2026年河南省安阳市高三最后一卷数学试卷（含答案解析）

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1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R上的偶函数满足，且在区间上单调递减，已知是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．以上情况均有可能
2．若，满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．充分不必要条件
5．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
6．定义运算，则函数的图象是（ ）．
A．B．
C．D．
7．在的展开式中，的系数为( )
A．-120B．120C．-15D．15
8．已知命题：，，则为( )
A．，B．，
C．，D．，
9．记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围( )
A．B．C．D．
10．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ）
A．B．，
C．D．
11．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．
14．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.
15．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.
16．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.
当时，求的值；
利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.
18．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．
（1）证明：点始终在直线上且；
（2）求四边形的面积的最小值．
19．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．
20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.
21．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）证明：
22．（10分）已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．
【详解】
由可得，即函数的周期，
因为在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，
根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，
因为，是锐角三角形的两个内角，
所以且即，
所以即，
．
故选：．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
2．B
【解析】
根据约束条件作出可行域，找到使直线的截距取最值得点，相应坐标代入即可求得取值范围.
【详解】
画出可行域，如图所示：
由图可知，当直线经过点时，取得最小值－5；经过点时，取得最大值5，故.
故选：B
本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.
3．B
【解析】
先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
不超过的素数有：、、、、、，
在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，
其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，
因此，所求事件的概率为.
故选：B.
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
4．D
【解析】
充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.
【详解】
充分性：若存在正数，使得，则，，得证；
必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；
所以是充分不必要条件
故选：D
本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.
5．B
【解析】
设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；
【详解】
解：设
∵，∴，解得.
故选：B
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
6．A
【解析】
由已知新运算的意义就是取得中的最小值，
因此函数，
只有选项中的图象符合要求，故选A.
7．C
【解析】
写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．
【详解】
的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
8．C
【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.
【详解】
全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，，
.
故选：.
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
9．D
【解析】
做出函数的图象，问题转化为函数的图象在有7个交点，而函数在上有3个交点，则在上有4个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数的图象如图所示，由图可知

方程在上有3个不同的实数根，
则在上有4个不同的实数根，
当直线经过时，；
当直线经过时，，
可知当时，直线与的图象在上有4个交点，
即方程，在上有4个不同的实数根.
故选:D.
本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.
10．D
【解析】
图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.
【详解】
图象关于轴对称的函数为偶函数；
A中，，，故为奇函数；
B中，的定义域为，
不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；
D中，且，，故为偶函数.
故选：D.
本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:
(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数
(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．
11．D
【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.
【详解】
因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,
由,解得,即,所以,
所以.
故选：D
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
12．C
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.
【详解】
解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：
当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.
故选：C.
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．
考点：几何体的体积的计算．
14．11
【解析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.
【详解】
（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5个： ，
3个，2个：，
1个，4个：，
（2）左侧两列如图贴砖，
然后贴剩下的部分：
3个：，
1个，2个：，
综上，一共有（种）.
故答案为：11.
本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.
15．；
【解析】
求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可．
【详解】
由，得，，
，，
∵，
∴ ，解得．
故答案为：．
本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．
16．
【解析】
计算得到||，||csα﹣1，解得csα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.
【详解】
由（）•（）＝0 可得 （）•||•||csα﹣1×2cs||•||csα﹣1，α为与的夹角．
再由 2•1+4+2×1×2cs7 可得||，
∴||csα﹣1，解得csα．
∵0≤α≤π，∴﹣1≤csα≤1，∴1，即||+1≤0，解得 ||，
故答案为．
本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．；证明见解析.
【解析】
当时，集合共有个子集，即可求出结果；
分类讨论，利用数学归纳法证明.
【详解】
当时，集合共有个子集，所以；
①当时，，由可知，，
此时令，，，，
满足对任意，都有，且；
②假设当时，存在有序集合组满足题意，且，
则当时，集合的子集个数为个，
因为是4的整数倍，所以令，，，，
且恒成立，
即满足对任意，都有，且，
综上，原命题得证.
本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.
18．（1）见解析（2）最小值为1．
【解析】
（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线上，且.
（2）设直线的倾斜角为，求得的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值．
【详解】
(1)∵动圆过定点，且与直线相切，∴动圆圆心到定点和定直线的距离相等，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，∴轨迹的方程为：，
设，∴直线的方程为：，即：①，同理，直线的方程为：②，
由①②可得：，
直线方程为：，联立可得：，
，∴点始终在直线上且；
（2）设直线的倾斜角为，由（1）可得：，
，
∴四边形的面积为：，当且仅当或，即时取等号，∴四边形的面积的最小值为1.
本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.
19．（1）．（2）的方程为．
【解析】
（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．
（2）令，令直线，联立，
得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。
【详解】
解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，
设点，则，
整理得.
（2）令，易知直线不与轴重合，
令直线，与联立得，
所以有，
由，故，即，
从而，
解得，即。
所以直线的方程为。
本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。
20．（1）；（2）不能，理由见解析
【解析】
（1）设，则，由此即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可求得，则直线斜率为，设其方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得关于对称，可求得，假设存在直线满足题意，设，可得，由此可得答案．
【详解】
解：（1）设，则，
，
所以椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，
与联立得，
∴，
因为两直线的倾斜角互补，所以直线斜率为，
设直线的方程为，
联立整理得，
，
所以关于对称，
由正弦定理得，
因为,所以，
由上得，
假设存在直线满足题意，
设，按某种排列成等比数列，设公比为，则，
所以，则此时直线与平行或重合，与题意不符，
所以不存在满足题意的直线．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．
21．（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；
（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.
【详解】
（Ⅰ）
则
当且仅当，即，时，
所以的最小值为．
（Ⅱ）要证明：，
只需证：，
即证明：，
由，
也即证明：．
因为，
所以当且仅当时，有，
即，当时等号成立．
所以
本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.
22．（1）（2）
【解析】
（1）因为，所以，
由余弦定理得，化简得，
可得，解得，
又因为，所以.（6分）
（2）因为，所以，
则（当且仅当时，取等号）.
由（1）得（当且仅当时，取等号），解得.
所以（当且仅当时，取等号），
所以的周长的最小值为.