
是中点，是中点，
是的中位线，1分
，
．2分
，
，
，
．3分
是半径，4分
为的切线．5分
（2）在中，根据勾股定理，
，6分
由（1）得，
．
，
．7分
在中，
，
，8分
，即，9分
，
的半径为3．10分
20．解：（1）设该校购买《西游记》的单价为元，1分
，2分
解得，3分
检验：时，，是原分式方程的解，4分
，
答：该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元．5分
（2）设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，
，6分
根据题意得，解得，
为正整数，
的最小值是4，7分
是关于的一次函数，且，8分
随的增大而增大，9分
∴当时，取得最小值，
此时，
答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低．10分
21．解：（1）过点作交于点，则，1分
，
．2分
（2），且为定值，3分
是关于的正比例函数，且随增大而增大，4分
∴当时，最大．
将、、代入，得，
∴支架能承受的最大力约为．5分
（3）过点作，过点作交于点，过点作交于点，
则，
∴四边形是矩形，6分
，，
，
，
中，
，
，
，7分
（），
，
（），8分
，
，9分
∴在中，
，
，
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．10分
22．解：（1）当时，抛物线为．1分
∴抛物线的顶点坐标为；2分
（2）抛物线向上平移2个单位后为，3分
令，即，4分
，
，
解得或，5分
∴抛物线与轴的交点分别为，，
；6分
（3），
∴对称轴为直线，7分
，
∴抛物线开口向上，
，，
∴当时，取到最小值为，8分
当时，取到最大值，最大值为，9分
的最大值与最小值之差为5，
，10分
化简得：，即，
，
，
，11分
，
．12分
23．证明：（1），，
，1分
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，
，，
，
，2分
，
∴四边形是平行四边形，
，
；3分
（2）①如图，在上取一点，使得．（作法不唯一）5分
②∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，6分
，
，
（），7分
（3），理由如下：8分
，，
．9分
，
，
，10分
，
，
，
，11分
，
，即，
．12分体育活动
足球
篮球
排球
乒乓球
跳绳
啦啦操
人数
6
12
9
8
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
C
D
B
A
A
A
B
B
A