2026届河北省各地高考仿真卷数学试题含解析

这是一份2026届河北省各地高考仿真卷数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了已知函数f，在等差数列中，若，则，祖暅原理，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若的内角满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于( )
A．1B．2C．3D．4
3．在直角中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（ ）
A．B．C．D．
5．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．在等差数列中，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．10
8．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
11．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
12．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为__________（用具体数据作答）.
14．在的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为-64，则实数的值为__________.
15．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份．
16．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．
（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；
（2）求的取值范围．
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.
（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；
（2）若圆的半径为，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值.
19．（12分）对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
20．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.
（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.
21．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由，得到，得出，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】
由题意，角满足，则，
又由角A是三角形的内角，所以，所以，
因为，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.
2、B
【解析】
设数列的公差为.由，成等比数列，列关于的方程组，即求公差.
【详解】
设数列的公差为，
①.
成等比数列，②，
解①②可得.
故选：.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
3、C
【解析】
在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
【点睛】
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
4、B
【解析】
由，，，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可
【详解】
∵∴，∴，
∴向量在向量方向的投影为.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量投影的几何意义，属于基础题
5、C
【解析】
根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.
【详解】
根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：
由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体，
该几何体的体积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
6、A
【解析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.
【详解】
已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），
=，
=，
因为，
所以f（x）的最小值为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7、C
【解析】
将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，
所以．故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.
8、A
【解析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
【详解】
解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.
9、B
【解析】
利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】
解：设 ，则有且只有一个实数根.
当 时，当 时， ，由即，解得，
结合图象可知，此时当时，得 ，则 是唯一解，满足题意；
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当 时，当 时，，此时 最小值为 ，
结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 .
综上所述： 或.
故选:A.
【点睛】
本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.
10、C
【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.
【详解】
显然直线过抛物线的焦点
如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC
设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=
所以
故选：C
【点睛】
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.
11、C
【解析】
根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.
【详解】
解：由于在区间有三个零点，，，
当时，，
∴由对称轴可知，满足，
即.
同理，满足，即，
∴，，
所以最小正周期为：.
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.
12、C
【解析】
不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案.
【详解】
不妨设在第一象限，故，，即，
即，解得，（舍去）.
故选：.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用二项展开式的通项公式可求的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为，
令，故，故的系数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.
14、3或-1
【解析】
设，分别令、，两式相减即可得，即可得解.
【详解】
设，
令，则①，
令，则②，
则①-②得，
则，解得或.
故答案为：3或-1.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.
15、①②③
【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
16、1
【解析】
把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数的值.
【详解】
，解得＝1．
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；
（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.
【详解】
（1）依题有，所以椭圆方程为．
设，，，
由为的重心，；
又因为，，
，，
（2）当的斜率不存在时：，，，
代入椭圆得，，，
当的斜率存在时：设直线为，这里，
由，，
根据韦达定理有，，，
故，代入椭圆方程有，
又因为，
综上，的范围是.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.
18、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）确定圆的方程，就是确定半径的值，因为直线与圆相切，所以先确定直线方程，即确定点坐标：因为轴，所以，根据对称性，可取，则直线的方程为，根据圆心到切线距离等于半径得（2）根据垂径定理，求直线被圆截得弦长的最大值，就是求圆心到直线的距离的最小值. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离，利用得，化简得，利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得，因此，当时，取最小值，取最大值为.
试题解析：解：（1）
因为椭圆的方程为，所以，.
因为轴，所以，而直线与圆相切，
根据对称性，可取，
则直线的方程为，
即.
由圆与直线相切，得，
所以圆的方程为.
（2）
易知，圆的方程为.
①当轴时，，
所以，
此时得直线被圆截得的弦长为.
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，，
首先由，得，
即，
所以（*）.
联立，消去，得，
将代入（*）式，
得.
由于圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.
综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为.
考点：直线与圆位置关系
19、 (Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，
【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，
根据对应关系得到，再计算，，得到答案.
【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.
【点睛】
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析
【解析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.
（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值求解即可.
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知,在上恒成立,再分别设 的解为、.再根据不等式的性质证明即可.
【详解】
（Ⅰ）由题,故.且.
故在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设恒成立,故.
设函数则,故在上单调递减且,又在上单调递增.
又,即且,故只能在处取得最小值,
当时，此时,且在上,单调递减.
在上,单调递增.故,满足题意；
当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；
当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；
故
（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上单调递减且,又在上单调递增,故最多一根.
又因为,,
故设的解为,因为,故.
所以在递减,在递增.
因为方程有两个实数根,故 .
结合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.
设 的解为,则；设的解为,则.
故,.
故,得证.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.
【详解】
（1）①当时,不等式可化为,得，无解；
②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故01时,不等式可化为,得x