2026届河北省石家庄市辛集中学高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届河北省石家庄市辛集中学高三最后一卷数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了已知，则，设，满足，则的取值范围是，下列选项中，说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ）

A．B．C．D．
2．已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A．－10B．－9C．－7D．1
3．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．已知实数满足约束条件，则的最小值是
A．B．C．1D．4
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．设，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．下列选项中，说法正确的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．若向量满足 ，则与的夹角为钝角
C．若，则
D．“”是“”的必要条件
10．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．9B．31C．15D．63
11．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知集合,，则
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________.
14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.
15．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件发生的概率为__________.
16．若展开式中的常数项为240，则实数的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值.
18．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且.
（1）证明：；
（2）若的面积，，求角.
19．（12分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 交于，两点，点为椭圆的左焦点.
（1）求证：直线与椭圆相切；
（2）判断是否为定值，并说明理由.
20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.
21．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.
（1）求与的极坐标方程
（2）若与交于点A，与交于点B，，求的最大值.
22．（10分）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.
【详解】
在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，
矩形中位于曲线上方区域的面积为，
矩形的面积为，
由几何概型的概率公式得，所以，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
2、B
【解析】
根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.
3、B
【解析】
根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.
【详解】
.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.
4、C
【解析】
根据程序框图程序运算即可得.
【详解】
依程序运算可得：
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.
5、B
【解析】
作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，
设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值，
由，解得，所以，所以，故选B．
6、D
【解析】
根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.
【详解】
因为，所以，所以是减函数，
又因为，所以，，
所以，，所以A,B两项均错；
又，所以，所以C错；
对于D，，所以，
故选D.
【点睛】
这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
7、C
【解析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.
【详解】
由题知，满足，可行域如下图所示，
可知目标函数在点处取得最小值，
故目标函数的最小值为，
故的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.
8、C
【解析】
根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.
【详解】
解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，
因为是奇函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为.
故选：
【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
9、D
【解析】
对于A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，即可判断出；对于B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断．
【详解】
选项A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，因此A不正确；
选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确.
选项C当m=0时,满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正确；
选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.
10、B
【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.
【详解】
执行程序框；；；
；；，
满足，退出循环，因此输出，
故选:B.
【点睛】
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
11、D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．
12、D
【解析】
因为,,所以,,故选D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到，再由求解．
【详解】
解：由，
得，
，
则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．
，
．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题．
14、1344
【解析】
分四种情况讨论即可
【详解】
解：数学排在第一节时有：
数学排在第二节时有：
数学排在第三节时有：
数学排在第四节时有：
所以共有1344种
故答案为：1344
【点睛】
考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.
15、0.42
【解析】
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.
【详解】
由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，
高二家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：
1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为；
2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为；
3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为.
由加法公式，知事件发生的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.
16、－3
【解析】
依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：∵二项式的展开式中的常数项为，
∴解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）16.
【解析】
（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（2）利用极径的几何意义，联立曲线，直线，直线的极坐标方程，得出，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出的面积最小值.
【详解】
（1）曲线：，即
化为直角坐标方程为：；
（2），即
同理
∴
当且仅当，即（）时取等号
即的面积最小值为16
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得
（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.
【详解】
（1）由已知得，
由余弦定理得，∴.
（2）由（1）及正弦定理得，即，
∴，∴，
∴.
，
∴，，.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
19、（1）证明见解析；（2）是，理由见解析.
【解析】
（1）根据判别式即可证明．
（2）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，
【详解】
解：（1）当时直线方程为或，直线与椭圆相切.
当时，由得，
由题知，，即，
所以.
故直线与椭圆相切.
（2）设，，
当时，，，，
所以，即.
当时，由得，
则，，
.
因为

.
所以，即.故为定值.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，进而可化简得出曲线的直角坐标方程；
（2）根据变换得出的普通方程为，可设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.
【详解】
（1）由（为参数），得，化简得，
故直线的普通方程为.
由，得，又，，.
所以的直角坐标方程为；
（2）由（1）得曲线的直角坐标方程为，向下平移个单位得到，
纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为，
所以曲线的参数方程为（为参数）.
故点到直线的距离为，
当时，最小为.
【点睛】
本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题.
21、（1）的极坐标方程为；的极坐标方程为：（2）
【解析】
（1）根据，代入即可转化.
（2）由：，可得，代入与的极坐标方程求出，从而可得，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.
【详解】
（1）：，，
的极坐标方程为
：，，
的极坐标方程为：，
（2）：，则（为锐角），
，，
，当时取等号.
【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.
22、（1）证明见解析，；（2）11202.
【解析】
（1）由n，，成等差数列，可得，，两式相减，由等比数列的定义可得是等比数列，可求数列的通项公式；
（2）由（1）中的可求出，根据和求出数列，中的公共项，分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，可得答案.
【详解】
（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
又因为，，，，，，，，
，，，
所以
.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查分组求和，属于中档题.
满意度评分分组
合计
高一
1
3
6
6
4
20
高二
2
6
5
5
2
20
满意度评分
评分70分
70评分90
评分90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意