湖南省衡阳市2026届九年级中考模拟（一）数学试卷(含答案)

这是一份湖南省衡阳市2026届九年级中考模拟（一）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．B．C．0D．3
2．如图，正方体上摆放了同高的四棱柱，已知上面四棱柱的下底面的四个顶点恰好在正方体的上底面各边的中点上．此组合体的主视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算的结果为的是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
5．如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（ ）
A．3B．6C．8D．10
6．估计的值在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
7．为提升信息素养，学校科技节开展编程闯关活动，李老师统计了10名学生完成的编程闯关题目数量，结果如下表：
下列关于完成闯关题数的描述正确的是（ ）
A．平均数是3.8B．中位数是3.5C．众数是4D．方差是1
8．如图是一个由正方形和菱形构成的对称环状图案，其外轮廓为一个正八边形，下列判断正确的是（）
A．该正八边形的每个内角为
B．该正八边形的对角线共有条
C．该环状图案的对称轴有条
D．该正八边形的每个外角为
9．化简的结果等于（ ）
A．B．C．D．1
10．在平面直角坐标系中，已知、两点的坐标分别为和．将直线向上平移个单位长度得到直线，若直线与线段相交于点，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．因式分解：______．
12．魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，其与的误差小于，将用科学记数法可以表示为______．
13．一个不透明的笔袋中有支黑笔和支红笔，这些笔除颜色外无其他差别．从笔袋中随机取出一支笔，已知它是红笔的概率是，则的值为______．
14．如图，中，点在上，，，则图中标示的的值是______．
15．在串联电路中，电流处处相等，且满足欧姆定律，现有两个定值电阻，阻值之比，若将它们串联接入同一电路中，则它们两端的电压之比______．
16．若一个正整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差是11的倍数，则这个正整数一定能被11整除．比如整数12518，奇数数位上数字之和为，偶数数位上数字之和，，因为11为11的倍数，所以整数12518能被11整除．若表示一个四位数，它的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差为______；当时，这个四位数能被11整除．则的所有可能值为______．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在矩形中，，，为矩形的对角线．
(1)尺规作图：作的平分线交于点，在射线上截取（不要求写作法，但需保留作图痕迹）；
(2)在（1）的基础上，求的长．
19．根据以下调查报告解决问题．
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是______；
(2)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为多少人？
(3)视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，求恰好抽到两位男生的概率；
(4)请为做好近视防控提一条合理的建议
20．某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元
(1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元；
(2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？
21．如图所示，某景区内，游客在山脚平地C处测得悬崖观光电梯顶端A的仰角为，沿登山步道向上走到D处测得电梯顶端A的仰角为．已知山脚到电梯底部的水平距离等于50米，山坡坡度为．
(1)求悬崖观光电梯的高度；
(2)求此人所在位置点的垂直高度（结果保留一位小数，参考数据：）．
22．如图，为的外接圆，的三边均不经过圆心，的直径，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若点到的距离为，，，求的长．
23．如图1，在中，点是边的一点，连接．若．
(1)【初步感知】直接写出的值．
(2)【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)【变式探究】如图3，连接与交于点，连接．
①若，求证：；
②当时，与之间的关系是，求的值．
24．对于平面内任意一点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点．若点是线段的中点，则称为点关于这条抛物线的共轭点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点关于抛物线的共轭点的纵坐标（用含的代数式表示）；
(3)设点为平面内任意一点，其共轭点为．已知点在直线上运动，记点的横坐标为．
①当点落在轴上时，求此时的值；
②在①的条件下，若线段上存在一点，使得最小，直接写出点关于抛物线的共轭点的坐标．
参考答案
1．A
解：∵，，，
∴，
故最小的数是.
2．B
解：由图可知，主视图为：
3．D
解：选项A：与不是同类项，不能合并，无法得到，排除A．
选项B：根据同底数幂除法法则：底数不变，指数相减，，结果不是，排除B．
选项C：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，，结果不是，排除C．
选项D：根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，，符合要求，D正确．
4．A
解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
则a的值可以是，
故选：A．
5．B
解：四边形是菱形
，
，
是等边三角形
．
6．D
解：∵，
∴，即，
∴，
因此的值在3和4之间，故选D．
7．C
解：∵ 完成的总题数为，
平均数为，故A描述不正确；
∵ 数据排序后，中位数为第5和第6个数据的平均值，即，故B描述不正确；
∵ 众数为出现次数最多的值，4出现4次，次数最多，故众数为4，故C描述正确；
∵
，
，故D描述不正确．
8．B
解：、正八边形的内角和为，每个内角为，故该选项错误，不符合题意；
、边形的对角线总数为，当时，对角线共有条，故该选项正确，符合题意；
、观察图案，虽然外轮廓是正八边形，但内部正方形和菱形的排列使得该图案只有条对称轴（分别为水平、竖直以及两条对角线方向），故该选项错误，不符合题意；
、正八边形的外角和为，每个外角为，故该选项错误，不符合题意．
9．C
解：原式
10．B
解：∵，，
∴线段轴，
∴的长度为．
∵，
∴．
设，则，
解得，即．
直线向上平移个单位，得直线．
将代入，得，
解得．
11．
解：
12．
解：，
故答案为：．
13．
解：由题意可得，笔袋中笔的总数量为，根据概率公式，随机取出一支为红笔的概率为．
已知取出红笔的概率为，可得
交叉相乘得
去括号得
移项合并同类项得
等式两边同时除以得．
14．80
解：在中，，，
∴，
在中，∴，
∴．
15．
解：∵，
∴
∵有两个定值电阻串联接入同一电路中，
∴
∵，
∴
16． 或0或11
解：根据题意得，四位数，奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差为；
已知，整理得：
，
∵是四位数，
∴是1~9的整数，b、c、d是0~9的整数，
当最大()且最小(，)时：
；
当最小()且最大()时：
；
又∵能被11整除，所以是11的倍数(包括0)，即也是11的倍数(包括0)，
在范围内，11的倍数有：、0、11．
所以k的所有可能值为或0或11．
17．1
解：原式
．
18．(1)见解析
(2)
（1）解：如图所示，
（2）解：如图，过点作于点，
在矩形中，，，为矩形的对角线
∴，，
又∵是的平分线
∴，
设，则
∵
∴
解得：
∴
在中，
又∵
∴
19．(1)4.8
(2)500人
(3)
(4)减少电子产品的使用时长；坚持做眼保健操（答案不唯一）
（1）解：将数据排序后，第5个数据为4.8，
故中位数为4.8；
（2）解：（人）；
答：估计该校八年级右眼视力不良的学生约为500人；
（3）解：由题意，列表如下：
共6种等可能的结果，其中恰好抽到两位男生的结果有2种，
∴；
（4）解：减少电子产品的使用时长；坚持做眼保健操（答案不唯一，合理即可）．
20．(1)A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元；
(2)最多可购买B型一体机12台．
（1）解：设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元；
（2）解：设购进B型一体机台，则购进A型一体机台，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
的最大值为12．
答：最多可购买B型一体机12台．
21．(1)；
(2)此人所在位置点的垂直高度为米．
（1）解：在中，，，
∴；
（2）解：作交延长线于点，作于点，
则四边形是矩形，
在中，，
设，则，
∴，，
在中，，
∴，即，
解得，
答：此人所在位置点的垂直高度为米．
22．(1)是的切线，理由见解析
(2)．
（1）解：是的切线，理由如下：
连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵点到的距离为，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴．
23．(1)
(2)，理由见解析
(3)①见解析；②．
（1）解：连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：线段与线段之间的数量关系为：，
理由如下：
连接交于点，如下图：
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长和相交于点，
∵，
∴，
同理得，
∴，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②延长和相交于点，
同理得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．(1)
(2)点关于抛物线的共轭点的纵坐标为；
(3)①或；②或．
（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过作平行于y轴的直线，
∴，
∴点M的坐标为，
∵M是的中点，
设，根据中点坐标公式得，
∴，
∴点关于抛物线的共轭点的纵坐标为；
（3）解：①∵点P在直线上，横坐标为n，
∴，过P作平行于y轴的直线，
∴，
∵M是的中点，且在x轴上，
根据中点坐标公式得，
整理得，
解得或；
②令，则，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为；
当时，
∴，即，
根据中点坐标公式得；
∵和，直线与轴交于点，此时最小，
∴点关于抛物线的共轭点；
当时，
∴，，根据中点坐标公式得；
作关于直线的对称点，
连接与交于点，
∵，，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，解得，
∴点，
当时，，
∴，
由中点坐标公式得，
解得，
∴，
综上，点关于抛物线的共轭点的坐标为或．完成闯关题数
2
3
4
5
6
人数
1
2
4
2
1
调查主题
学校八年级学生视力健康情况
背景介绍
学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力频数分布表
右眼视力
频数
3
24
18
12
9
9
15
合计
90
建议：……
男1
男2
女
男1
男1，男2
男1，女
男2
男2，男1
男2，女
女
女，男1
女，男2