安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120 分钟 分值：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可.
【详解】复数 在复平面内对应的点为 ，则
故选： .
2. 若向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 8 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的运算求得 ，再利用模长与数量积的关系求解即可.
【详解】 ，得 ，
所以 .
故选：A.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 直四棱柱是长方体
B. 正六棱锥的侧面都是正三角形
C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
第 1页/共 20页
【答案】C
【解析】
【分析】由正棱柱、正棱锥的概念判断 A、B；由旋转体的结构特征判断 C、D．
【详解】对于 A，长方体是底面为矩形的直四棱柱，故 A 不正确；
对于 B，正棱锥的侧面都是等腰三角形，所以正六棱锥的侧面都是等腰三角形，故 B 不正确；
对于 C，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台,故 C 正确；
对于 D，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，
故 D 不正确.
故选：C.
4. 已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出 ， ，再利用夹角公式求解即可.
【详解】由 ， ，两式相加，得 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 .
故选：A．
5. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ．则△ABC 的形
状为( )
A. 正三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简已知条件可得 B，故可判断三角形形状.
【详解】由 知， ，
第 2页/共 20页
∴ ＝ ，
， ，
，
∴ ，
∵在△ABC 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
即△ABC 为直角三角形．
故选：C．
6. 打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由 16 根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之
外的长为 7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是 6.8cm，底部
所围成圆的直径是 2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（ ）
A. 105.5cm2 B. 111cm2 C. 92.8cm2 D. 100.8cm2
【答案】A
【解析】
【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆锥侧面积公式求出圆台的侧面积.
【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大圆锥和小圆锥的侧面积之差，
因为顶端所围成的直径是 6.8cm，底部所围成圆的直径是 2.8cm，
所以相应半径为 3.4cm，1.4cm.
设小圆锥母线长为 ，则大圆锥母线长为 ，
由相似得， ，即 ，
所以羽毛所在曲面面积
.
第 3页/共 20页
7. 如图，在矩形 中， 为 边上靠近点 的三等分点， 为 边上靠近点 的四等分点，且
线段 交 于点 .若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先把 用 表示出来，然后利用共线定理设 ，
，联立方程即可求解.
【详解】 在矩形 中， ，
由题意： 为 靠近 的三等分点，故 ；
为 靠近 的四等分点，故 ，
因为 在 上，设 ，
又因为 在 上，根据向量共线定理，存在参数 使得： ，
代入 得： ，
两个表达式对应系数相等： ， 联立得 ，解得 ，代入得 .
因此 .
第 4页/共 20页
8. 在平面四边形 ABCD 中， ，若 ，则
（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标法求解.
【详解】以 AC 所在直线为 x 轴，AC 的垂直平分线为 y 轴，
建立平面直角坐标系（点 D 在 x 轴上方），
设 ，则 ，
，
因为 ，所以
所以 ，解得 ，所以 .
故选：A.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知非零复数 在复平面内对应的点分别为 为坐标原点，则（ ）
第 5页/共 20页
A. 当 时，
B. 当 时，
C. 若 ，则存在实数 ，使得
D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
【详解】结合复数运算法则及复数几何意义化简计算即可.
【解答】对 A， 即 ，两边平方可得 ，A 对；
对 ，取 ，则 ，当 ，B 错；
对 ， 即 ，两边平方可得 ，
故 ，故 ，因此存在实数 ，使得 ，C 对；
对 ，取 ，但 ，D 错.
故选：AC
10. 如图，在正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点，有下列四个结
论正确的是（ ）
A. 与 是异面直线； B. 、 、 相交于一点；
C. ； D. 平面 .
【答案】BD
第 6页/共 20页
【解析】
【分析】本题首先可根据 、 判断出 A 错误，然后根据平面 平面
得出 B 正确，再然后根据 得出 C 错误，最后根据线面平行的判定即可证得 D 正
确.
【详解】A 项：如图，连接 、 、 ，
因为 、 分别是 、 的中点，多面体 是正方体，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 与 是同一平面内的相交直线，A 错误；
B 项：因为平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 、 、 相交于一点，B 正确；
C 项：如图，连接 与 交于点 ，连接 、 ，
由正方体性质易知， 是 中点，
第 7页/共 20页
因为 是 中点，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
故四边形 是平行四边形， ，易知 C 错误；
D 项：因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，D 正确，
故选：BD.
11. 设 的内角 、 、 所对的边为 、 、 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用余弦定理与基本不等式可判断 AB 选项的正误；利用反证法结合不等式的基本性质可判断 C
选项的正误；利用特殊值法可判断 D 选项的正误.
【详解】对于 A 选项，由余弦定理可得 ，
，故 ，A 选项正确；
对于 B 选项， ，则 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
，故 ，B 选项正确；
对于 C 选项，假设 ，则 ，则 ，
所以， ，与 矛盾，
假设不成立，故 ，故 C 选项正确；
第 8页/共 20页
对于 D，取 ， ，满足 ，
且 ，则 为锐角，故 D 选项错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦
定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ， ，向量 在向量 方向上的投影向量为___________.（用坐标表示）
【答案】
【解析】
【分析】由向量坐标可求出 ，从而可求方向相同的单位向量；由向量的数量积坐标表示求数量积，进
而求出 ，即可求 在向量 方向上的投影向量.
【详解】由于 ，则 ，即与向量 方向相同的单位向量为 ，
又 ，则 ，
∴向量 在向量 方向上的投影向量为 .
故答案为：
13. 在 中，内角 所对的边分别为 ， 是 的中点，若 且
，则 面积的最大值是___
第 9页/共 20页
【答案】
【解析】
【分析】由题意及正弦定理得到 ，于是可得 ， ；然后在 和
中分别由余弦定理及 可得 ．在此基础上可得
，再由基本不等式得到 ，于是可得三角形面积的最大值．
【详解】如图，设 ，则 ,
在 和 中，分别由余弦定理可得 ，
两式相加，整理得 ，
∴ ．①
由 及正弦定理得 ，
整理得 ，②
由余弦定理的推论可得 ，所以 ．
把①代入②整理得 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故得 ．
所以 ．
第 10页/共 20页
即 面积的最大值是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的
最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用
知识解决问题的能力和计算能力．
14. 如图所示，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是线段
上的一动点，则线段 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，得 ，以 所在直线为轴，将 所在平面旋转到平面 ，设点
的新位置为 ，连接 ，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解 即可.
【详解】连接 ，得 ，以 所在直线为轴，将 所在平面旋转到平面 ，
设点 的新位置为 ，连接 ，则有 ，如图，
第 11页/共 20页
当 三点共线时，则 即为 的最小值，
在三角形 中， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
在 中， ， ，
由勾股定理可得 且 .
同理可求 ，因为 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
所以在 中， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
四、解答题：共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在直三棱柱 中， 是 的中点.
第 12页/共 20页
（1）证明： 平面 ；
（2）设 ，求几何体 的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）连接 交 于 ，连接 ，证明 后得证线面平行；
（2）由直三棱柱 的体积减去三棱锥 的体积可得．
【小问 1 详解】
连接 交 于 ，连接 ，如图，则 是 中点，又 是 中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
因为 ， ，所以 ，所以 ， ，
第 13页/共 20页
．
16. 已知复数 z 满足|z| ，z 的实部大于 0，z2 的虚部为 2.
（1）求复数 z；
（2）设复数 z，z2，z﹣z2 之在复平面上对应的点分别为 A，B，C，求（ ） 的值.
【答案】（1）1+i；（2）﹣2.
【解析】
【分析】
（1）先设出复数 的表达式,结合已知条件中 ,实部大于 ,和 的虚部为 ,列出方程求解出复数
的表达式.
（2）由（1）求出复数 的表达式,即可得到 , , 在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.
【详解】（1）设复数 z=x+yi,x、y∈R;
由|z| ,得 x2+y2=2;
又 z 的实部大于 即 x>0,
z2=x2﹣y2+2xyi 的虚部为 2xy=2,
所以 xy=1;
解得 x=1,y=1;
所以复数 z=1+i;
（2）复数 ,则 , ;
则 A（1,1）,B（0,2）,C（1,﹣1）;
所以 .
【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方
程组进行求解,本题较为基础.
17. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ．
第 14页/共 20页
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得 ，再与已知等式比较，即可求出 的值．
（2）先由第（1）问求出 ，再由 得到 ，利用正弦定理把 表示为 ，最后用
二倍角公式和两角和的正弦公式计算即可．
【小问 1 详解】
在 中，由余弦定理得 .
又因为 ，所以 .
因为 ， 是三角形的边长，所以 ，故 .
解得 .
【小问 2 详解】
由第（1）问知 .
因为 是三角形内角，所以 ，且 ，于是 .
由 ，得 .
由正弦定理得 .
又因为 ，所以 .
由二倍角公式得 .
因为 ，所以 .
由二倍角公式得 .
因此 .
所以 .
故 的值为 ．
18. 在 中，点 分别在边 和边 上，且 ， 交 于点 ，设
第 15页/共 20页
.
（1）若 ，求实数 ；
（2）若 且 ，求 ；
（3）设 ， ， 的面积分别为 ，求 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【 分 析 】（ 1） 设 ， 根 据 向 量 的 线 性 运 算 可 得 ，
，结合平面向量基本定理运算求解；
（2）可得 ，根据向量垂直可得 ，即可得结果；
（3）由（1）可知： ， ，不妨设 的面积为 1，结合比例关系运算求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，则
，
设 ，则
，
则 ，解得 .
【小问 2 详解】
第 16页/共 20页
由（1）可知： ，
因为 ，即 ，
又因为 ，
若 ，则 ，
即 ，可得 ，
则 ，所以 .
【小问 3 详解】
由（1）可知： ， ，
不妨设 的面积为 1，
因为 ，则 的面积为 2，可得 的面积 ，
又因为 ，则 的面积为 4，
且 ，则 的面积为 8，可得 的面积 ，
由 可知 的面积为 ，
所以 .
19. 如图，在矩形 中， ，点 是线段 的中点，点 分别为线段
上的一点，且 ，点 是线段 的中点．
（1）求 的值；
（2）若 ，求线段 的长度；
第 17页/共 20页
（3）设 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出 ， 的长度，再根据数量积的运算律计算可得；
（2）首先在 中由正弦定理求出 ，在 中由正弦定理求出 ，最后在 中利用余弦
定理计算可得；
（3）在 中由正弦定理求出 ，在 中由正弦定理求出 ，再由数量积的运算律得到
，再利用三角恒等变换公式化简，转化为关于 的三角
函数，结合 的范围及正弦函数的性质计算可得.
【小问 1 详解】
在矩形 中 ，点 是线段 的中点，
所以 ，又 ，所以 ，
所以
．
【小问 2 详解】
在矩形 中， ，所以 ，所以 ．
在 中， ，
第 18页/共 20页
根据正弦定理 ，得 ．
在 中， ， ，则 ，
由正弦定理 ，可得 ．
在 中， ，
根据余弦定理 ，
得 ，所以 ．
【小问 3 详解】
在 中， ，
根据正弦定理 ，得 ．
在 中， ，则 ，
根据正弦定理 ，可得 ．
因为 ，
所以
第 19页/共 20页
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过基底法转化得 ，再利用正弦定理和
三角恒等变换得 ，最后根据正弦型函数的性质求出其值域即可.
第 20页/共 20页