2026届河北省衡水市阜城中学高三下第一次测试数学试题含解析

这是一份2026届河北省衡水市阜城中学高三下第一次测试数学试题含解析，共34页。试卷主要包含了已知是虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
2．已知集合，则全集则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
4．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
5．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A．8B．C．4D．
6．已知正四面体外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
8．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则
A．B．C．D．
9．已知是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知等差数列的公差为，前项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（ ）.
A．6B．5C．4D．3
11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
12．已知直线，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.
14．若非零向量，满足，，，则______.
15．若，则______.
16． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.
（1）求B；
（2）若，，且，求BD的长度.
19．（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：
对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：
其中，.
（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；
（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：.
20．（12分）已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
21．（12分）如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到.
（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；
（2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦.
22．（10分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
2、D
【解析】
化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.
【详解】
由，
则，故，
由知，，因此，
，，
，
故选:D
【点睛】
本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.
3、A
【解析】
首先确定不超过的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.
【详解】
不超过的素数有，，，，，，，，共个，
从这个素数中任选个，有种可能；
其中选取的两个数，其和等于的有，，共种情况，
故随机选出两个不同的数，其和等于的概率．
故选：.
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.
4、A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
5、D
【解析】
根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．
【详解】
根据三视图知，该几何体是侧棱底面的四棱锥，如图所示：
结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，
高为PA=2，
∴四棱锥的体积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.
6、B
【解析】
设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．
【详解】
将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，
设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则，得．因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有，∴ ．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD的棱长为，因此，这个正四面体的表面积为．
故选：B．
【点睛】
本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．
7、D
【解析】
由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于的方程，对赋值即可求解.
【详解】
由题意知，函数的最小正周期为,即,
由函数的图象平移变换公式可得，
将函数的图象向右平移个周期后的解析式为
，
因为函数的图象关于轴对称，
所以，即，
所以当时，有最小正值为.
故选：D
【点睛】
本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
8、B
【解析】
由题意知，，由，知，由此能求出．
【详解】
由题意知，，
，解得，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
9、B
【解析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】
.
故选B
【点睛】
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.
10、C
【解析】
若对任意的恒成立，则为的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值时的n即可.
【详解】
由已知，，又三角形有一个内角为，所以，
，解得或（舍），
故，当时，取得最大值，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列前n项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.
11、A
【解析】
根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可
【详解】
由题可知，，，则
解得，由可得，
答案选A
【点睛】
本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功
12、C
【解析】
先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.
【详解】
直线，，的充要条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.
故答案为C.
【点睛】
判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】
设出三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.
【详解】
抛物线的准线方程为：，设，由抛物线的定义可知：，，，因为、、成等差数列，所以有，所以，
因为线段的垂直平分线与轴交于，所以，因此有
，化简整理得：
或.
若，由可知；，这与已知矛盾，故舍去；
若，所以有，因此.
故答案为：或
【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.
14、1
【解析】
根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.
【详解】
，即
解得或（舍）
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.
15、
【解析】
直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值．
【详解】
解：若，则，
即，所以．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16、
【解析】
先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.
【详解】
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;
因此共有种.
故答案为：
【点睛】
本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）解法一： 作的中点，连接，.利用三角形的中位线证得，利用梯形中位线证得，由此证得平面平面，进而证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.
（2）利用平面和平面法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）法一：作的中点，连接，.又为的中点，∴为的中位线，∴，又为的中点，∴为梯形的中位线，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.
另解：（法二）∵在长方体中，，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
，，，
，，，
，，.
（1）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，.∴，又，
∵，，又平面，平面.
（2）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，.∴.
同理可算得平面的一个法向量为
∴，
又由图可知二面角的平面角为一个钝角，
故二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想.
18、（1）（2）
【解析】
（1）根据共线得到，利用正弦定理化简得到答案.
（2）根据余弦定理得到，，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】
（1）∵与共线，∴.
即，∴
即，∵，∴，∵，∴.
（2），，，在中，由余弦定理得：
，∴.
则或（舍去）.
∴，∵∴.
在中，由余弦定理得：
，
∴.
【点睛】
本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.
19、（1）作图见解析；更适合（2）（3）预报值为245
【解析】
（1）由散点图即可得到答案；
（2）把两边取自然对数，得，由 计算得到，再将代入可得，最终求得，即；
（3）将代入中计算即可.
【详解】
解：（1）绘出关于的散点图，如图所示：
由散点图可知，更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型；
（2）把两边取自然对数，得，
即，
由
.
∴，
则关于的回归方程为；
（3）当时，计算可得；
即温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.
【点睛】
本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.
20、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1），当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2），
当且仅当时取等号，此时．
故．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可推导出，然后利用平行线分线段成比例定理可求得的值；
（2）取中点，连接、，过点作，则，作于，连接，推导出，，可得出为平面与平面所成的锐二面角，由此计算出、，并证明出平面，可得出直线与平面所成的角为，进而可求得与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，，
在梯形中，，则，，
，，所以，；
（2）取中点，连接、，过点作，则，作于，连接.

为的中点，且，，且，
所以，四边形为平行四边形，由于，，
，，，，，
为的中点，所以，，，同理，
，，，平面，
，，，为面与面所成的锐二面角，
，
，，，则，
，，
平面，平面，，
，，面，
为与底面所成的角，
，，.
在中，.
因此，与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查利用线面平行的性质求参数，同时也考查了线面角的计算，涉及利用二面角求线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差；
（2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断.
【详解】
解：（1）
（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7.
随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服从二项分布，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望
（3）由题意知服从正态分布，
则，
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
【点睛】
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.
温度/℃
14
16
18
20
22
24
26
繁殖数量/个
25
30
38
50
66
120
218
20
78
4.1
112
3.8
1590
20.5
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343