2026届河北衡水市安平中学高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届河北衡水市安平中学高三最后一卷数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了设，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在的展开式中，的系数为( )
A．-120B．120C．-15D．15
3．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )
A．B．C．D．
6．已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（ ）
A．16B．14C．12D．8
10．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）
A．B．C．D．
11．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________
14．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.
15．已知的展开式中含有的项的系数是，则展开式中各项系数和为______.
16．在中，内角所对的边分别为，
若 ，的面积为，
则_______ ，_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
② 参考数据：，，．
18．（12分）已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长的最小值.
19．（12分）已知函数，.
（1）当时，
①求函数在点处的切线方程；
②比较与的大小;
（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．
20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
设的平分线与边交于点，已知，，求的值.
21．（12分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.
（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数，满足？并说明理由.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点.
求椭圆的方程；
已知是椭圆的内接三角形，
①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长；
②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
构造函数，，
则，，
所以，函数、在区间上均为减函数，
当时，则，；当时，，.
由得.
①若，则，即，不合乎题意；
②若，则，则，
此时，，
由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；
③若，则，则，
此时，
由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
2、C
【解析】
写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．
【详解】
的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C
【点睛】
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
3、A
【解析】
先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.
【详解】
因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，
所以
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.
4、D
【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.
【详解】
因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,
由,解得,即,所以,
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
5、C
【解析】
根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
根据题意，，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
6、C
【解析】
求出导函数，由有不等的两实根，即可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论．
【详解】
，.
若存在极值，则，
又.又．
故选：C．
【点睛】
本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．
7、D
【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.
【详解】
由,即,
又,即,
,即,
所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.
8、C
【解析】
由题意可得面，可知，因为，则面，于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果.
【详解】
解：由，翻折后得到，又，
则面，可知．
又因为，则面，于是，
因此三棱锥外接球球心是的中点．
计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．
9、B
【解析】
取中点，可确定；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得，利用可求得结果.
【详解】
取中点，连接，
，，即.
，，
，
则.
故选：.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.
10、C
【解析】
画出直观图，由球的表面积公式求解即可
【详解】
这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为.
故选：C
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
11、A
【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.
详解：由题设有，故，故选A.
点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
12、C
【解析】
分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.
【详解】
由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是；
仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率．
故选：C
【点睛】
本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用的几何意义，可求出目标函数的最大值。
【详解】
由，得，作出可行域，如图所示：
平移直线，由图像知，当直线经过点时，截距最小，此时取得最大值。
由 ，解得 ，代入直线，得。
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。
14、
【解析】
求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式．
【详解】
解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能，
故概率为，
故答案为．
【点睛】
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题
15、1
【解析】
由二项式定理及展开式通项公式得：，解得，令得：展开式中各项系数和，得解．
【详解】
解：由的展开式的通项，
令，
得含有的项的系数是，
解得，
令得：展开式中各项系数和为，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于中档题．
16、
【解析】
由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，从而求得
，结合范围，即可得到答案
运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案
【详解】
由已知及正弦定理可得
，可得：
解得，即
，
由面积公式可得：，即
由余弦定理可得：
即有
解得
【点睛】
本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.
【解析】
（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；
（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．
【详解】
本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．
解：（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）（i）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即．
由于，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则
（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性
18、（1）（2）
【解析】
（1）因为，所以，
由余弦定理得，化简得，
可得，解得，
又因为，所以.（6分）
（2）因为，所以，
则（当且仅当时，取等号）.
由（1）得（当且仅当时，取等号），解得.
所以（当且仅当时，取等号），
所以的周长的最小值为.
19、（1）①见解析，②见解析；（2）见解析
【解析】
（1）①把代入函数解析式，求出函数的导函数得到，再求出，利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程；
②令，利用导数研究函数的单调性，可得当时，；当时，；当时，．
（2）由题意，，在上有唯一零点．利用导数可得当时，在上单调递减，当，时，在，上单调递增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，则，再由在上恒成立，得在上单调递减，进一步得到在上单调递增，由此可得．
【详解】
解：（1）①当时，，，，
又，切线方程为，即；
②令，
则，
在上单调递减．
又，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
证明：（2）由题意，，
而，
令，解得．
，，
在上有唯一零点．
当时，，在上单调递减，
当，时，，在，上单调递增．
．
在恒成立，且有唯一解，
，即，
消去，得，
即．
令，则，
在上恒成立，
在上单调递减，
又， ，
．
在上单调递增，
．
【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
20、；.
【解析】
利用正弦定理化简求值即可；
利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.
【详解】
解：，由正弦定理得：，
，
，
，
，
又，为三角形内角，故，，
则，故，；
（2）平分，设，则,,
，，则，
，又，
则
在中，由正弦定理：，.
【点睛】
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.
21、（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析
【解析】
（1）设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出，，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得，，，代入，，化简即可求解.
【详解】
（1）证明：由题知，直线l的斜率存在且不过原点，
故设
由可得，
.
，
，
故
所以直线l的方程为
故直线l恒过定点.
（2）由（1）知
设
由可得，
，即存在常数满足题意.
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22、；①；②.
【解析】
根据题意列出方程组求解即可；
①由原点为的垂心可得，轴，设，则，，根据求出线段的长；
②设中点为，直线与椭圆交于，两点，为的重心，则，设：，，，则，当斜率不存在时，则到直线的距离为1，，由，则，，，得出，根据求解即可.
【详解】
解：设焦距为，由题意知：，
因此，椭圆的方程为：；
①由题意知：，故轴，设，则，，
，解得：或，
，不重合，故，，故；
②设中点为，直线与椭圆交于，两点，
为的重心，则，
当斜率不存在时，则到直线的距离为1；
设：，，，则
，
，则
，
则：，，代入式子得：
，
设到直线的距离为，则
时，；
综上，原点到直线距离的最小值为.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.