安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试卷含解析（word版）

这是一份安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试卷含解析（word版），共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 复数在复平面内对应的点为，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】复数在复平面内对应的点为，则
.
2. 若向量满足，则
A. B. C. 8D. 12
【答案】A
【解析】，得，
所以.
3.下列命题中正确的是
A. 直四棱柱是长方体
B. 正六棱锥的侧面都是正三角形
C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
【答案】C
【解析】对于A，长方体是底面为矩形的直四棱柱，故A不正确；
对于B，正棱锥的侧面都是等腰三角形，所以正六棱锥的侧面都是等腰三角形，故B不正确；
对于C，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台,故C正确；
对于D，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故D不正确 .
4.已知向量，满足，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，，两式相加，得，
所以，，所以，
所以.
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为
A. 正三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】由知，，∴＝，
，，，∴，
∵在△ABC中，，∴，
∵，∴，即△ABC为直角三角形.
6.打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为
A. 105.5cm2B. 111cm2C. 92.8cm2D. 100.8cm2
【答案】A
【解析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大圆锥和小圆锥的侧面积之差，
因为顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，
所以相应半径为3.4cm，1.4cm.
设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，
由相似得，xx+7=1.43.4，即，
所以羽毛所在曲面面积
S=π·3.4·7+4.9−π·1.4·4.9=33.6π≈105.5cm2.
7.如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在矩形中，AC=AB+AD=a+b，
由题意：为靠近的三等分点，故AE=13AD=13b；
为靠近的四等分点，故AF=34AB=34a，
因为在上，设AP=λAC=λa+λb，
又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： AP=xAF+(1−x)AE，
代入AF,AE得： AP=x⋅34a+(1−x)⋅13b=3x4a+1−x3b，
两个表达式对应系数相等： λ=3x4λ=1−x3， 联立得3x4=1−x3，解得x=413，代入得λ=313.
因此AP=313a+313b.
8.在平面四边形ABCD中，，若，则
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系（点D在x轴上方），
设，则，
，
因为，所以
所以，解得，所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则
A. 当时，
B. 当时，
C. 若，则存在实数，使得
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对A，即，两边平方可得，A对；
对，取，则，当，B错；
对，即，两边平方可得，
故，故，因此存在实数，使得，C对；
对，取，但，D错.
10.如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个结论正确的是
A. 与是异面直线；B. 、、相交于一点；
C. ；D. 平面
【答案】BD
【解析】A项：如图，连接、、，
因为、分别是、的中点，多面体是正方体，
所以，，，
因为，所以与是同一平面内的相交直线，A错误；
B项：因为平面平面，平面，平面，
所以、、相交于一点，B正确；
C项：如图，连接与交于点，连接、，
由正方体性质易知，是中点，
因为是中点，所以，，
因为，，所以，，
故四边形是平行四边形，，易知C错误；
D项：因为，平面，平面，
所以平面，D正确.
11.设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】对于A选项，由余弦定理可得，
，故，A选项正确；
对于B选项，，则，则，
由余弦定理可得，
，故，B选项正确；
对于C选项，假设，则，则，
所以，，与矛盾，
假设不成立，故，故C选项正确；
对于D，取，，满足，
且，则为锐角，故D选项错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为_______.
【答案】
【解析】由于，则，即与向量方向相同的单位向量为，
又，则，
∴向量在向量方向上的投影向量为 .
13.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是_______.
【答案】
【解析】如图，设，则,
在和中，分别由余弦定理可得，
两式相加，整理得，
∴．①
由及正弦定理得，
整理得，②
由余弦定理的推论可得，所以．
把①代入②整理得，
又，当且仅当时等号成立，
所以，故得．
所以．
即面积的最大值是 .
14.如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________．
【答案】
【解析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有，如图，
当三点共线时，则即为的最小值，
在三角形中，，，
由余弦定理得，
所以，即，
在中，，，
由勾股定理可得且.
同理可求，因为，
所以为等边三角形，所以，
所以在中，，，
由余弦定理得 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图所示，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，求几何体的体积.
【解析】(1)连接交于，连接，如图，则是中点，又是中点，所以，
又平面，平面，所以平面；
(2)因为，，所以，所以，，
.
16.已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.
【解析】(1)设复数z=x+yi,x、y∈R;
由|z|,得x2+y2=2;
又z的实部大于即x>0,
z2=x2﹣y2+2xyi的虚部为2xy=2,
所以xy=1;
解得x=1,y=1;
所以复数z=1+i .
(2)复数,则,;
则A（1,1）,B（0,2）,C（1,﹣1）;
所以 .
17.在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【解析】
(1) 在中，由余弦定理得.
又因为b2+c2−32bc=a2，所以b2+c2−2bccsA=b2+c2−32bc .
因为，是三角形的边长，所以，故−2csA=−32.
解得 .
(2)由第（1）问知.
因为是三角形内角，所以，且，于是sinA=1−cs2A=1−916=74.
由，得C=π−A−B=π−3A .
由正弦定理得.
又因为，所以c=3⋅sinCsinB=3⋅sinπ−3Asin2A=3⋅sin3Asin2A.
由二倍角公式得sin2A=2sinAcsA=2⋅74⋅34=378.
因为，所以.
由二倍角公式得cs2A=2cs2A−1=2⋅916−1=18.
因此sin3A=378⋅34+18⋅74=5716.
所以c=3⋅5716378=52.
故的值为 .
18.在中，点分别在边和边上，且，交于点，设.
（1）若，求实数；
（2）若且，求；
（3）设，，的面积分别为，求.
【解析】 (1) 因为，则BP=BE+EP=BE+tEC=BE+tBC−BE
=1−tBE+tBC=ta+231−tb，
设，则BP=BA+AP=BA+mAD=BA+mBD−BA
=1−mBA+mBD=13ma+1−mb，
则231−t=1−mt=13m，解得t=17m=37.
(2) 由（1）可知：，
因为，即，
又因为，
若，则BP⋅AC=17a+47b⋅a−b=17a2−47b2+37a⋅b=0 ，
即17a⃗2−17a⃗2+37a⃗⋅b⃗=0 ，可得，
则，所以.
(3) 由（1）可知：，，
不妨设的面积为1，
因为，则的面积为2，可得的面积，
又因为，则的面积为4，
且，则的面积为8，可得的面积，
由可知的面积为，
所以 .
19.如图，在矩形中，，点是线段的中点，点分别为线段上的一点，且，点是线段的中点．
（1）求的值；
（2）若，求线段的长度；
（3）设，求的取值范围．
【解析】 (1) 在矩形中，点是线段的中点，
所以，又，所以，
所以
.
(2)在矩形中，，所以，所以．
在中，，
根据正弦定理，得．
在中，，，则，
由正弦定理，可得．
在中，，
根据余弦定理，
得，所以.
(3)在中，，
根据正弦定理，得．
在中，，则，
根据正弦定理，可得．
因为，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
即的取值范围为 .