【数学】江苏连云港市海州区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平质量监测试题（学生版+解析版）

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1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 设随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】易知正态分布关于对称，因此，
又，所以,
所以.
3. 已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】向量是直线l的一个方向向量，
向量是平面的一个法向量，，
，
，解得.
故选：D.
4. 已知随机变量的分布列如下：
若，则（ ）
A. B. 7C. 21D. 22
【答案】C
【解析】易知，可得；
又，可知，所以，解得，
因此；
所以.
5. 把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把一枚骰子连续抛掷两次，基本事件总数，
事件包含的基本事件有：，共9种，
事件包含的基本事件有：，共5种，
所以，
所以.
故选：B.
6. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，
可得，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得，
因为，可知，
且平面，平面，所以平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
则点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为.
7. 某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（ ）
A. 36B. 72C. 90D. 144
【答案】B
【解析】5个景点分到3天，每天至多2个景点，因此分组只能是2，2，1，
所以，又因为，
所以总方案数，
若A、B安排在同一天：共分组方式，
又因为三个组分配到3天，共种排列，
因此A、B同天的方案数，
所以，即不同的安排方案种数为72.
8. 如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】B
【解析】因为平面平面，，，
且平面平面，平面，
故平面，又平面，
故，从而两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
有，，，，，
，，，
，
，
当时，最小，最小值为；
即当，为、中点时，最短，
则，，
，，
，
直线和夹角的余弦值是.
二、多项选择题（共3小题满分18分）
9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与夹角为钝角，则
【答案】AB
【解析】对于A，由，
则，即，解得，故正确；
对于B，若，显然与不共线，
若，与共线，则，
解得，故正确；
对于C，因为在上的投影向量为，
所以，即，解得或，故错误；
对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线，
则，解得，且，即，
所以，故错误，
故选：AB.
10. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ）
A. 老师不排在两端的概率为
B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
【答案】ACD
【解析】对于A，老师不排在两端的概率为，故A正确；
对于B，先排甲、乙、丙之外的3人，有种，形成了4个空，
在这4个空中排甲、乙、丙，方法有种，
所以甲、乙、丙互不相邻的排法有种，
所以所求概率为，故B错误；
对于C，甲、乙、丙连排在一起有种，
把甲、乙、丙看作一个整体，再和其他三人一起排，有种，
所以学生甲、乙、丙连排在一起的概率为，故C正确；
对于D，从学生甲、乙、丙中任选出2人看作一个“整体”，方法有种，
先排教师和余下的两人，有种，形成了4个空，
将整体和另一个人插在4个空之间，有种，
所以满足条件的排法有种，
若老师排在两端，与其他两人先排，有种，形成了3个空，
将整体和另一个人插在3个空中，有种，
满足此条件的排法有种，
所以满足条件的排法有种，
所以所求概率为，故D正确.
11. 如图所示，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 不存在点，使得平面平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 若正方体棱长为1，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为+2
【答案】AC
【解析】对于A，连接，，
正方体中，，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面.
又，平面，，所以平面平面.
又平面，所以平面.故A正确.
以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，，，，，
所以，，.
所以，，
所以，，即，，
又，平面，且，所以平面，
又平面，所以平面平面.
所以当点为中点时，，，三点共线，所以平面与平面为同一平面，
此时平面，所以平面平面.
故存在点，使得平面平面，B错误.
由平面，取平面的法向量为.
设，，则.
设直线与平面所成角为，
则
，
因为，所以，所以，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C正确.
当时，已知为边长为2的等边三角形，
此时，，，，
设点到平面的距离为，
则.
当点与点重合时，取最小值，最小值为1，
此时截面的半径取最小值，为，
所以截面面积的最小值为，故D错误.
三、填空题（共3小题满分15分）
12. 若，则_____.
【答案】
【解析】由题意得，且，解得，
∵，∴或，解得（舍去）或．
13. 现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有___________种.
【答案】420
【解析】五个顶点涂五种不同的颜色，有（种）涂法；
五个顶点涂四种不同的颜色，其中同色不同色或不同色同色，有（种）涂法；
五种顶点涂三种不同的颜色，其中同色且同色，有（种）涂法.
综上，共有120＋240＋60=420（种）涂色方法.
故答案为：420.
14. 某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______．
【答案】 ①. 0.6## ②. 1.6##
【解析】设事件表示“第次投篮命中”，则表示“第次投篮未命中”.
由题意，.
根据全概率公式可得.
每组连续投篮命中2次为成功，第一次命中概率为，若第一次命中，则第二次命中的概率为，根据分步乘法计数原理，每组投篮训练成功的概率为.
又每组投篮训练成功与否相互独立，且每组投篮训练成功的概率均为，共进行组投篮训练，所以，所以.
四、解答题（共5大题满分77分）
15. 从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛．
（1）如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？
（2）如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？
解：（1）选1名男生，有种选法，
选3名女生，且女生甲必须在内，有种选法．
所以符合条件的不同选法有（种）．
（2）方法一（直接法）：符合条件的选法有两类：
第1类，2名男生，2名女生的选法有种；
第2类，3名男生，1名女生的选法有种；
所以男生不少于2名的不同选法有（种）．
方法二（排除法）：
因为从9名学生中，选4名代表的选法共有种，
其中包括1男3女和4女0男两种不符合条件的情况，
所以男生不少于2名的不同选法有（种）．
故共有51种不同的选法．
16. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.
（1）求n的值与展开式中各项的系数和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
解：（1）由题知，，由组合数性质可知，；
令得展开式中各项的系数和为
（2）因为，所以展开式共有7项，
由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，
所以.
17. 如图，三棱锥中，平面AOB，，，．
（1）求证：平面POC；
（2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．
（1）证明：因为平面AOB，平面AOB，因此，
，故，
在等腰中，易知，，
由正弦定理可得，则，
在中，由余弦定理，
可得，故有，则，
因为，平面POC，且、，
所以平面POC．
（2）证明：由（1）知，OA、OP、OB三者两两垂直，
则以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又，可得，
因为平面POC，所以平面POC的一个法向量为，
又，，
设平面PAB的法向量为，则，即，
令，则可得平面PAB的一个法向量，为，
所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为．
18. 某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响．
（1）从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率；
（2）从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望．
解：（1）设事件A为“游客步行上山”，事件B为“游客乘观览车上山”，事件C为“游客步行下山”，
由题意可知，，，，
由全概率公式，
即该游客是步行下山的概率为．
（2）由（1）可知每位游客步行下山的概率均为，故这4人中步行下山的游客人数，
故，
所以X的分布列为：
X的数学期望．
19. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，
（i）求平面与平面夹角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：取中点，连接，
因为为中点，所以，且，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，所以平面；
（2）（i）解：因为平面，且，
以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面平面，
所以平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
不妨取，则，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为；
（ii）解：存在点满足题意，
易知，
假设存在点满足题意，设，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以点到平面的距离，化简可得，
解得或（舍去），即.
0
1
2
X
0
1
2
3
4
P