2026届河北省保定市定州市高考仿真模拟数学试卷含解析

这是一份2026届河北省保定市定州市高考仿真模拟数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了若复数满足，则，设等差数列的前项和为，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（ ）
A．，B．C．，D．，
2．设，则
A．B．C．D．
3．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
5． 若数列满足且，则使的的值为( )
A．B．C．D．
6．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若复数满足，则（ ）
A．B．C．2D．
8．若复数满足，则( )
A．B．C．D．
9．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
10．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）
A．85B．84C．57D．56
11．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（ ）
A．[0，）B．（﹣∞，0）∪[，+∞）
C．（0，）D．（﹣∞，0]∪[，+∞）
12．的二项展开式中，的系数是（ ）
A．70B．-70C．28D．-28
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内．若，则_____．
14．已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，则展开式所有项系数之和为______.
15．设全集，，，则______.
16．展开式中的系数为_______________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，其面积记为，满足.
（1）求；
（2）若，求的值.
18．（12分）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.
19．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：
（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；
（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
20．（12分）已知函数.
（1）若是的极值点，求的极大值；
（2）求实数的范围，使得恒成立.
21．（12分）在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围.
22．（10分）如图，在三棱柱中， 平面ABC.
（1）证明：平面平面
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
依题意问题是，然后按直到型验证即可.
【详解】
根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，
观察程序框图可知，应填入，，
故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.
2、C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3、D
【解析】
将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.
【详解】
由图知与有个公共点即可，
即，当设切点，
则，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.
4、C
【解析】
利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.
【详解】
由，得，可得（）.
相减得，则（），又
由，，得，所以，所以为常
数列，所以，故.
故选：C
【点睛】
本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.
5、C
【解析】
因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．
6、B
【解析】
令，则，由图象分析可知在上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.
【详解】
令，则，如图
与顶多只有3个不同交点，要使关于的方程有
六个不相等的实数根，则有两个不同的根，
设由根的分布可知，
，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.
7、D
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.
【详解】
解：由题意知，，
，
∴，
故选：D.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.
8、C
【解析】
化简得到，，再计算复数模得到答案.
【详解】
，故，
故，.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.
9、B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
10、A
【解析】
先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.
【详解】
解：的展开式中二项式系数和为256
故，
要求展开式中的有理项，则
则二项式展开式中有理项系数之和为：
故选：A
【点睛】
考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.
11、D
【解析】
求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.
【详解】
集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；
B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），
∴A∩B＝（0，），
∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.
12、A
【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．
考点：二项式定理的应用．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.
【详解】
解：连接设交于点以点为原点,
分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则：
设

得,
解得,
,
或,
显然得出的是定值,
取
则,
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.
14、64
【解析】
由题意先求得的值，再令求出展开式中所有项的系数和.
【详解】
的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，
，，
由两式可组成方程组，
解得或，
令，求得展开式中所有的系数之和为.
故答案为：64
【点睛】
本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题.
15、
【解析】
先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【详解】
解：，或；
∴；
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
16、
【解析】
把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】
解：，
故它的展开式中的系数为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得，进而求得的值；
（2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中的值，即可将表达式化为的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得和，进而由正弦定理确定，代入整式即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得
，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以由正弦定理代入化简可得，
由（1），代入可得，
展开化简可得，
根据辅助角公式化简可得.
因为，所以，所以，
所以为等腰三角形，且，
所以.
【点睛】
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.
18、（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；
（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）函数定义域是，
，
当时，，单调递增；
时，令得，时，，递减，时，，递增，
综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．
（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．
当时，，，
从而只需时，恒成立，即，
令，，在上递减，在上递增，
∴，从而．
时，，，
令，由，知在递减，在上递增，，∴．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．这又可通过导数求解．
19、（1）；（2）①分布列见解析，；②小张应选择甲公司应聘.
【解析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，，以此类推可得：当时，当时，的值．当时，的值，同理可得：当时，．的所有可能取值．可得的分布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
【详解】
解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，
记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，
则．
（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，．
所以的分布列为
．
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
，
所以甲公司送餐员的日平均工资为元，
因为，所以小张应选择甲公司应聘．
【点睛】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20、（1）.（2）
【解析】
（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；
（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，构造函数g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，结合导数及函数的性质可求.
【详解】
（1），x＞0，
由题意可得，0，解可得t＝﹣4，
∴，
易得，当x＞2，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣3；
（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0时恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，
令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，则，
（i）当t≥0时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，
（ii）当﹣2＜t＜0时，g（x）在（）上单调递减，在（0，），（1，+∞）上单调递增，
此时g（1）＝t﹣1＜﹣1不合题意，舍去；
（iii）当t＝﹣2时，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时g（1）＝﹣3不合题意；
（iv）当t＜﹣2时，g（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣3不合题意，
综上，t≥1时，f（x）≥2恒成立.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.
21、（1）（为参数），；（2）
【解析】
分析：（1）直线的参数方程为（为参数），其中表示之间的距离，而极坐标方程可化为，从而的直角方程为.
（2）设，则 ，利用在圆上得到满足的方程，最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.
详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.
曲线的极坐标方程可化为.
把，代入曲线的极坐标方程可得
，即.
（2）把直线的参数方程为（为参数）代入圆的方程可得：.
∵曲线与直线相交于不同的两点，
∴，
∴，又，
∴.
又，.
∴，
∵，∴，
∴.
∴的取值范围是.
点睛：（1）直线的参数方程有多种形式，其中一种为（为直线的倾斜角， 是参数），这样的参数方程中的参数有明确的几何意义，它表示 之间的距离.
（2）直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.
22、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）证明平面即平面平面得证；（2）分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为平面ABC，所以
因为.所以.即
又.所以平面
因为平面.所以平面平面
（2）解：由题可得两两垂直，所以分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，所以
设平面的一个法向量为，
由.得
令，得
又平面，所以平面的一个法向量为.

所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
送餐单数
38
39
40
41
42
甲公司天数
10
10
15
10
5
乙公司天数
10
15
10
10
5
228
234
240
247
254