2026届贵州省遵义市凤冈县二中高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届贵州省遵义市凤冈县二中高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，复数等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．的图象如图所示，，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ）
A．B．C．D．
5．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是
A．B．C．D．
6．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( )
A．3B．2C．4D．5
8．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．3B．
C．2D．
10．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )
A．B．C．D．
11．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．在中，，，，为的外心，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．
14．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
①的值可以为2；
②的值可以为；
③的值可以为；
15．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．
16．已知函数对于都有，且周期为2，当时，，则________________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，且数列前项和为，求的取值范围．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆．
（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．
19．（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；
记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.
记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.
（1）设，，请计算，，；
（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；
（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.
20．（12分）如图，已知四边形的直角梯形，∥BC，，，，为线段的中点，平面，，为线段上一点（不与端点重合）．
（1）若，
（ⅰ）求证：PC∥平面；
（ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（2）否存在实数满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）当时，求的面积；
（2）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值.
22．（10分）设函数.
（1）求的值；
（2）若，求函数的单调递减区间.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
，，
，，
，，，
，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
2、B
【解析】
根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：
将选中2名女生平均分为两组：
将选中2名男生平均分为两组：
则选出的人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为
所以所求的概率为
故选：B
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.
3、B
【解析】
解出,分别代入选项中 的值进行验证.
【详解】
解：，.当 时,，此时不成立.
当 时,，此时成立，符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.
4、B
【解析】
根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，，
，
则，，取，
，则，
，，可得，
当时，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.
5、B
【解析】
该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为，
.
故选B
点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
6、A
【解析】
分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．
详解：设，则，，，
∴，令，
则，，∴是上的增函数，
又，∴当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，
，∴的最小值是．
故选A．
点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．
7、A
【解析】
根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.
【详解】
，，对任意的，存在实数满足，使得，
易得，即恒成立，
，对于恒成立,
设，则，
令，在恒成立，
，
故存在，使得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
,将代入得：
，
，且，
故选：A
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.
8、D
【解析】
首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.
【详解】
作出可行域如图所示
设圆心为，则
,
过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，
所以，，
故.
故选：D.
【点睛】
本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.
9、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.
【详解】
，
所以，，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.
10、B
【解析】
由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.
11、A
【解析】
由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【详解】
如图，
取BC中点G，连接AG，DG，则，，
分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，
则O为四面体的球心，
由，得正方形OEGF的边长为，则，
四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故选A．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
12、B
【解析】
首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.
【详解】
如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，
过分别做，的平行线，，
由题知，
则外接圆半径，
因为，所以，
又因为，所以，，
由题可知，
所以，，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.
【详解】
函数的图像向右平移个单位得，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.
14、②③
【解析】
根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.
【详解】
如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合：，故，即或，
集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
故所在的直线的倾斜角为，，故：，
解得，此时，，此时.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.
15、1.
【解析】
求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．
【详解】
函数的图象在处的切线与直线垂直,
函数的图象在的切线斜率

本题正确结果：
【点睛】
本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．
16、
【解析】
利用，且周期为2，可得，得.
【详解】
∵，且周期为2，
∴，又当时，，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求
（2）由，而，利用裂项相消法可求.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，①
②
②①得，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）
∴，
∴，
，
.
【点睛】
本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
18、（1）C1：y2＝1，C2 ：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1]
【解析】
（Ⅰ）消去参数φ可得C1的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（3csφ，sinφ），由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围，结合圆的知识可得答案．
【详解】
（1）消去参数φ可得C1 的普通方程为y2＝1，
∵曲线C2 是圆心为（2，），半径为1 的圆，曲线C2 的圆心的直角坐标为（0，2），
∴C2 的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝1；
（2）设M（3csφ，sinφ），则|MC2|

，
∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC2|，
由题意结合图象可得|MN|的最小值为1﹣1＝0，最大值为1，
∴|MN|的取值范围为[0，1]．
【点睛】
本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题．
19、（1）（2）详见解析（3）29
【解析】
（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．
（2）可求，，通过反证法证明，
（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．
【详解】
（1）由题意知等差数列的通项公式为：；
等差数列的通项公式为：，
得，
则，，
得，
故．
（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；
等差数列的通项公式为：，
得，，．
得，，，．
所以若，则存在，，使，
若，则存在，，，使，
因此，对于正整数，考虑集合，，，
即，，，，，，．
下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．
反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，
又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，
不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，
所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，
则存在，使，，，即，，，
由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，
设，则，且，，，，
所以，当，时，对于整数，若，则成立．
（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．
则对于整数，存在，，，，，使成立，
整理，得，
又因为，，
所以且是7的倍数，
因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．
所以对于整数，若，则，
又由第二问，对于整数，则，
所以的最大值，就是集合中元素的最大值，
又因为，，，，
所以．
【点睛】
本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．
20、（1）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）（2）存在，
【解析】
（1）（i）连接交于点，连接，，依题意易证四边形为平行四边形，从而有，，由此能证明PC∥平面
（ii）推导出，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解；
（2）设，求出平面的法向量，利用向量法求解.
【详解】
（1）（ⅰ）证明：连接交于点，连接，，
因为为线段的中点，
所以,
因为，所以
因为∥
所以四边形为平行四边形．
所以
又因为，
所以
又因为平面，平面，
所以平面．
（ⅱ）解：如图，在平行四边形中
因为，，
所以
以为原点建立空间直角坐标系
则，，，
所以，，，
平面的法向量为
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
设平面和平面所成的锐二面角为，则
所以锐二面角的余弦值为
（2）设
所以，，
设平面的法向量为，则
，取，得，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以
解得
所以存在满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
21、（1）；（2）或
【解析】
（1）联立直线的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形的面积.
（2）法一：根据的坐标求得的坐标，将的坐标都代入椭圆方程，化简后求得的坐标，进而求得的值.
法二：设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出根与系数关系，结合求得点的坐标，进而求得的值.
【详解】
（1）设，，
若，则直线的方程为，
由，得，
解得，，
设直线与轴交于点，则且
.
（2）法一：设点
因为，，所以
又点，都在椭圆上，
所以
解得或
所以或.
法二：设
显然直线有斜率，设直线的方程为
由，得
所以
又
解得或
所以或
所以或.
【点睛】
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
22、（1）（2）的递减区间为和
【解析】
（1）化简函数，代入，计算即可；
（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合即可求出.
【详解】
（1）
，
从而.
（2）令.
解得.
即函数的所有减区间为，
考虑到，取，可得，，
故的递减区间为和.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.