湖南省衡阳市2023年中考数学模拟试卷（一）

这是一份湖南省衡阳市2023年中考数学模拟试卷（一），共24页。试卷主要包含了下列各式中，无意义的是，下列各组单项式中，同类项的是，下列计算正确的是，计算xx−1−yy−1的结果为，满足−5＜x＜7的整数x有个等内容，欢迎下载使用。

1．在1x、12、x2+22、3xyπ、33+y、1m+1中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．二次根式13、12、30、5x2、x2+y2中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．第27届龙庆峡冰灯节接待游客大约230000人次，将230000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.3×104B．23×104C．2.3×105D．0.23×106
4．下列各式中，无意义的是（ ）
A．−32B．102C．(−3)2D．10−2
5．下列各组单项式中，同类项的是（ ）
A．3a2b与−ab5B．x2y与﹣2y2x
C．﹣2m3n与3m3nD．x2yz与3xy2
6．实数A，B，C，D在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（ ）
A．A和DB．A和CC．B和DD．B和C
7．下列计算正确的是（ ）
A．9=±3B．39=−2C．(−3)3=−3D．9=3
8．计算xx−1−yy−1的结果为（ ）
A．−x+y(x−1)(y−1)B．x−y(x−1)(y−1)
C．−x−y(x−1)(y−1)D．x+y(x−1)(y−1)
9．已知a2+14b2＝2a﹣b﹣2，则3a−12b的值为（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣4
10．满足−5＜x＜7的整数x有（ ）个．
A．6个B．5个C．4个D．3个
11．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（a2）4＝a6C．（﹣a2）4＝﹣a8D．（﹣a2）3＝﹣a6
12．如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过A，C且关于直线BD对称，若AC＝22，tan∠OAC＝3，则k的值是（ ）
A．6B．7C．8D．62
二．填空题（共6小题）
13．当分式2x2−x的值为0时，x的值为 ．
14．分解因式：4x3﹣16x＝ ．
15．形如7+26的根式叫做复合二次根式，对7+26可进行如下化简：7+26=(6)2+26+1=(6+1)2=6+1，利用上述方法化简：10−221+4−23+1＝ ．
16．若关于x的二次三项式x2+kx+81是完全平方式，则k的值是 ．
17．已知a+b+(b−1)2=0，则2a﹣b＝ ．
18．2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．第n次分形后所得图形的边数是 ．（用含n的代数式表示）
三．解答题（共8小题）
19．计算：（π﹣2022）0+（−12）﹣1−13×3−12．
20．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝﹣1．
21．先化简，再求值：(1−2x−1x2)÷x−1x3，其中x2−x−7=0．
22．如图，某直升机在距离地面192米的D处，测得一小山顶A的俯角为α，同时测得坡底B的俯角为β，已知tanα＝2，tanβ＝4，其斜坡AB的坡度为i＝1：1，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
23．某超市基于对市场行情的调查，了解到端午节甲乙两种品牌的粽子销路比较好，通过两次订货购进情况分析发现，买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元．
（1）请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元？
（2）该超市在端午节期间共购进了这两种品牌粽子200箱，甲品牌粽子每箱以40元价格出售，乙品牌粽子每箱以50元的价格出售，获得的利润为w元．设购进的甲品牌粽子箱数为a箱，求w关于a的函数关系式；
（3）在条件（2）的销售情况下，要求每种品牌粽子进货箱数不少于30箱，且乙品牌粽子的箱数不少于甲品牌粽子箱数的5倍，当a为何值时，该超市获得最大利润？最大利润是多少？
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，csB=13，求DE的长．
25．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE＝CD．连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．
（1）请判断线段BD和AF的位置关系并证明；
（2）当S△ABD=14BD2时，求∠AEC的度数；
（3）如图2，连接EF，G为EF中点，AB=22，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．
26．如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；
（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；
（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF=35AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．
湖南省衡阳市2023年中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在1x、12、x2+22、3xyπ、33+y、1m+1中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】分式的定义．
【分析】根据方式的定义即可求解．
【解答】解：按照分式的定义：1x、33+y、1m+1是分式；
故选：B．
2．二次根式13、12、30、5x2、x2+y2中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：最简二次根式有30，x2+y2，共2个，
故选：B．
3．第27届龙庆峡冰灯节接待游客大约230000人次，将230000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.3×104B．23×104C．2.3×105D．0.23×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：230000＝2.3×105，
故选：C．
4．下列各式中，无意义的是（ ）
A．−32B．102C．(−3)2D．10−2
【考点】二次根式有意义的条件；负整数指数幂．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行判断即可．
【解答】解：A.−32=−9，由于负数没有平方根，因此−32无意义，所以选项A符合题意；
B.102=100=10，有意义，因此选项B不符合题意；
C.(−3)2=9=3，有意义，因此选项C不符合题意；
D.10−2=1102=110，有意义，因此选项D不符合题意；
故选：A．
5．下列各组单项式中，同类项的是（ ）
A．3a2b与−ab5B．x2y与﹣2y2x
C．﹣2m3n与3m3nD．x2yz与3xy2
【考点】同类项；单项式．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行每一项的判断．
【解答】解：A：a的指数不同，∴不合题意；
B：两个单项式的x、y的指数都不同，∴不合题意；
C：两个单项式的m、n的指数都相同，∴合题意；
D：第一个单项式有z，第二个单项式没有，∴不合题意；
故选：C．
6．实数A，B，C，D在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（ ）
A．A和DB．A和CC．B和DD．B和C
【考点】实数与数轴；相反数；实数的性质．
【分析】根据相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，可得答案．
【解答】解：由相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，
得a与d互为相反数，
故选：A．
7．下列计算正确的是（ ）
A．9=±3B．39=−2C．(−3)3=−3D．9=3
【考点】立方根；算术平方根．
【分析】根据立方根、平方根以及算术平方根的意义求解即可．
【解答】解：A.9=3，因此选项A不符合题意；
B.3−8=−2，因此选项B不符合题意；
C.(−3)2=9=3，因此选项C不符合题意；
D.9=3，因此选项D符合题意；
故选：D．
8．计算xx−1−yy−1的结果为（ ）
A．−x+y(x−1)(y−1)B．x−y(x−1)(y−1)
C．−x−y(x−1)(y−1)D．x+y(x−1)(y−1)
【考点】分式的加减法．
【分析】直接通分运算，进而利用分式的性质计算得出答案．
【解答】解：原式=x(y−1)(x−1)(y−1)−y(x−1)(x−1)(y−1)
=xy−x−xy+y(x−1)(y−1)
=−x+y(x−1)(y−1)．
故选：A．
9．已知a2+14b2＝2a﹣b﹣2，则3a−12b的值为（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣4
【考点】因式分解的应用．
【分析】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果．
【解答】解：∵a2+14b2＝2a﹣b﹣2，
∴a2﹣2a+1+14b2+b+1＝0，
∴(a−1)2+(12b+1)2=0，
∴a﹣1＝0，12b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3a−12b＝3+1＝4．
故选：A．
10．满足−5＜x＜7的整数x有（ ）个．
A．6个B．5个C．4个D．3个
【考点】估算无理数的大小．
【分析】−5＜x＜7可推出：−4≤x≤4，从而可得出答案．
【解答】解：由题意得，−4≤x≤4，
∴满足条件的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，共5个．
故选：B．
11．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（a2）4＝a6C．（﹣a2）4＝﹣a8D．（﹣a2）3＝﹣a6
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则对各个选项逐一判断即可．
【解答】解：A．a2•a4＝a6，故本选项不合题意；
B．（a2）4＝a8，故本选项不合题意；
C．（﹣a2）4＝a8，故本选项不合题意；
D．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意．
故选：D．
12．如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过A，C且关于直线BD对称，若AC＝22，tan∠OAC＝3，则k的值是（ ）
A．6B．7C．8D．62
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形．
【分析】延长AC交x轴于点F，延长CA交y轴于点G，连接OC，过C作CH⊥OF于H，由AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，可得BD⊥AC，AE＝EC=2，延长DB，由反比例函数y=kx(x＞0)的图象关于直线BD对称，可得直线BD经过原点O，且BD垂直平分线段GF，所以OG＝OF，∠OGF＝∠OFG＝45°；利用tan∠OAC＝3，求得OE，用勾股定理求出OA，再分别求得线段CH，OH，点C坐标可得，k的值可求．
【解答】解：延长AC交x轴于点F，延长CA交y轴于点G，连接OC，过C作CH⊥OF于H，
设AC，BD交于点E，如图，
∵AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，
∴BD⊥AC，AE＝EC=2．
∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象关于直线BD对称，
∴直线BD经过原点O，且BD垂直平分线段GF．
∴OA＝OC，OG＝OF，∠OGF＝∠OFG＝45°．
∵tan∠OAC＝3，
∴OEAE=3．
∴OE＝3AE＝32．
∴EF＝EG＝OE＝32．
∴CF＝EF﹣EC＝22．
∵CH⊥HF，∠CFH＝45°，
∴CH=22CF＝2．
∵OC＝OA=OE2+AE2=25．
∴OH=OC2−CH2=4．
∴C（4，2）．
∵C在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴k＝2×4＝8．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．当分式2x2−x的值为0时，x的值为 0 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为0的条件列方程和不等式求解．
【解答】解：由题意可得2x＝0且2﹣x≠0，
解得：x＝0，
故答案为：0．
14．分解因式：4x3﹣16x＝ 4x（x+2）（x﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提公因式4x，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝4x（x2﹣4）＝4x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：4x（x+2）（x﹣2）．
15．形如7+26的根式叫做复合二次根式，对7+26可进行如下化简：7+26=(6)2+26+1=(6+1)2=6+1，利用上述方法化简：10−221+4−23+1＝ 7 ．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的定义．
【分析】直接利用完全平方公式结合二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式=(7−3)2+(3−1)2+1
=7−3+（3−1）+1
=7−3+3−1+1
=7．
故答案为：7．
16．若关于x的二次三项式x2+kx+81是完全平方式，则k的值是 ±18 ．
【考点】完全平方式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2+kx+81是关于x的完全平方式，
∴k＝±18，
解得：k＝±18，
故答案为：±18．
17．已知a+b+(b−1)2=0，则2a﹣b＝ ﹣3 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a+b＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
所以，2a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
18．2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．第n次分形后所得图形的边数是 3×4n ．（用含n的代数式表示）
【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．
【分析】根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，••••••，可得第n次分形后所得图形的边数是3×4n，
【解答】解：第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，
…，
所以第n次分形后所得图形的边数是3×4n，
故答案为：3×4n．
三．解答题（共8小题）
19．计算：（π﹣2022）0+（−12）﹣1−13×3−12．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】化简零指数幂，负整数指数幂，二次根式，然后先算乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝1+（﹣2）−13×3−23
＝1﹣2﹣1−23
＝﹣2−23．
20．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式的法则化简，然后代入数据计算求值．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣4﹣x2+x
＝x﹣4，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1﹣4＝﹣5．
21．先化简，再求值：(1−2x−1x2)÷x−1x3，其中x2−x−7=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2﹣a的值代入计算即可．
【解答】解：原式=x2−2x+1x2•x3x−1
=(x−1)2x2•x3x−1
＝x2﹣x，
∵x2−x−7=0，
∴x2﹣x=7，
∴原式=7．
22．如图，某直升机在距离地面192米的D处，测得一小山顶A的俯角为α，同时测得坡底B的俯角为β，已知tanα＝2，tanβ＝4，其斜坡AB的坡度为i＝1：1，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】作AF⊥CD于F．设AE＝x米．由斜坡AB的坡度为i＝1：1，得出BE＝AE＝x米．解Rt△BDC，求得BC=CDtanβ=48米，则AF＝EC＝（x+48）米．解Rt△ADF，得出DF＝AF•tanα＝2（x+48）米，又DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（192﹣x）米，列出方程2（x+48）＝192﹣x，求出x即可．
【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．
∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，
∴BE＝AE＝x米．
在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝192米，∠DBC＝∠β，
∴BC=CDtanβ=1924=48（米），
∴EC＝EB+BC＝（x+48）米，
∴AF＝EC＝（x+48）米．
在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，
∴DF＝AF•tanα＝2（x+48）米，
∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（192﹣x）米，
∴2（x+48）＝192﹣x，解得x＝32．
故山顶A的高度AE为32米．
23．某超市基于对市场行情的调查，了解到端午节甲乙两种品牌的粽子销路比较好，通过两次订货购进情况分析发现，买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元．
（1）请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元？
（2）该超市在端午节期间共购进了这两种品牌粽子200箱，甲品牌粽子每箱以40元价格出售，乙品牌粽子每箱以50元的价格出售，获得的利润为w元．设购进的甲品牌粽子箱数为a箱，求w关于a的函数关系式；
（3）在条件（2）的销售情况下，要求每种品牌粽子进货箱数不少于30箱，且乙品牌粽子的箱数不少于甲品牌粽子箱数的5倍，当a为何值时，该超市获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设每箱甲牌粽子进价为x元，每箱乙牌粽子进价为y元，根据买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元列出方程组并求解；
（2）根据（1）的结论以及“利润＝售价﹣成本”解答即可；
（3）设购甲牌粽子a箱，则购买乙牌粽子为（200﹣a）箱，根据每种品牌粽子进货箱数不少于30箱，且乙品牌粽子的箱数不少于甲品牌粽子箱数的5倍列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设每箱甲牌粽子进价为x元，每箱乙牌粽子进价为y元，
40x+15y=200020x+30y=1900，
解得：x=35y=40，
答：每箱甲牌粽子进价为35元，每箱乙牌粽子进价为40元；
（2）根据题意得，
w＝（40﹣35）a+（50﹣40）（200﹣a）＝﹣5a+2000，
∴w关于a的函数关系式w＝﹣5a+2000；
（3）设购甲牌粽子a箱，则购买乙牌粽子为（200﹣a）箱，
则200﹣a≥5a且a≥30，
解得30≤a≤3313．
由（2）得w＝﹣5a+2000，
∵﹣5＜0，w随a的增大而减小，
∴当a＝30时，w最大，w最大＝﹣5×30+2000＝1850（元）．
答：当a＝30时，该超市获得的最大利润，最大利润为1850元．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，csB=13，求DE的长．
【考点】切线的判定；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；
（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；
（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B＝∠C，在△CDE中求DE的长．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB为直径，∴AD⊥BC．
又∵AB＝AC，
∴D是BC的中点；
（2）DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．
∵BD＝DC，OB＝OA，
∴OD∥AC．
∵AC⊥DE，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（3）解：∵AB＝9，csB=13，
∴BD＝3．
∴CD＝3．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴csC=13．
∴在△CDE中，
CE＝1，DE=CD2−CE2=32−12=22．
25．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE＝CD．连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．
（1）请判断线段BD和AF的位置关系并证明；
（2）当S△ABD=14BD2时，求∠AEC的度数；
（3）如图2，连接EF，G为EF中点，AB=22，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）延长BD交AE于点H，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，由旋转的性质和全等三角形的性质可得BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∠EAF＝90°，由余角的性质可得∠AHB＝90°＝∠FAE，可得AF∥BD，可得结论；
（2）由三角形的面积公式可得AH=12BD=12AE，可得BH垂直平分AE，由等腰三角形的性质可求解；
（3）先求出点G在∠ACE的角平分线上运动，即可求解．
【解答】解：（1）结论：BD∥AF．
理由：如图1，延长BD交AE于点H，
∵E绕A点逆时针旋转90°到AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，
∵∠E+∠CAE＝90°，
∴∠E+∠CBD＝90°，
∴∠AHB＝90°＝∠FAE，
∴AF∥BD；
（2）（2）∵S△ABD=14BD2，
∴BD•AH=12BD2，
∴AH=12BD=12AE，
∴BH垂直平分AE，
∴BA＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABE＝45°，
又∵BA＝BE，
∴∠AEC＝67.5°；
（3）如图2，连接AG、CG，过点G作GM⊥CE交CE延长线于M，GN⊥AC于N，
∵GM⊥CE，GN⊥AC，∠ACM＝90°，
∴四边形CMGN是矩形，
∵AF＝AE，∠EAF＝90°，G是EF中点，
∴AG＝GE，AG⊥EF，
∵∠CAG+∠ACM+∠CEG+∠AGE＝360°，
∴∠CAG+∠CEG＝180°，
∵∠CEG+∠GEM＝180°，
∴∠CAG＝∠GEM，
又∵∠ANG＝∠GME＝90°，
∴△ANG≌△EMG（AAS），
∴NG＝GM，
∴四边形CMGN是正方形，
∴CG平分∠ACE，
∴点G在∠ACE的角平分线上运动，
∴当D从C运动到A点，G点所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半，即为12×2AC=12AB=2．
26．如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；
（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；
（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF=35AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将b＝﹣10a代入y＝ax2﹣3ax+b，求得点A和点B的坐标，用a表示出点C的坐标，利用正切函数的定义即可得出tan∠CBA的值；
（2）由二次函数y＝ax2﹣3ax+b的顶点为D，可得点D的横坐标，过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，判定△AOP∽△AHD，从而得比例式，根据AP：DP＝2：3，可得出点A、点B的坐标，代入解析式可得y＝ax2﹣3ax﹣4a，从而可用a表示出点C的坐标，再分三种情况计算：①若AB＝BC，②若AB＝AC，③显然不存在BC＝AC．前两种情况分别根据两点距离公式可解得a的值，则可求得抛物线的解析式；
（3）由点A、点B、点C的坐标求得直线AC和直线BC的k值；由圆周角定理可得∠ECF＝90°，则可得kAC×kBC＝﹣1，从而解得a的值，求得点C的坐标，取EF的中点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，则Q在以C为圆心，32为半径的圆上运动，在Rt△QHN中，QN=32，求HN的最大值等价于求QH的最小值，求得HN的最大值即可求出MN的最大值．
【解答】解：（1）∵b＝﹣10a，
∴y＝ax2﹣3ax+b
＝ax2﹣3ax﹣10a
＝a（x+2）（x﹣5），
令y＝0，得a（x+2）（x﹣5）＝0，
∵a＜0，
∴x1＝﹣2，x2＝5，
∴A（﹣2，0），B（5，0），C（0，﹣10a），
∴tan∠CBA=COBO=−2a；
（2）∵二次函数y＝ax2﹣3ax+b的顶点为D，
∴xD=32．
过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，如图：
∵OP∥DH，
∴△AOP∽△AHD，
∵AP：DP＝2：3，OH=32，
∴OA：OH＝AP：DP＝2：3，
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∴B（4，0），
∴y＝a（x﹣4）（x+1）＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴C（0，﹣4a），
①若AB＝BC，则AB2＝BC2，
∴16+16a2＝25，
解得a=−34或a=34（舍），
∴y=−34x2+94x+3；
②若AB＝AC，则AB2＝AC2，
∴1+16a2＝25，
解得a=−62或a=62（舍），
∴y=−62x2+362x+26；
③显然不存在BC＝AC．
∴抛物线的解析式为y=−34x2+94x+3或y=−62x2+362x+26；
（3）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4a），
∴kAC＝﹣4a，kBC＝a，
∵以EF为直径的圆经过点C，
∴∠ECF＝90°，
∴kAC×kBC＝﹣1，即﹣4a×a＝﹣1，
解得a=−12或a=12（舍），
∴C（0，2），
∵AB＝5，
∴EF=35AB＝3，
取EF的中点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，则Q在以C为圆心，32为半径的圆上运动，
由垂径定理得：MN＝2HN，
在Rt△QHN中，QN=32，求HN的最大值等价于求QH的最小值，求得HN的最大值即可求出MN的最大值，
∵QH的最小值为：2−32=12，
∴HN的最大值为：(32)2−(12)2=2，
∴MN的最大值为22