2026届河北衡水中学高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届河北衡水中学高三最后一卷数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了的展开式中含的项的系数为，已知函数，以下结论正确的个数为等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．设集合，则 ( )
A．B．
C．D．
4．已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
5．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．60C．70D．80
6．已知函数，以下结论正确的个数为（ ）
①当时，函数的图象的对称中心为；
②当时，函数在上为单调递减函数；
③若函数在上不单调，则；
④当时，在上的最大值为1．
A．1B．2C．3D．4
7．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
9．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
10．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A．08B．07C．02D．01
11．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）
A．B．
C．D．
12． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）
A．75B．65C．55D．45
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．三棱锥中，点是斜边上一点.给出下列四个命题：
①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；
②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为；
③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；
④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为.
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）
14．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______．
15．已知等差数列满足，，则的值为________．
16．在平面直角坐标系中，若函数在处的切线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆,定点 ,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程
（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.
18．（12分）已知函数.其中是自然对数的底数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．
(Ⅰ)求证：平面平面．
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．
20．（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望．
21．（12分）已知，函数有最小值7.
（1）求的值；
（2）设，，求证：.
22．（10分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线的倾斜角为，所以，
则
故答案选B
【点睛】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
2、C
【解析】
可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.
【详解】
解：因为，即，又，
设，根据条件，，；
若，，且，则：；
在上是减函数；
；
；
在上是增函数；
所以，
故选：C
【点睛】
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.
3、B
【解析】
直接进行集合的并集、交集的运算即可．
【详解】
解：；
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.
4、D
【解析】
利用等差数列的通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由，，构成等差数列可得
即
又
解得：
又
所以时，.
故选：D
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
5、B
【解析】
展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解
【详解】
由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，
所以的展开式中含的项的系数为．
故选：B
【点睛】
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
6、C
【解析】
逐一分析选项，①根据函数的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间；④利用导数求函数在给定区间的最值.
【详解】
①为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数的图象的对称中心为，正确．
②由题意知．因为当时，，
又，所以在上恒成立，所以函数在上为单调递减函数，正确．
③由题意知，当时，，此时在上为增函数，不合题意，故．
令，解得．因为在上不单调，所以在上有解，
需，解得，正确．
④令，得．根据函数的单调性，在上的最大值只可能为或．
因为，，所以最大值为64，结论错误．
故选：C
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.
7、C
【解析】
在等比数列中，由即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列中，且公比为2，故
故选：C
【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
8、D
【解析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
9、B
【解析】
求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
【详解】
当时，，，
，又，所以至少小于7，此时，
令，得，解得或，结合图象，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
10、D
【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
11、B
【解析】
根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.
【详解】
解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称，
对满足的，，有，∴.
再根据其图像关于直线对称，可得，.
∴，∴.
将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.
令，求得，
则函数的单调递减区间是，，
故选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.
12、B
【解析】
计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.
【详解】
依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.
【点睛】
本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①②③
【解析】
对①，由线面平行的性质可判断正确；
对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；
对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；
对④，由动点分析可知，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，结合几何关系可判断错误；
【详解】
对于①，因为平面，所以，，，又，
所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；
对于②，若，，，平面，
∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，
∴，，∴体积为，∴②正确；
对于③，设内心是，则平面，连接，
则有，又内切圆半径，
所以，，故，
∴三棱锥的体积为，∴③正确；

对于④，∵若，平面，则直线与平面所成的角最大时，点与点重合，
在中，，∴，即直线与平面所成的最大角为，
∴④不正确，
故答案为：①②③.
【点睛】
本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题
14、
【解析】
先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.
【详解】
由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.
故答案为4
【点睛】
本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．
15、11
【解析】
由等差数列的下标和性质可得，由即可求出公差，即可求解；
【详解】
解：设等差数列的公差为，
，
又因为，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
16、
【解析】
利用导数的几何意义可求得函数在处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可.
【详解】
解：由条件得到
又
所以函数在处的切线为,
即
圆方程整理可得：
即有圆心且
所以圆心到直线的距离,
即.解得或,
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案.
（2）设直线的方程为，设，联立方程得到
，，计算，得到答案.
【详解】
（1）设以为直径的圆心为，切点为，则，
取关于轴的对称点，连接，故，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中，
曲线方程为.
（2）设直线的方程为，设，
直线的方程为，同理，
所以，
即，
联立，
所以，
代入得，
所以点都在定直线上.
【点睛】
本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18、（1）；
（2）.
【解析】
(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程；
（2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值.
【详解】
（1），，
∴，
又，
∴切线方程为，即.
（2）令，
，
①若，则在上单调递减，又，
∴恒成立，∴在上单调递减，又，
∴恒成立.
②若，令，
∴，易知与在上单调递减，
∴在上单调递减，，
当即时，在上恒成立，
∴在上单调递减，即在上单调递减，
又，∴恒成立，∴在上单调递减，
又，∴恒成立，
当即时，使，
∴在递增，此时，∴，
∴在递增，∴，不合题意.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义及构造函数解决含参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，第二问的难点是构造函数后二次求导问题，对分类讨论思想及化归与等价转化思想要求较高，难度较大，属拔高题.
19、 (Ⅰ)见解析. (Ⅱ) .
【解析】
(I)证明平面得出平面，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．
【详解】
(I)证明：
分别为的中点
，，又
平面
平面，又平面
平面平面
(II)，为定值
当平面时，三棱锥的体积取最大值
以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系
则
，
设平面的法向量为，则
即，令可得
平面 是平面的一个法向量
平面与平面所成角的正弦值为
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题．
20、（1）当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为； （2）见解析.
【解析】
（1）将有3个坑需要补种表示成n的函数，考查函数随n的变化情况，即可得到n为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n＝1时，X的所有可能的取值为0，1，2，3，1．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．
【详解】
（1）对一个坑而言，要补播种的概率，
有3个坑要补播种的概率为.
欲使最大，只需，
解得，因为，所以
当时，；
当时，；
所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为.
（2）由已知，的可能取值为0，1，2，3，1.，
所以的分布列为
的数学期望.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．
21、（1）.（2）见解析
【解析】
（1）由绝对值三解不等式可得，所以当时，，即可求出参数的值；
（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得证；
【详解】
解：
（1）∵
，
∴当时，，解得.
（2）∵，∴，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立.
∴.
【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．
22、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）把代入，可得，令，求出其在上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.
（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得在上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得解不等式组即可求解.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
此时函数的定义域为.
因为函数的最小值为.
最大值为，故函数在上的值域为；
（Ⅱ）因为函数在上单调递减，
故在上单调递增，则
解得，综上所述，实数的取值范围.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
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